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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若函數(shù)f(x)=x3+x2-在區(qū)間(a,a+5)上存在最小值,則實數(shù)a的取值范圍是A.[-5,0) B.(-5,0) C.[-3,0) D.(-3,0)2.是平面上的一定點,是平面上不共線的三點,動點滿足,,則動點的軌跡一定經(jīng)過的()A.重心 B.垂心 C.外心 D.內(nèi)心3.已知數(shù)列為等差數(shù)列,為其前項和,,則()A. B. C. D.4.設(shè)集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,則集合中的元素共有()A.3個 B.4個 C.5個 D.6個5.已知函數(shù)與的圖象有一個橫坐標(biāo)為的交點,若函數(shù)的圖象的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋逗?,得到的函?shù)在有且僅有5個零點,則的取值范圍是()A. B.C. D.6.國家統(tǒng)計局服務(wù)業(yè)調(diào)查中心和中國物流與采購聯(lián)合會發(fā)布的2018年10月份至2019年9月份共12個月的中國制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)(PMI)如下圖所示.則下列結(jié)論中錯誤的是()A.12個月的PMI值不低于50%的頻率為B.12個月的PMI值的平均值低于50%C.12個月的PMI值的眾數(shù)為49.4%D.12個月的PMI值的中位數(shù)為50.3%7.設(shè)集合,則()A. B. C. D.8.用電腦每次可以從區(qū)間內(nèi)自動生成一個實數(shù),且每次生成每個實數(shù)都是等可能性的.若用該電腦連續(xù)生成3個實數(shù),則這3個實數(shù)都小于的概率為()A. B. C. D.9.已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于點、,O為坐標(biāo)原點.若雙曲線的離心率為2,三角形AOB的面積為,則p=().A.1 B. C.2 D.310.已知函數(shù),若函數(shù)的所有零點依次記為,且,則()A. B. C. D.11.某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是邊長為4的正三角形,俯視圖是由邊長為4的正三角形和一個半圓構(gòu)成,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.12.若實數(shù)滿足不等式組則的最小值等于()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),若在定義域內(nèi)恒有,則實數(shù)的取值范圍是__________.14.已知中,點是邊的中點,的面積為,則線段的取值范圍是__________.15.在中,已知,,是邊的垂直平分線上的一點,則__________.16.函數(shù)的最小正周期是_______________,單調(diào)遞增區(qū)間是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)為了解網(wǎng)絡(luò)外賣的發(fā)展情況,某調(diào)查機構(gòu)從全國各城市中抽取了100個相同等級地城市,分別調(diào)查了甲乙兩家網(wǎng)絡(luò)外賣平臺(以下簡稱外賣甲、外賣乙)在今年3月的訂單情況,得到外賣甲該月訂單的頻率分布直方圖,外賣乙該月訂單的頻數(shù)分布表,如下圖表所示.訂單:(單位:萬件)頻數(shù)1223訂單:(單位:萬件)頻數(shù)402020102(1)現(xiàn)規(guī)定,月訂單不低于13萬件的城市為“業(yè)績突出城市”,填寫下面的列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣平臺”有關(guān).業(yè)績突出城市業(yè)績不突出城市總計外賣甲外賣乙總計(2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,外賣甲今年3月在全國各城市的訂單數(shù)(單位:萬件)近似地服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表),的值已求出,約為3.64,現(xiàn)把頻率視為概率,解決下列問題:①從全國各城市中隨機抽取6個城市,記為外賣甲在今年3月訂單數(shù)位于區(qū)間的城市個數(shù),求的數(shù)學(xué)期望;②外賣甲決定在今年3月訂單數(shù)低于7萬件的城市開展“訂外賣,搶紅包”的營銷活動來提升業(yè)績,據(jù)統(tǒng)計,開展此活動后城市每月外賣訂單數(shù)將提高到平均每月9萬件的水平,現(xiàn)從全國各月訂單數(shù)不超過7萬件的城市中采用分層抽樣的方法選出100個城市不開展?fàn)I銷活動,若每按一件外賣訂單平均可獲純利潤5元,但每件外賣平均需送出紅包2元,則外賣甲在這100個城市中開展?fàn)I銷活動將比不開展?fàn)I銷活動每月多盈利多少萬元?附:①參考公式:,其中.參考數(shù)據(jù):0.150.100.050.0250.0100.0012.7022.7063.8415.0246.63510.828②若,則,.18.