2022屆云南省昆明市官渡區(qū)官渡區(qū)第一中學(xué)高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),其圖象關(guān)于直線對稱,為了得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象上的所有點()A.先向左平移個單位長度,再把所得各點橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)保持不變B.先向右平移個單位長度,再把所得各點橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)保持不變C.先向右平移個單位長度,再把所得各點橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)保持不變D.先向左平移個單位長度,再把所得各點橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)保持不變2.如圖,四面體中,面和面都是等腰直角三角形,,,且二面角的大小為,若四面體的頂點都在球上,則球的表面積為()A. B. C. D.3.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一問題:“今有鱉臑(biēnaò),下廣五尺,無袤;上袤四尺,無廣;高七尺.問積幾何?”該幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體外接球的表面積為()A.平方尺 B.平方尺C.平方尺 D.平方尺4.設(shè)遞增的等比數(shù)列的前n項和為,已知,,則()A.9 B.27 C.81 D.5.下圖中的圖案是我國古代建筑中的一種裝飾圖案,形若銅錢,寓意富貴吉祥.在圓內(nèi)隨機取一點,則該點取自陰影區(qū)域內(nèi)(陰影部分由四條四分之一圓弧圍成)的概率是()A. B. C. D.6.在中,點D是線段BC上任意一點,,,則()A. B.-2 C. D.27.某人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓,其軌道的離心率為,設(shè)地球半徑為,該衛(wèi)星近地點離地面的距離為,則該衛(wèi)星遠地點離地面的距離為()A. B.C. D.8.已知為銳角,且,則等于()A. B. C. D.9.已知正項等比數(shù)列的前項和為,且,則公比的值為()A. B.或 C. D.10.已知集合,,則()A. B.C. D.11.已知函數(shù),,若對任意的,存在實數(shù)滿足,使得,則的最大值是()A.3 B.2 C.4 D.512.已知將函數(shù)(,)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,若和的圖象都關(guān)于對稱,則下述四個結(jié)論:①②③④點為函數(shù)的一個對稱中心其中所有正確結(jié)論的編號是()A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖是一個算法流程圖,若輸出的實數(shù)的值為,則輸入的實數(shù)的值為______________.14.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載“今有人共買物,人出八,盈三;人出七,不足四.問人數(shù)、物價各幾何?”設(shè)人數(shù)、物價分別為、,滿足,則_____,_____.15.執(zhí)行如圖所示的偽代碼,若輸出的y的值為13,則輸入的x的值是_______.16.若函數(shù)(a>0且a≠1)在定義域[m,n]上的值域是[m2,n2](1<m<n),則a的取值范圍是_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某工廠,兩條相互獨立的生產(chǎn)線生產(chǎn)同款產(chǎn)品,在產(chǎn)量一樣的情況下通過日常監(jiān)控得知,生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品的概率分別為和.(1)從,生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品,若使得至少有一件合格的概率不低于,求的最小值.(2)假設(shè)不合格的產(chǎn)品均可進行返工修復(fù)為合格品,以(1)中確定的作為的值.①已知,生產(chǎn)線的不合格產(chǎn)品返工后每件產(chǎn)品可分別挽回損失元和元.若從兩條生產(chǎn)線上各隨機抽檢件產(chǎn)品,以挽回損失的平均數(shù)為判斷依據(jù),估計哪條生產(chǎn)線挽回的損失較多?②若最終的合格品(包括返工修復(fù)后的合格品)按照一、二、三等級分類后,每件分別獲利元、元、元,現(xiàn)從,生產(chǎn)線的最終合格品中各隨機抽取件進行檢測,結(jié)果統(tǒng)計如下圖;用樣本的頻率分布估計總體分布,記該工廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為,求的分布列并估算該廠產(chǎn)量件時利潤的期望值.18.(12分)已知,其中.(1)當(dāng)時,設(shè)函數(shù),求函數(shù)的極值.(2)若函數(shù)在區(qū)間上遞增,求的取值范圍;(3)證明:.19.(12分)已知橢圓:,不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于,兩點.(Ⅰ)若線段的中點坐標(biāo)為,求直線的方程;(Ⅱ)若直線過點,點滿足(,分別為直線,的斜率),求的值.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),圓的方程為,以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求和的極坐標(biāo)方程;(2)過且傾斜角為的直線與交于點,與交于另一點,若,求的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù),曲線在點處的切線方程為.(1)求,的值;(2)證明函數(shù)存在唯一的極大值點,且.22.(10分)已知不等式的解集為.(1)求實數(shù)的值;(2)已知存在實數(shù)使得恒成立,求實數(shù)的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】

