2023年山東省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

2023年山東省高考數(shù)學(xué)試卷〔理科〕2023年山東省高考數(shù)學(xué)試卷〔理科〕一、選擇題1．〔5分〕〔2023?山東〕復(fù)數(shù)z滿足〔z﹣3〕〔2﹣i〕=5〔i為虛數(shù)單位〕，那么z的共軛復(fù)數(shù)為〔〕A．2+iB．2﹣iC．5+iD．5﹣i2．〔5分〕〔2023?山東〕集合A={0，1，2}，那么集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的個(gè)數(shù)是〔〕A．1B．3C．5D．93．〔5分〕〔2023?山東〕函數(shù)f〔x〕為奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，，那么f〔﹣1〕=〔〕A．﹣2B．0C．1D．24．〔5分〕〔2023?山東〕三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，假設(shè)P為底面A1B1C1的中心，那么PA與平面ABC所成角的大小為〔〕A．B．C．D．5．〔5分〕〔2023?山東〕函數(shù)y=sin〔2x+φ〕的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，那么φ的一個(gè)可能的值為〔〕A．B．C．0D．6．〔5分〕〔2023?山東〕在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，那么直線OM斜率的最小值為〔〕A．2B．1C．D．7．〔5分〕〔2023?山東〕給定兩個(gè)命題p，q．假設(shè)￢p是q的必要而不充分條件，那么p是￢q的〔〕A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件8．〔5分〕〔2023?山東〕函數(shù)y=xcosx+sinx的圖象大致為〔〕A．B．C．D．9．〔5分〕〔2023?山東〕過點(diǎn)〔3，1〕作圓〔x﹣1〕2+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，那么直線AB的方程為〔〕A．2x+y﹣3=0B．2x﹣y﹣3=0C．4x﹣y﹣3=0D．4x+y﹣3=010．〔5分〕〔2023?山東〕用0，1，2，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為〔〕A．243B．252C．261D．27911．〔5分〕〔2023?山東〕拋物線C1：的焦點(diǎn)與雙曲線C2：的右焦點(diǎn)的連線交C1于第一象限的點(diǎn)M．假設(shè)C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線，那么p=〔〕A．B．C．D．12．〔5分〕〔2023?山東〕設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．那么當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為〔〕A．0B．1C．D．3二、填空題13．〔4分〕〔2023?山東〕執(zhí)行右面的程序框圖，假設(shè)輸入的?值為0.25，那么輸出的n值為_________．14．〔4分〕〔2023?山東〕在區(qū)間[﹣3，3]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率為_________．15．〔4分〕〔2023?山東〕向量與的夾角為120°，且，．假設(shè)，且，那么實(shí)數(shù)λ=_________．16．〔4分〕〔2023?山東〕定義“正數(shù)對(duì)〞：ln+x=，現(xiàn)有四個(gè)命題：①假設(shè)a＞0，b＞0，那么ln+〔ab〕=bln+a；②假設(shè)a＞0，b＞0，那么ln+〔ab〕=ln+a+ln+b；③假設(shè)a＞0，b＞0，那么；④假設(shè)a＞0，b＞0，那么ln+〔a+b〕≤ln+a+ln+b+2．其中的真命題有_________〔寫出所有真命題的序號(hào)〕三、解答題17．〔12分〕〔2023?山東〕設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，且a+c=6，b=2，．〔1〕求a，c的值；〔2〕求sin〔A﹣B〕的值．18．〔12分〕〔2023?山東〕如下圖，在三棱錐P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，AQ=2BD，PD與EQ交于點(diǎn)G，PC與FQ交于點(diǎn)H，連接GH．〔1〕求證：AB∥GH；〔2〕求二面角D﹣GH﹣E的余弦值．19．〔12分〕〔2023?山東〕甲乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束．除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是．設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．〔1〕分別求甲隊(duì)3：0，3：1，3：2勝利的概率；〔2〕假設(shè)比賽結(jié)果3：0或3：1，那么勝利方得3分，對(duì)方得0分；假設(shè)比賽結(jié)果為3：2，那么勝利方得2分，對(duì)方得1分，求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望．20．〔12分〕〔2023?山東〕設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．〔1〕求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；〔2〕設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn且〔λ為常數(shù)〕．令cn=b2n〔n∈N※〕求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Rn．21．〔13分〕〔2023?山東〕設(shè)函數(shù)．〔1〕求f〔x〕的單調(diào)區(qū)間及最大值；〔2〕討論關(guān)于x的方程|lnx|=f〔x〕根的個(gè)數(shù)．22．〔13分〕〔2023?