五年級奧數(shù)-等積變形

授課日期授課主題積變形教學內容分析與解分析與解i.檢測定位兩個平面圖形面積相等，稱為這兩個圖形等積.解決平面圖形面積問題的主要渠道是將欲求的圖形的面積轉化為已經(jīng)學過的基本圖形的面積.其中三角形的等積變形的技巧是各種等積變形的核心，都要運用到“等（同）底、等（同）高的兩個三角形面積相等”這個基本規(guī)則，并由此衍生出因題而宜的種種精巧的等積變形的技巧.【例1】如圖5-1，ABCD是直角梯形，兩條對角線把梯形分為4個三角形.已知其中兩個三角形的面積為3平方厘米和6平方厘米，求直角梯形ABCD的面積.因為三角形ADC和三角形ADB同底等高,所以SAADC=Saa。2,又三角形AOD是公共部分,可知S=S^AOB ACOD

=3（平方厘米）.在三角形BOC與三角形DOC中，BO、OD邊上的高相等，6是3的2倍,可知BO=2OD，得S =2S ，AAOB AAOD這樣S =3+2=1.5（平方厘米）.因此，S =6+3+3+3+（6+3）=13.5（平方厘米）.AAOD 梯形ABCD隨堂練習1如圖5-2,三角形ABO的面積為9平方厘米，線段BO的長度是線段OD的3倍，梯形ABCD的面積是多少平方厘米?【例2】如圖5-3，把三角形ABC的一條邊AB延長1倍到D，把它的另一邊AC延長2倍到￡，得到一個較大的三角形ADE，三角形ADE的面積是三角形ABC面積的多少倍?AA分析與解如圖5-4，連結BE，因為CE=2AC，所以S =2SABCE，即S =3S .又因為AB=BD，則AABC AABE AABCS=S，AABE ABDE

S =6SAADE AABC.倍..倍.隨堂練習2如圖5-5,AE=3AB,BD=2BC,ADBE面積是AABC面積的【例3】如圖5-6,已知三角形ABC的面積為56平方厘米，是平行四邊形DEFC的2倍，陰影部分的面積是多少平分析與解如圖5-7，連結EC.EC為平行四邊形DEFC的對角線.平行四邊形DEFC的面積是+2.平行四邊形DEFC56+2=28（平方厘米），由平行四邊形的性質有S =+2.平行四邊形DEFC在AAED在AAED與ACED中，ED為公共底，DE平行于AC,則ED邊上的高相等，因此S=SAAED ADECS=S=S+2=56+2+2=14（平方厘米）.AAED ADECDEFC隨堂練習3如圖5-8，AABC的面積等于24平方厘米，M為AB中點