由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,得,進而得再利用圖像變換求解即可【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,得,即,解得,所以,,故只需將函數(shù)的圖象上的所有點“先向左平移個單位長度,得再將橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)保持不變,得”即可.故選:D【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查圖像變換,考查運算求解能力,是中檔題2.B【解析】

分別取、的中點、,連接、、,利用二面角的定義轉(zhuǎn)化二面角的平面角為,然后分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點,在中計算出,再利用勾股定理計算出,即可得出球的半徑,最后利用球體的表面積公式可得出答案.【詳解】如下圖所示,分別取、的中點、,連接、、,由于是以為直角等腰直角三角形,為的中點,,,且、分別為、的中點,所以,,所以,,所以二面角的平面角為,,則,且,所以,,,是以為直角的等腰直角三角形,所以,的外心為點,同理可知,的外心為點,分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點,則點在平面內(nèi),如下圖所示,由圖形可知,,在中,,,所以,,所以,球的半徑為,因此,球的表面積為.故選:B.【點睛】本題考查球體的表面積,考查二面角的定義,解決本題的關(guān)鍵在于找出球心的位置,同時考查了計算能力,屬于中等題.3.A【解析】

根據(jù)三視圖得出原幾何體的立體圖是一個三棱錐,將三棱錐補充成一個長方體,此長方體的外接球就是該三棱錐的外接球,由球的表面積公式計算可得選項.【詳解】由三視圖可得,該幾何體是一個如圖所示的三棱錐,為三棱錐外接球的球心,此三棱錐的外接球也是此三棱錐所在的長方體的外接球,所以為的中點,設(shè)球半徑為,則,所以外接球的表面積,故選:A.【點睛】本題考查求幾何體的外接球的表面積,關(guān)鍵在于由幾何體的三視圖得出幾何體的立體圖,找出外接球的球心位置和半徑,屬于中檔題.4.A【解析】

根據(jù)兩個已知條件求出數(shù)列的公比和首項,即得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q.由,得,解得或.因為.且數(shù)列遞增,所以.又,解得,故.故選:A【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項和求和公式,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.5.C【解析】令圓的半徑為1,則,故選C.6.A【解析】

設(shè),用表示出,求出的值即可得出答案.【詳解】設(shè)由,,.故選:A【點睛】本題考查了向量加法、減法以及數(shù)乘運算,需掌握向量加法的三角形法則以及向量減法的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.7.A【解析】

由題意畫出圖形,結(jié)合橢圓的定義,結(jié)合橢圓的離心率,求出橢圓的長半軸a,半焦距c,即可確定該衛(wèi)星遠地點離地面的距離.【詳解】橢圓的離心率:,(c為半焦距;a為長半軸),設(shè)衛(wèi)星近地點,遠地點離地面距離分別為r,n,如圖:則所以,,故選:A【點睛】本題主要考查了橢圓的離心率的求法,注意半焦距與長半軸的求法,是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.8.C【解析】

由可得,再利用計算即可.【詳解】因為,,所以,所以.故選:C.【點睛】本題考查二倍角公式的應(yīng)用,考查學(xué)生對三角函數(shù)式化簡求值公式的靈活運用的能力,屬于基礎(chǔ)題.9.C【解析】

由可得,故可求的值.【詳解】因為,所以,故,因為正項等比數(shù)列,故,所以,故選C.【點睛】一般地,如果為等比數(shù)列,為其前項和,則有性質(zhì):(1)若,則;(2)公比時,則有,其中為常數(shù)且;(3)為等比數(shù)列()且公比為.10.A【解析】

根據(jù)對數(shù)性質(zhì)可知,再根據(jù)集合的交集運算即可求解.【詳解】∵,集合,∴由交集運算可得.故選:A.【點睛】本題考查由對數(shù)的性質(zhì)比較大小,集合交集的簡單運算,屬于基礎(chǔ)題.11.A【解析】

根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為,對于恒成立,然后構(gòu)造函數(shù),然后求出的范圍,進一步得到的最大值.【詳解】,,對任意的,存在實數(shù)滿足,使得,易得,即恒成立,,對于恒成立,設(shè),則,令,在恒成立,,故存在,使得,即,當(dāng)時,,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,單調(diào)遞增.,將代入得:,,且,故選:A【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,零點存在定理和不等式恒成立問題,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.12.B【解析】

首先根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)則表示出,再根據(jù)對稱性求出、,即可求出的解析式,從而驗證可得;【詳解】解:由題意可得,又∵和的圖象都關(guān)于對稱,∴,∴解得,即,又∵,∴,,∴,∴,,∴①③④正確,②錯誤.故選:B【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,三角函數(shù)的變換規(guī)則,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