山東〕橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，離心率為，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1．〔1〕求橢圓C的方程；〔2〕點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF1，PF2，設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M〔m，0〕，求m的取值范圍；〔3〕在〔2〕的條件下，過點(diǎn)P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，假設(shè)k≠0，試證明為定值，并求出這個(gè)定值．2023年山東省高考數(shù)學(xué)試卷〔理科〕參考答案與試題解析一、選擇題1．〔5分〕〔2023?山東〕復(fù)數(shù)z滿足〔z﹣3〕〔2﹣i〕=5〔i為虛數(shù)單位〕，那么z的共軛復(fù)數(shù)為〔〕A．2+iB．2﹣iC．5+iD．5﹣i考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的根本概念．專題：計(jì)算題．分析：利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法那么求得z，即可求得z的共軛復(fù)數(shù)．解答：解：∵〔z﹣3〕〔2﹣i〕=5，∴z﹣3==2+i∴z=5+i，∴=5﹣i．應(yīng)選D．點(diǎn)評(píng)：此題考查復(fù)數(shù)的根本概念與根本運(yùn)算，求得復(fù)數(shù)z是關(guān)鍵，屬于根底題．2．〔5分〕〔2023?山東〕集合A={0，1，2}，那么集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的個(gè)數(shù)是〔〕A．1B．3C．5D．9考點(diǎn)：集合中元素個(gè)數(shù)的最值．專題：計(jì)算題．分析：依題意，可求得集合B={﹣2，﹣1，0，1，2}，從而可得答案．解答：解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，∴當(dāng)x=0，y分別取0，1，2時(shí)，x﹣y的值分別為0，﹣1，﹣2；當(dāng)x=1，y分別取0，1，2時(shí)，x﹣y的值分別為1，0，﹣1；當(dāng)x=2，y分別取0，1，2時(shí)，x﹣y的值分別為2，1，0；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的個(gè)數(shù)是5個(gè)．應(yīng)選C．點(diǎn)評(píng)：此題考查集合中元素個(gè)數(shù)的最值，理解題意是關(guān)鍵，考查分析運(yùn)算能力，屬于中檔題．3．〔5分〕〔2023?山東〕函數(shù)f〔x〕為奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，，那么f〔﹣1〕=〔〕A．﹣2B．0C．1D．2考點(diǎn)：函數(shù)的值．專題：計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：利用奇函數(shù)的性質(zhì)，f〔﹣1〕=﹣f〔1〕，即可求得答案．解答：解：∵函數(shù)f〔x〕為奇函數(shù)，x＞0時(shí)，f〔x〕=x2+，∴f〔﹣1〕=﹣f〔1〕=﹣2，應(yīng)選A．點(diǎn)評(píng)：此題考查奇函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的求值，屬于根底題．4．〔5分〕〔2023?山東〕三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，假設(shè)P為底面A1B1C1的中心，那么PA與平面ABC所成角的大小為〔〕A．B．C．D．考點(diǎn)：直線與平面所成的角．專題：空間角．分析：利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直和線面角的定義可知，∠APA1為PA與平面A1B1C1所成角，即為∠APA1為PA與平面ABC所成角．利用三棱錐的體積計(jì)算公式可得AA1，再利用正三角形的性質(zhì)可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=即可得出．解答：解：如下圖，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1為PA與平面A1B1C1所成角，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1為PA與平面ABC所成角．∵==．∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1==，解得．又P為底面正三角形A1B1C1的中心，∴==1，在Rt△AA1P中，，∴．應(yīng)選B．點(diǎn)評(píng)：熟練掌握三棱柱的性質(zhì)、體積計(jì)算公式、正三角形的性質(zhì)、線面角的定義是解題的關(guān)鍵．5．〔5分〕〔2023?山東〕函數(shù)y=sin〔2x+φ〕的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，那么φ的一個(gè)可能的值為〔〕A．B．C．0D．考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin〔ωx+φ〕的圖象變換．專題：計(jì)算題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：利用函數(shù)y=Asin〔ωx+φ〕的圖象變換可得函數(shù)y=sin〔2x+φ〕的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位后的解析式，利用其為偶函數(shù)即可求得答案．解答：解：令y=f〔x〕=sin〔2x+φ〕，那么f〔x+〕=sin[2〔x+〕+φ]=sin〔2x++φ〕，∵f〔x+〕為偶函數(shù)，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k∈Z，∴當(dāng)k=0時(shí)，φ=．故φ的一個(gè)可能的值為．應(yīng)選B．點(diǎn)評(píng)：此題考查函數(shù)y=Asin〔ωx+φ〕的圖象變換，考查三角函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題．6．〔5分〕〔2023?