貴州省遵義市求是高級中學(xué)2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
貴州省遵義市求是高級中學(xué)2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析_第2頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額(單位:億元)的折線圖.則下列結(jié)論中表述不正確的是()A.從2000年至2016年,該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額逐年增加;B.2011年該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2000年至2004年的投資總額還多;C.2012年該地區(qū)基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2004年的投資額翻了兩番;D.為了預(yù)測該地區(qū)2019年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為)建立了投資額y與時間變量t的線性回歸模型,根據(jù)該模型預(yù)測該地區(qū)2019的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額為256.5億元.2.已知數(shù)列中,,(),則等于()A. B. C. D.23.已知等差數(shù)列的前n項和為,且,,若(,且),則i的取值集合是()A. B. C. D.4.已知函數(shù)在區(qū)間上恰有四個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.5.設(shè)為等差數(shù)列的前項和,若,,則的最小值為()A. B. C. D.6.在平面直角坐標(biāo)系中,已知角的頂點與原點重合,始邊與軸的非負(fù)半軸重合,終邊落在直線上,則()A. B. C. D.7.已知向量與的夾角為,,,則()A. B.0 C.0或 D.8.若,滿足約束條件,則的最大值是()A. B. C.13 D.9.已知函數(shù)且的圖象恒過定點,則函數(shù)圖象以點為對稱中心的充要條件是()A. B.C. D.10.已知函數(shù)若關(guān)于的方程有六個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.11.過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點,若線段中點的橫坐標(biāo)為3,且,則拋物線的方程是()A. B. C. D.12.在平行六面體中,M為與的交點,若,,則與相等的向量是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知正數(shù)a,b滿足a+b=1,則的最小值等于__________,此時a=____________.14.已知數(shù)列的前項和為,,且滿足,則數(shù)列的前10項的和為______.15.如圖,、分別是雙曲線的左、右焦點,過的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于、兩點,若,,則雙曲線的離心率是______.16.在三棱錐中,已知,且平面平面,則三棱錐外接球的表面積為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為,(1)若,求不等式的解集;(2)證明:對任意的,恒有.18.(12分)已知三點在拋物線上.(Ⅰ)當(dāng)點的坐標(biāo)為時,若直線過點,求此時直線與直線的斜率之積;(Ⅱ)當(dāng),且時,求面積的最小值.19.(12分)已知函數(shù)(1)若函數(shù)在處取得極值1,證明:(2)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)在中,角的對邊分別為,且.(1)求角的大??;(2)若函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為且,求的值.21.(12分)以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點,軸的正半軸為極軸,且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位,建立極坐標(biāo)系,已知曲線,曲線(為參數(shù)),求曲線交點的直角坐標(biāo).22.(10分)如圖,三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,且,,,,是棱的中點.(1)證明:;(2)求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】

根據(jù)圖像所給的數(shù)據(jù),對四個選項逐一進(jìn)行分析排除,由此得到表述不正確的選項.【詳解】對于選項,由圖像可知,投資額逐年增加是正確的.對于選項,投資總額為億元,小于年的億元,故描述正確.年的投資額為億,翻兩翻得到,故描述正確.對于選項,令代入回歸直線方程得億元,故選項描述不正確.所以本題選D.【點睛】本小題主要考查圖表分析能力,考查利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測的方法,屬于基礎(chǔ)題.2.A【解析】

分別代值計算可得,觀察可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列,問題得以解決.【詳解】解:∵,(),

,

,

,

…,

∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列,

,

故選:A.【點睛】本題考查數(shù)列的周期性和運用:求數(shù)列中的項,考查運算能力,屬于基礎(chǔ)題.3.C【解析】

首先求出等差數(shù)列的首先和公差,然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設(shè)公差為d,由題知,,解得,,所以數(shù)列為,故.故選:C.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解,屬于基礎(chǔ)題.4.A【解析】

函數(shù)的零點就是方程的解,設(shè),方程可化為,即或,求出的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性和最值,由此可根據(jù)方程解的個數(shù)得出的范圍.【詳解】由題意得有四個大于的不等實根,記,則上述方程轉(zhuǎn)化為,即,所以或.因為,當(dāng)時,,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,單調(diào)遞增;所以在處取得最小值,最小值為.因為,所以有兩個符合條件的實數(shù)解,故在區(qū)間上恰有四個不相等的零點,需且.故選:A.【點睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的零點.考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程的解,方程的解再轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì),本題考查了學(xué)生分析問題解決問題的能力.5.C【解析】