根據(jù)程序框圖得到程序功能,結(jié)合分段函數(shù)進行計算即可.【詳解】解:程序的功能是計算,若輸出的實數(shù)的值為,則當(dāng)時,由得,當(dāng)時,由,此時無解.故答案為:.【點睛】本題主要考查程序框圖的識別和判斷,理解程序功能是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】

利用已知條件,通過求解方程組即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)人數(shù)、物價分別為、,滿足,解得,.故答案為:;.【點睛】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用,方程組的求解,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.15.8【解析】

根據(jù)偽代碼逆向運算求得結(jié)果.【詳解】輸入,若,則,不合題意若,則,滿足題意本題正確結(jié)果:【點睛】本題考查算法中的語言,屬于基礎(chǔ)題.16.(1,)【解析】

在定義域[m,n]上的值域是[m2,n2],等價轉(zhuǎn)化為與的圖像在(1,)上恰有兩個交點,考慮相切狀態(tài)可求a的取值范圍.【詳解】由題意知:與的圖像在(1,)上恰有兩個交點考查臨界情形:與切于,.故答案為:.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,把已知條件進行等價轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)①生產(chǎn)線上挽回的損失較多.②見解析【解析】

(1)由題意得到關(guān)于的不等式,求解不等式得到的取值范圍即可確定其最小值;(2)①.由題意利用二項分布的期望公式和數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)給出結(jié)論即可;②.由題意首先確定X可能的取值,然后求得相應(yīng)的概率值可得分布列,最后由分布列可得利潤的期望值.【詳解】(1)設(shè)從,生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品,至少有一件合格為事件,設(shè)從,生產(chǎn)線上抽到合格品分別為事件,,則,互為獨立事件由已知有,則解得,則的最小值(2)由(1)知,生產(chǎn)線的合格率分別為和,即不合格率分別為和.①設(shè)從,生產(chǎn)線上各抽檢件產(chǎn)品,抽到不合格產(chǎn)品件數(shù)分別為,,則有,,所以,生產(chǎn)線上挽回損失的平均數(shù)分別為:,所以生產(chǎn)線上挽回的損失較多.②由已知得的可能取值為,,,用樣本估計總體,則有,,所以的分布列為所以(元)故估算估算該廠產(chǎn)量件時利潤的期望值為(元)【點睛】本題主要考查概率公式的應(yīng)用,二項分布的性質(zhì)與方差的求解,離散型隨機變量及其分布列的求解等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.18.(1)極大值,無極小值;(2).(3)見解析【解析】

(1)先求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)極值的關(guān)系即可求出;(2)先求導(dǎo),再函數(shù)在區(qū)間上遞增,分離參數(shù),構(gòu)造函數(shù),求出函數(shù)的最值,問題得以解決;(3)取得到,取,可得,累加和根據(jù)對數(shù)的運算性和放縮法即可證明.【詳解】解:(1)當(dāng)時,設(shè)函數(shù),則令,解得當(dāng)時,,當(dāng)時,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減所以當(dāng)時,函數(shù)取得極大值,即極大值為,無極小值;(2)因為,所以,因為在區(qū)間上遞增,所以在上恒成立,所以在區(qū)間上恒成立.當(dāng)時,在區(qū)間上恒成立,當(dāng)時,,設(shè),則在區(qū)間上恒成立.所以在單調(diào)遞增,則,所以,即綜上所述.(3)由(2)可知當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間上遞增,所以,即,取,則.所以所以【點睛】此題考查了參數(shù)的取值范圍以及恒成立的問題,以及不等式的證明,構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵,屬于較難題.19.(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)根據(jù)點差法,即可求得直線的斜率,則方程即可求得;(Ⅱ)設(shè)出直線方程,聯(lián)立橢圓方程,利用韋達定理,根據(jù),即可求得參數(shù)的值.【詳解】(1)設(shè),,則兩式相減,可得.(*)因為線段的中點坐標(biāo)為,所以,.代入(*)式,得.所以直線的斜率.所以直線的方程為,即.(Ⅱ)設(shè)直線:(),聯(lián)立整理得.所以,解得.所以,.所以,所以.所以.因為,所以.【點睛】本題考查中點弦問題的點差法求解,以及利用代數(shù)與幾何關(guān)系求直線方程,涉及韋達定理的應(yīng)用,屬中檔題.20.(1);(2)【解析】

(1)直接利用轉(zhuǎn)換公式,把參數(shù)方程,直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程進行轉(zhuǎn)化;(2)利用極坐標(biāo)方程將轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解即可.【詳解】(1)因為,所以的普通方程為,又,,,的極坐標(biāo)方程為,的方程即為,對應(yīng)極坐標(biāo)方程為.(2)由己知設(shè),,則,,所以,又,,當(dāng),即時,取得最小值;

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