山東〕在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，那么直線OM斜率的最小值為〔〕A．2B．1C．D．考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：此題屬于線性規(guī)劃中的延伸題，對(duì)于可行域不要求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，而是求可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)〔0，0〕構(gòu)成的直線的斜率的最小值即可．解答：解：不等式組表示的區(qū)域如圖，當(dāng)M取得點(diǎn)A〔3，﹣1〕時(shí)，z直線OM斜率取得最小，最小值為k==﹣．應(yīng)選C．點(diǎn)評(píng)：此題利用直線斜率的幾何意義，求可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)的斜率．此題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．7．〔5分〕〔2023?山東〕給定兩個(gè)命題p，q．假設(shè)￢p是q的必要而不充分條件，那么p是￢q的〔〕A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題：規(guī)律型．分析：根據(jù)互為逆否命題真假性相同，可將轉(zhuǎn)化為q是?p的充分不必要條件，進(jìn)而根據(jù)逆否命題及充要條件的定義得到答案．解答：解：∵?p是q的必要而不充分條件，∴q是?p的充分不必要條件，即q??p，但?p不能?q，其逆否命題為p??q，但?q不能?p，那么p是?q的充分不必要條件．應(yīng)選A．點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是充要條件的判斷，其中將利用互為逆否命題真假性相同，轉(zhuǎn)化為q是?p的充分不必要條件，是解答的關(guān)鍵．8．〔5分〕〔2023?山東〕函數(shù)y=xcosx+sinx的圖象大致為〔〕A．B．C．D．考點(diǎn)：函數(shù)的圖象．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：給出的函數(shù)是奇函數(shù)，奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，由此排除B，然后利用區(qū)特值排除A和C，那么答案可求．解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)y=xcosx+sinx為奇函數(shù)，所以排除選項(xiàng)B，由當(dāng)x=時(shí)，，當(dāng)x=π時(shí)，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除選項(xiàng)A和選項(xiàng)C．故正確的選項(xiàng)為D．應(yīng)選D．點(diǎn)評(píng)：此題考查了函數(shù)的圖象，考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)的值，是根底題．9．〔5分〕〔2023?山東〕過點(diǎn)〔3，1〕作圓〔x﹣1〕2+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，那么直線AB的方程為〔〕A．2x+y﹣3=0B．2x﹣y﹣3=0C．4x﹣y﹣3=0D．4x+y﹣3=0考點(diǎn)：圓的切線方程；直線的一般式方程．專題：計(jì)算題；直線與圓．分析：由題意判斷出切點(diǎn)〔1，1〕代入選項(xiàng)排除B、D，推出令一個(gè)切點(diǎn)判斷切線斜率，得到選項(xiàng)即可．解答：解：因?yàn)檫^點(diǎn)〔3，1〕作圓〔x﹣1〕2+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，所以圓的一條切線方程為y=1，切點(diǎn)之一為〔1，1〕，顯然B、D選項(xiàng)不過〔1，1〕，B、D不滿足題意；另一個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)在〔1，﹣1〕的右側(cè)，所以切線的斜率為負(fù)，選項(xiàng)C不滿足，A滿足．應(yīng)選A．點(diǎn)評(píng)：此題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的切線方程求法，可以直接解答，此題的解答是間接法，值得同學(xué)學(xué)習(xí)．10．〔5分〕〔2023?山東〕用0，1，2，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為〔〕A．243B．252C．261D．279考點(diǎn)：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題．專題：計(jì)算題．分析：求出所有三位數(shù)的個(gè)數(shù)，減去沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)個(gè)數(shù)即可．解答：解：用0，1，2，…，9十個(gè)數(shù)字，所有三位數(shù)個(gè)數(shù)為：900，其中沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)百位數(shù)從非0的9個(gè)數(shù)字中選取一位，十位數(shù)從余下的9個(gè)數(shù)字中選一個(gè)，個(gè)位數(shù)再?gòu)挠嘞碌?個(gè)中選一個(gè)，所以共有：9×9×8=648，所以可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為：900﹣648=252．應(yīng)選B．點(diǎn)評(píng)：此題考查排列組合以及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，利用間接法求解是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力．11．〔5分〕〔2023?山東〕拋物線C1：的焦點(diǎn)與雙曲線C2：的右焦點(diǎn)的連線交C1于第一象限的點(diǎn)M．假設(shè)C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線，那么p=〔〕A．