E為AM上任意一點，MD與EC平行.求AEBD的面積.【例4】如圖5-9所示，矩形ABCD的面積為24平方厘米，三角形ADM與三角形BCN的面積之和為7.8平方厘米，則四邊形PMON的面積是 平方厘米.分析與解三角形AOD與三角形BOC的面積之和為矩形ABCD面積的一半，先求出三角形AOM和三角形NOB的面積之和，由三角形ABP的面積減去三角形AOB的面積，再減去三角形AOM和三角形NOB的面積和，就可求出四邊形PMON的面積了.S+S=24+2—7.8=4.2（平方厘米）.AAOM ANOBS =24?2—4.2—24+4=1.8（平方厘米）.四邊形PMON說明本題說求的陰影部分面積看似無從下手，實質上只要我們理清楚解題的思路分步考慮，腳踏實地地去做，求出本題的答案是不難的.隨堂練習4如圖5-10，平行四邊形ABCD中BF=2DF，E是BC的中點.S =8平方厘米，求平行四邊形ABCD的面積.ABEF圖5-10【例5】如圖5-11,梯形ABCD的面積是45平方厘米，高是6厘米，AD//BC.m角形AED的面積是5平方厘米，BC=10厘米，求三角形BCE的面積.分析與解由已知量，可先求出上底AD，進而求出三角形ABD（或ACD）面積及三角形ABE面積，利用等積變換可知三角形ABE與三角形CDE等積.最后得到三角形BCE的面積.由梯形的面積公式得 45=1x（AD+10）x6，解得AD=5厘米，進而S =1x6x5=15（平方厘米）.AABD2由等積變形知S=S，從而s=S =15-5=10（平方厘米）.AABD AACD AABE ACDE所以s =45—5-10x2=20（平方厘米）.ABCE1_____【例6】如圖5-12，已知長方形寬是長的不，S =14平方厘米，AC=-AD，DE=E/.求陰影部分的面積.AABC 3分析與解連結BD，因為AC=1AD，所以，S=3xS =3x14=42（平方厘米），3 AABD AABC從而S =2x42=84（平方厘米）.長方形ABFD又因為DE=EF，所以S=1S=1x84=21（平方厘米），ABFE4長方形ABFD4從而S=S-S-S=84-14-21=49（平方厘米）.陰影面積 長方形ABFD AABC ABFE隨堂練習5如圖5-13,梯形ABCD中，AD//BC，對角線交于O，三角形AOD面積為20，三角形ABO面積為30.求梯形ABCD的面積.（單位：平方厘米）讀一讀不要輕易放棄題目 平面上有7個點，任意三點不在同一直線上.以上這7個點作為定點作三角形，使任意兩個三角形至多只有一個公共頂點.問最多可以作出多少個滿足上述條件的三角形？我在紙上畫了很多草圖，費盡心思，想得到合乎要求的7個三角形，但沒有結果.只好向單博請教，他很快就給出了解答，非常精彩.在他的解答中有一句話使我心頭一震：”在構造這7個三角形時，每一個點恰好用了3次”.事后，我又回顧了自己的思路，有兩張草圖印象很深.第一張是開始時的草圖(圖1),這是第一個念頭，只能作出3個符合要求的三角形.于是想在此圖基礎上連線增加符合要求的三角形，雖然有所改進，但毫無章法，很快就放棄了.為了改進作圖，我先將7個點放在圓上，可保證無3個點共線，兩兩連線，得到以給定7個點為頂點的所有三角形(圖2),我知道要求的7個三角形必在其中.但要把他們找出來，并加以說明又很困難.然而當單老師的信息“每個點恰用3次”出現(xiàn)時，我的第1個年頭立刻浮現(xiàn)在眼前，圖中的“1”不正好直觀地被用了3次嗎？如果對1進行輪換，用2、3、4、5、6、7替換1,就可產(chǎn)生3x7=21個符合要求的三角形，而因為每個點恰好用了3次，因此，合乎題目要求的三角形正好是7個，這7個三角形的3個頂點分別為(1,2,3),(3,4,5),(5,6,1),(1,7,4),(3,7,6),(5,7,2),(2,4,6).上面的想法幾乎在一瞬間完成，再去復查2,7個三角形很容易找出來了.單老師在談解題思路是常說，做不出來不要緊，很多想法雖然沒有解決全部問題，但其中或解決了部分問題，或隱含著解決問題的合理成分.關鍵是要會總結，碰了釘子不要緊，不一定全部放棄你原來的想法.Iii.針對培養(yǎng)1.如圖，AABC中，D、E分別為各邊重點.若陰影部分面積為1,則AABC的面積為

.如圖，梯形的下底長為10厘米，高為6厘米，陰影部分的面積是 平方厘米..如圖，平行四邊形中，A、M、N分別為對應線段的中點，且陰影部分面積為15平方厘米，則大平行四邊形的面積是 平方厘米..如圖，將AABC的AB邊延長1倍，將BC邊延長2倍，得AA0E，則AADE的面積是AABC面積的倍..如圖，BC=3BE,AC=4CD,則AABC的面積是ADEA面積的倍..如圖，求平行四邊形中陰影部分面積.（單位：厘米）.如圖，AABC中，AD=2，BD=3.四邊形DBEF的面積等于AABE的面積.若AABC的面積等于10，則四邊形.如圖，AABC