根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的通項公式,判斷出最小時的值,由此求得的最小值.【詳解】依題意,解得,所以.由解得,所以前項和中,前項的和最小,且.故選:C【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式和前項和公式的基本量計算,考查等差數(shù)列前項和最值的求法,屬于基礎(chǔ)題.6.C【解析】

利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式,將化簡為關(guān)于的形式,結(jié)合終邊所在的直線可知的值,從而可求的值.【詳解】因為,且,所以.故選:C.【點睛】本題考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式以及三角恒等變換中的二倍角公式,屬于給角求值類型的問題,難度一般.求解值的兩種方法:(1)分別求解出的值,再求出結(jié)果;(2)將變形為,利用的值求出結(jié)果.7.B【解析】

由數(shù)量積的定義表示出向量與的夾角為,再由,代入表達(dá)式中即可求出.【詳解】由向量與的夾角為,得,所以,又,,,,所以,解得.故選:B【點睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運算和向量的模長平方等于向量的平方,考查學(xué)生的計算能力,屬于基礎(chǔ)題.8.C【解析】

由已知畫出可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最大值.【詳解】解:表示可行域內(nèi)的點到坐標(biāo)原點的距離的平方,畫出不等式組表示的可行域,如圖,由解得即點到坐標(biāo)原點的距離最大,即.故選:.【點睛】本題考查線性規(guī)劃問題,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想以及運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.9.A【解析】

由題可得出的坐標(biāo)為,再利用點對稱的性質(zhì),即可求出和.【詳解】根據(jù)題意,,所以點的坐標(biāo)為,又,所以.故選:A.【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)過定點問題和函數(shù)對稱性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.10.B【解析】

令,則,由圖象分析可知在上有兩個不同的根,再利用一元二次方程根的分布即可解決.【詳解】令,則,如圖與頂多只有3個不同交點,要使關(guān)于的方程有六個不相等的實數(shù)根,則有兩個不同的根,設(shè)由根的分布可知,,解得.故選:B.【點睛】本題考查復(fù)合方程根的個數(shù)問題,涉及到一元二次方程根的分布,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題.11.B【解析】

利用拋物線的定義可得,,把線段AB中點的橫坐標(biāo)為3,代入可得p值,然后可得出拋物線的方程.【詳解】設(shè)拋物線的焦點為F,設(shè)點,由拋物線的定義可知,線段AB中點的橫坐標(biāo)為3,又,,可得,所以拋物線方程為.故選:B.【點睛】本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用,利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.12.D【解析】

根據(jù)空間向量的線性運算,用作基底表示即可得解.【詳解】根據(jù)空間向量的線性運算可知因為,,則即,故選:D.【點睛】本題考查了空間向量的線性運算,用基底表示向量,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.3【解析】

根據(jù)題意,分析可得,由基本不等式的性質(zhì)可得最小值,進(jìn)而分析基本不等式成立的條件可得a的值,即可得答案.【詳解】根據(jù)題意,正數(shù)a、b滿足,則,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,故的最小值為3,此時.故答案為:3;.【點睛】本題考查基本不等式及其應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化與化歸能力,屬于基礎(chǔ)題.14.1【解析】

由得時,,兩式作差,可求得數(shù)列的通項公式,進(jìn)一步求出數(shù)列的和.【詳解】解:數(shù)列的前項和為,,且滿足,①當(dāng)時,,②①-②得:,整理得:(常數(shù)),故數(shù)列是以為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以(首項不符合通項),故,所以:,故答案為:1.【點睛】本題主要考查數(shù)列的通項公式的求法及應(yīng)用,數(shù)列的前項和的公式,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】

根據(jù)三角形中位線證得,結(jié)合判斷出垂直平分,由此求得的值,結(jié)合求得的值.【詳解】∵,∴為中點,,∵,∴垂直平分,∴,即,∴,,即.故答案為:【點睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】