B．C．D．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：由曲線方程求出拋物線與雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式寫出過兩個(gè)焦點(diǎn)的直線方程，求出函數(shù)在x取直線與拋物線交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)時(shí)的導(dǎo)數(shù)值，由其等于雙曲線漸近線的斜率得到交點(diǎn)橫坐標(biāo)與p的關(guān)系，把M點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程即可求得p的值．解答：解：由，得x2=2py〔p＞0〕，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F〔〕．由，得，．所以雙曲線的右焦點(diǎn)為〔2，0〕．那么拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)的連線所在直線方程為，即①．設(shè)該直線交拋物線于M〔〕，那么C1在點(diǎn)M處的切線的斜率為．由題意可知，得，代入M點(diǎn)得M〔〕把M點(diǎn)代入①得：．解得p=．應(yīng)選D．點(diǎn)評(píng)：此題考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，函數(shù)在曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率等于函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，是中檔題．12．〔5分〕〔2023?山東〕設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．那么當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為〔〕A．0B．1C．D．3考點(diǎn)：根本不等式．專題：計(jì)算題；壓軸題；不等式的解法及應(yīng)用．分析：依題意，當(dāng)取得最大值時(shí)x=2y，代入所求關(guān)系式f〔y〕=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．解答：解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均為正實(shí)數(shù)，∴==≤=1〔當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取“=〞〕，∴=1，此時(shí)，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=〔2y〕2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1．∴的最大值為1．應(yīng)選B．點(diǎn)評(píng)：此題考查根本不等式，由取得最大值時(shí)得到x=2y是關(guān)鍵，考查配方法求最值，屬于中檔題．二、填空題13．〔4分〕〔2023?山東〕執(zhí)行右面的程序框圖，假設(shè)輸入的?值為0.25，那么輸出的n值為3．考點(diǎn)：程序框圖．專題：圖表型．分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計(jì)算并輸出n的值．解答：解：循環(huán)前，F(xiàn)0=1，F(xiàn)1=2，n=1，第一次循環(huán)，F(xiàn)0=1，F(xiàn)1=3，n=2，第二次循環(huán)，F(xiàn)0=2，F(xiàn)1=4，n=3，此時(shí)，滿足條件，退出循環(huán)，輸出n=3，故答案為：3．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直到循環(huán)結(jié)構(gòu)，根據(jù)流程圖〔或偽代碼〕寫程序的運(yùn)行結(jié)果，是算法這一模塊最重要的題型，屬于根底題．14．〔4分〕〔2023?山東〕在區(qū)間[﹣3，3]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率為．考點(diǎn)：幾何概型；絕對(duì)值不等式的解法．專題：不等式的解法及應(yīng)用；概率與統(tǒng)計(jì)．分析：此題利用幾何概型求概率．先解絕對(duì)值不等式，再利用解得的區(qū)間長(zhǎng)度與區(qū)間[﹣3，3]的長(zhǎng)度求比值即得．解答：解：利用幾何概型，其測(cè)度為線段的長(zhǎng)度．由不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥1可得①，或②，③．解①可得x∈?，解②可得1≤x＜2，解③可得x≥2．故原不等式的解集為{x|x≥1}，∴|在區(qū)間[﹣3，3]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率為P==．故答案為：點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了幾何概型，簡(jiǎn)單地說，如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度〔面積或體積〕成比例，那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型．15．〔4分〕〔2023?山東〕向量與的夾角為120°，且，．假設(shè)，且，那么實(shí)數(shù)λ=．考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角；向量的模．專題：計(jì)算題；壓軸題；平面向量及應(yīng)用．分析：利用，，表示向量，通過數(shù)量積為0，求出λ的值即可．解答：解：由題意可知：，因?yàn)?，所以，所?==﹣12λ+7=0解得λ=．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：此題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的垂直，考查轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)與計(jì)算能力．16．