(12分)在直角坐標(biāo)系中,已知直線的直角坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線和直線的極坐標(biāo)方程;(2)已知直線與曲線、相交于異于極點的點,若的極徑分別為,求的值.19.(12分)如圖,在四邊形中,,,.(1)求的長;(2)若的面積為6,求的值.20.(12分)已知橢圓()的離心率為,且經(jīng)過點.(1)求橢圓的方程;(2)過點作直線與橢圓交于不同的兩點,,試問在軸上是否存在定點使得直線與直線恰關(guān)于軸對稱?若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,說明理由.21.(12分)某校共有學(xué)生2000人,其中男生900人,女生1100人,為了調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育鍛煉時間,采用分層抽樣的方法收集該校100名學(xué)生每周平均體育鍛煉時間(單位:小時).(1)應(yīng)抽查男生與女生各多少人?(2)根據(jù)收集100人的樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周平均體育鍛煉時間的頻率分布表:時間(小時)[0,1](1,2](2,3](3,4](4,5](5,6]頻率0.050.200.300.250.150.05若在樣本數(shù)據(jù)中有38名男學(xué)生平均每周課外體育鍛煉時間超過2小時,請完成每周平均體育鍛煉時間與性別的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛煉時間與性別有關(guān)”?男生女生總計每周平均體育鍛煉時間不超過2小時每周平均體育鍛煉時間超過2小時總計附:K2.P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.87922.(10分)已知函數(shù)()在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.(1)求實數(shù)的取值范圍;(2)若有兩個不同的極值點,,且,若不等式恒成立.求正實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
求函數(shù)導(dǎo)數(shù),分析函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)的簡圖,得到a滿足的不等式組,從而得解.【詳解】由題意,f′(x)=x2+2x=x(x+2),故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函數(shù),在(-2,0)上是減函數(shù),作出其圖象如圖所示.令x3+x2-=-,得x=0或x=-3,則結(jié)合圖象可知,解得a∈[-3,0),故選C.【點睛】本題主要考查了利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,進而研究函數(shù)的最值,屬于??碱}型.2.B【解析】
解出,計算并化簡可得出結(jié)論.【詳解】λ(),∴,∴,即點P在BC邊的高上,即點P的軌跡經(jīng)過△ABC的垂心.故選B.【點睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運算在幾何中的應(yīng)用,根據(jù)條件中的角計算是關(guān)鍵.3.B【解析】
利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出的值,然后利用等差數(shù)列求和公式以及等差中項的性質(zhì)可求出的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,.故選:B.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本性質(zhì)的應(yīng)用,同時也考查了等差數(shù)列求和,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.4.A【解析】試題分析:,,所以,即集合中共有3個元素,故選A.考點:集合的運算.5.A【解析】
根據(jù)題意,,求出,所以,根據(jù)三角函數(shù)圖像平移伸縮,即可求出的取值范圍.【詳解】已知與的圖象有一個橫坐標(biāo)為的交點,則,,,,,若函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?,則,所以當(dāng)時,,在有且僅有5個零點,,.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)、三角函數(shù)的平移伸縮以及零點個數(shù)問題,考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.6.D【解析】
根據(jù)圖形中的信息,可得頻率、平均值的估計、眾數(shù)、中位數(shù),從而得到答案.【詳解】對A,從圖中數(shù)據(jù)變化看,PMI值不低于50%的月份有4個,所以12個月的PMI值不低于50%的頻率為,故A正確;對B,由圖可以看出,PMI值的平均值低于50%,故B正確;對C,12個月的PMI值的眾數(shù)為49.4%,故C正確,;對D,12個月的PMI值的中位數(shù)為49.6%,故D錯誤故選:D.【點睛】本題考查頻率、平均值的估計、眾數(shù)、中位數(shù)計算,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.7.C【解析】