取的中點,設(shè)等邊三角形的中心為,連接.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求得,,由等腰直角三角形的性質(zhì),得,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得平面,,由勾股定理求得,可得為三棱錐外接球的球心,根據(jù)球體的表面積公式可求得此外接球的表面積.【詳解】在等邊三角形中,取的中點,設(shè)等邊三角形的中心為,連接.由,得,,由已知可得是以為斜邊的等腰直角三角形,,又由已知可得平面平面,平面,,,所以,為三棱錐外接球的球心,外接球半徑,三棱錐外接球的表面積為.故答案為:【點睛】本題考查三棱錐的外接球的表面積,關(guān)鍵在于根據(jù)三棱錐的面的關(guān)系、棱的關(guān)系和長度求得外接球的球心的位置,球的半徑,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)證明見解析【解析】

(1)求出的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性,再利用函數(shù)單調(diào)性解函數(shù)型不等式;(2)構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷在區(qū)間上單調(diào)遞減,結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】(1)若,則.設(shè),則,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.又當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,,所以所以在上單調(diào)遞增,又,所以不等式的解集為.(2)設(shè),再令,,在上單調(diào)遞減,又,,,,,.即【點睛】本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性,再利用函數(shù)的單調(diào)性來解決不等式問題,屬于較難題.18.(Ⅰ);(Ⅱ)16.【解析】

(Ⅰ)設(shè)出直線的方程并代入拋物線方程,利用韋達(dá)定理以及斜率公式,變形可得;(Ⅱ)利用,,的斜率,求得的坐標(biāo),,再用基本不等式求得的最小值,從而可得三角形的面積的最小值.【詳解】解:(Ⅰ)設(shè)直線的方程為.聯(lián)立方程組,得,,故,.所以;(Ⅱ)不妨設(shè)的三個頂點中的兩個頂點在軸右側(cè)(包括軸),設(shè),,,的斜率為,又,則,①因為,所以②由①②得,,(且)從而當(dāng)且僅當(dāng)時取“”號,從而,所以面積的最小值為.【點睛】本題考查了直線與拋物線的綜合,屬于中檔題.19.(1)證明見詳解;(2)【解析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由在處取得極值1,可得且.解出,構(gòu)造函數(shù),分析其單調(diào)性,結(jié)合,即可得到的范圍,命題得證;

(2)由分離參數(shù),得到恒成立,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)函數(shù),再構(gòu)造函數(shù),進(jìn)行二次求導(dǎo).由知,則在上單調(diào)遞增.根據(jù)零點存在定理可知有唯一零點,且.由此判斷出時,單調(diào)遞減,時,單調(diào)遞增,則,即.由得,再次構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)分析單調(diào)性,從而得,即,最終求得,則.【詳解】解:(1)由題知,∵函數(shù)在,處取得極值1,,且,,,令,則為增函數(shù),,即成立.(2)不等式恒成立,即不等式恒成立,即恒成立,令,則令,則,,,在上單調(diào)遞增,且,有唯一零點,且,當(dāng)時,,,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,,單調(diào)遞增.,由整理得,令,則方程等價于而在上恒大于零,在上單調(diào)遞增,.,∴實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查了函數(shù)的極值,利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的零點存在定理,證明不等式,解決不等式恒成立問題.其中多次構(gòu)造函數(shù),是解題的關(guān)鍵,屬于綜合性很強的難題.20.(1)(2)【解析】

(1)由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正弦定理可求,即可求的值.(2)利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,可得,根據(jù)題意,得到,解得,得到函數(shù)的解析式,進(jìn)而求得的值,利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求的值.【詳解】(1)由題意,根據(jù)正弦定理,可得,又由,所以,可得,即,又因為,則,可得,∵,∴.(2)由(1)可得,所以函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程為,∴,得,即,∴,又,∴,∴.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.21.【解析】

利用極坐標(biāo)方程與普通方程、參數(shù)方程間的互化公式化簡即可.【詳解】因為,所以,所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.由,得,所以曲線的普通方程為.由,得,所以(舍),所以,所以曲線的交點坐標(biāo)為.【點睛】本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程,參數(shù)方程與普通方程間的互化,考查學(xué)生的計算能力,是一道容易題.22.(1)詳見解析;(2).【解析】

(1)根據(jù)平面,四邊形是矩形,由為中點,且,利用平面幾何知識,可得,

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