解對數(shù)不等式求得集合,由此求得兩個集合的交集.【詳解】由,解得,故.依題意,所以.故選:C【點睛】本小題主要考查對數(shù)不等式的解法,考查集合交集的概念和運算,屬于基礎(chǔ)題.8.C【解析】
由幾何概型的概率計算,知每次生成一個實數(shù)小于1的概率為,結(jié)合獨立事件發(fā)生的概率計算即可.【詳解】∵每次生成一個實數(shù)小于1的概率為.∴這3個實數(shù)都小于1的概率為.故選:C.【點睛】本題考查獨立事件同時發(fā)生的概率,考查學(xué)生基本的計算能力,是一道容易題.9.C【解析】試題分析:拋物線的準(zhǔn)線為,雙曲線的離心率為2,則,,漸近線方程為,求出交點,,,則;選C考點:1.雙曲線的漸近線和離心率;2.拋物線的準(zhǔn)線方程;10.C【解析】
令,求出在的對稱軸,由三角函數(shù)的對稱性可得,將式子相加并整理即可求得的值.【詳解】令,得,即對稱軸為.函數(shù)周期,令,可得.則函數(shù)在上有8條對稱軸.根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,將以上各式相加得:故選:C.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱性,考查了三角函數(shù)的周期性,考查了等差數(shù)列求和.本題的難點是將所求的式子拆分為的形式.11.A【解析】由題意得到該幾何體是一個組合體,前半部分是一個高為底面是邊長為4的等邊三角形的三棱錐,后半部分是一個底面半徑為2的半個圓錐,體積為故答案為A.點睛:思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系,遵循“長對正,高平齊,寬相等”的基本原則,其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高,長是幾何體的長;俯視圖的長是幾何體的長,寬是幾何體的寬;側(cè)視圖的高是幾何體的高,寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法:1、首先看俯視圖,根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖;2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度;3、畫出整體,然后再根據(jù)三視圖進行調(diào)整.12.A【解析】
首先畫出可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求的最小值.【詳解】解:作出實數(shù),滿足不等式組表示的平面區(qū)域(如圖示:陰影部分)由得,由得,平移,易知過點時直線在上截距最小,所以.故選:A.【點睛】本題考查了簡單線性規(guī)劃問題,求目標(biāo)函數(shù)的最值先畫出可行域,利用幾何意義求值,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象可將原題轉(zhuǎn)化為恒成立問題,湊而可知的圖象在過原點且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間;利用過一點的曲線切線的求法可求得兩切線斜率,結(jié)合分母不為零的條件可最終確定的取值范圍.【詳解】由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象可知:,恒成立可轉(zhuǎn)化為恒成立,即恒成立,,即是夾在函數(shù)與的圖象之間,的圖象在過原點且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間.設(shè)過原點且與相切的直線與函數(shù)相切于點,則切線斜率,解得:;設(shè)過原點且與相切的直線與函數(shù)相切于點,則切線斜率,解得:;當(dāng)時,,又,滿足題意;綜上所述:實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查恒成立問題的求解,重點考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用中的過一點的曲線切線的求解方法;關(guān)鍵是能夠結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象將問題轉(zhuǎn)化為切線斜率的求解問題;易錯點是忽略分母不為零的限制,忽略對于臨界值能否取得的討論.14.【解析】
設(shè),利用正弦定理,根據(jù),得到①,再利用余弦定理得②,①②平方相加得:,轉(zhuǎn)化為有解問題求解.【詳解】設(shè),所以,即①由余弦定理得,即②,①②平方相加得:,即,令,設(shè),在上有解,所以,解得,即,故答案為:【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用,還考查了運算求解的能力,屬于難題.15.【解析】
作出圖形,設(shè)點為線段的中點,可得出且,進而可計算出的值.【詳解】設(shè)點為線段的中點,則,,,.故答案為:.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計算,涉及平面向量數(shù)量積運算律的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是選擇合適的基底表示向量,考查計算能力,屬于中等題.16.,,【解析】
化簡函數(shù)的解析式,利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可.【詳解】函數(shù),最小正周期,令,,可得,,所以單調(diào)遞增區(qū)間是,,.故答案為:,,,.【點睛】本題主要考查了二倍角的公式的應(yīng)用,余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)見解析,有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣平臺”有關(guān).(2)①4.911②100萬元.【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖與頻率分布表,易得兩個外賣平臺中月訂單不低于13萬件的城市數(shù)量,即可完善列聯(lián)表.通過計算的觀測值,即可結(jié)合臨界值作出判斷.(2)①先根據(jù)所給數(shù)據(jù)求得樣本平均值,根據(jù)所給今年3月訂單數(shù)區(qū)間,并由及求得,.結(jié)合正態(tài)分布曲線性質(zhì)可求得,再由二項分布的數(shù)學(xué)期望求法求解.②訂單數(shù)低于7萬件的城市有和兩組,根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可確定各組抽取樣本數(shù).分別計算出開展?fàn)I銷活動與不開展?fàn)I銷活動的利潤,比較即可得解.【詳解】(1)對于外賣甲:月訂單不低于13萬件的城市數(shù)量為,對于外賣乙:月訂單不低于13萬件的城市數(shù)量為.由以上數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表如下圖,業(yè)績突出城市業(yè)績不突出城市總計外賣甲4060100外賣乙5248100總計92108200且的觀測值為,∴有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣平臺”有關(guān).(2)①樣本平均數(shù),故==,,的數(shù)學(xué)期望,②由分層抽樣知,則100個城市中每月訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的有(個),每月訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的有(個),若不開展?fàn)I銷活動,則一個月的利潤為(萬元),若開展?fàn)I銷活動,則一個月的利潤為(萬元),這100個城市中開展?fàn)I銷活動比不開展每月多盈利100萬元.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖與頻率分布表的應(yīng)用,完善列聯(lián)表并計算的觀測值作出判斷,分層抽樣的簡單應(yīng)用,綜合性強,屬于中檔題.18.(1),.(2)【解析】
(1)先將曲線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程,即可代入公式化為極坐標(biāo);根據(jù)直線的直角坐標(biāo)方程,求得傾斜角,即可得極坐標(biāo)方程.(2)將直線的極坐標(biāo)方程代入曲線、可得,進而代入可得的值.【詳解】(1)曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去得,把,代入得,從而得的極坐標(biāo)方程為,∵直線的直角坐標(biāo)方程為,其傾斜角為,∴直線的極坐標(biāo)方程為.(2)將代入曲線的極坐標(biāo)方程分別得到,則.【點睛】本題考查了參數(shù)方程化為普通方程的方法,直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程的方法,極坐標(biāo)的幾何意義,屬于中檔題.19.(1)(2)【解析】
(1)利用余弦定理可得的長;(2)利用面積得出,結(jié)合正弦定理可得.【詳解】解:(1)由題可知.在中,,所以.(2),則.又,所以.【點睛】本題主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形,已知角較多時一般選用正弦定理,已知邊較多時一般選用余弦定理.20.(1)(2)見解析【解析】
(1)由題得a,b,c的方程組求解即可(2)直線與直線恰關(guān)于軸對稱,等價于的斜率互為相反數(shù),即,整理.設(shè)直線的方程為,與橢圓聯(lián)立,將韋達定理代入整理即可.【詳解】(1)由題意可得,,又,解得,.所以,橢圓的方程為(2)存在定點,滿足直線與直線恰關(guān)于軸對稱.設(shè)直線的方程為,與橢圓聯(lián)立,整理得,.設(shè),,定點.(依題意則由韋達定理可得,,.直線與直線恰關(guān)于軸對稱,等價于的斜率互為相反數(shù).所以,,即得.又,,所以,,整理得,.從而可得,,即,所以,當(dāng),即時,直線與直線恰關(guān)于軸對稱成立.特別地,當(dāng)直線為軸時,也符合題意.綜上所述,存在軸上的定點,滿足直線與直線恰關(guān)于軸對稱.【點睛】本題考查橢圓方程,直線與橢圓位置關(guān)系,熟記橢圓方程簡單性質(zhì),熟練轉(zhuǎn)化
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