〔4分〕〔2023?山東〕定義“正數(shù)對(duì)〞：ln+x=，現(xiàn)有四個(gè)命題：①假設(shè)a＞0，b＞0，那么ln+〔ab〕=bln+a；②假設(shè)a＞0，b＞0，那么ln+〔ab〕=ln+a+ln+b；③假設(shè)a＞0，b＞0，那么；④假設(shè)a＞0，b＞0，那么ln+〔a+b〕≤ln+a+ln+b+2．其中的真命題有①③④〔寫出所有真命題的序號(hào)〕考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用．專題：綜合題；壓軸題；新定義．分析：由題意，根據(jù)所給的定義及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)四個(gè)命題進(jìn)行判斷，由于在不同的定義域中函數(shù)的解析式不一樣，故需要對(duì)a，b分類討論，判斷出每個(gè)命題的真假解答：解：對(duì)于①，由定義，當(dāng)a≥1時(shí)，ab≥1，故ln+〔ab〕=ln〔ab〕=blna，又bln+a=blna，故有l(wèi)n+〔ab〕=bln+a；當(dāng)a＜1時(shí)，ab＜1，故ln+〔ab〕=0，又a＜1時(shí)bln+a=0，所以此時(shí)亦有l(wèi)n+〔ab〕=bln+a．由上判斷知①正確；對(duì)于②，此命題不成立，可令a=2，b=，那么ab=，由定義ln+〔ab〕=0，ln+a+ln+b=ln2，所以ln+〔ab〕≠ln+a+ln+b；由此知②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)a≥b＞0時(shí)，≥1，此時(shí)≥0，當(dāng)a≥b≥1時(shí)，ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb=，此時(shí)命題成立；當(dāng)a＞1＞b時(shí)，ln+a﹣ln+b=lna，此時(shí)，故命題成立；同理可驗(yàn)證當(dāng)1＞a≥b＞0時(shí)，成立；當(dāng)＜1時(shí)，同理可驗(yàn)證是正確的，故③正確；對(duì)于④，可分a≤1，b≤1與兩者中僅有一個(gè)小于等于1、兩者都大于1三類討論，依據(jù)定義判斷出④是正確的故答案為①③④點(diǎn)評(píng)：此題考查新定義及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，理解定義所給的運(yùn)算規(guī)那么是解題的關(guān)鍵，此題考查了分類討論的思想，邏輯判斷的能力，綜合性較強(qiáng)，探究性強(qiáng)．易因?yàn)槔斫獠磺宥x及忘記分類討論的方法解題導(dǎo)致無法入手致錯(cuò)三、解答題17．〔12分〕〔2023?山東〕設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，且a+c=6，b=2，．〔1〕求a，c的值；〔2〕求sin〔A﹣B〕的值．考點(diǎn)：余弦定理；同角三角函數(shù)間的根本關(guān)系；兩角和與差的正弦函數(shù)；正弦定理．專題：解三角形．分析：〔1〕利用余弦定理列出關(guān)于新，將b與cosB的值代入，利用完全平方公式變形，求出acb的值，與a+c的值聯(lián)立即可求出a與c的值即可；〔2〕先由cosB的值，利用同角三角函數(shù)間的根本關(guān)系求出sinB的值，再由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，進(jìn)而求出cosA的值，所求式子利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．解答：解：〔1〕∵a+c=6①，b=2，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=〔a+c〕2﹣2ac﹣ac=36﹣ac=4，整理得：ac=9②，聯(lián)立①②解得：a=c=3；〔2〕∵cosB=，B為三角形的內(nèi)角，∴sinB==，∵b=2，a=3，sinB=，∴由正弦定理得：sinA===，∵a=c，即A=C，∴A為銳角，∴cosA==，那么sin〔A﹣B〕=sinAcosB﹣cosAsinB=×﹣×=．點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的根本關(guān)系，熟練掌握定理及公式是解此題的關(guān)鍵．18．〔12分〕〔2023?山東〕如下圖，在三棱錐P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，AQ=2BD，PD與EQ交于點(diǎn)G，PC與FQ交于點(diǎn)H，連接GH．〔1〕求證：AB∥GH；〔2〕求二面角D﹣GH﹣E的余弦值．考點(diǎn)：二面角的平面角及求法；直線與平面平行的性質(zhì)．專題：空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析：〔1〕由給出的D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，利用三角形中位線知識(shí)及平行公理得到DC平行于EF，再利用線面平行的判定和性質(zhì)得到DC平行于GH，從而得到AB∥GH；〔2〕由題意可知BA、BQ、BP兩兩相互垂直，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出BA、BQ、BP的長(zhǎng)度，標(biāo)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出一些向量的坐標(biāo)，利用二面角的兩個(gè)面的法向量所成的角的余弦值求解二面角D﹣GH﹣E的余弦值．解答：〔1〕證明：如圖，∵C，D為AQ，BQ的中點(diǎn)，∴CD∥AB，又E，F(xiàn)分別AP，BP的中點(diǎn)，∴EF∥AB，那么EF∥CD．又EF?平面EFQ，∴CD∥平面EFQ．又CD?平面PCD，且平面PCD∩平面EFQ=GH，∴CD∥GH．又AB∥CD，∴AB∥GH；〔2〕由AQ=2BD，D為AQ的中點(diǎn)可得，三角形ABQ為直角三角形，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA、BQ、BP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=BP=BQ=2，那么D〔1，1，0〕，C〔0，1，0〕，E〔1，0，1〕，F(xiàn)〔0，0，1〕，因?yàn)镠為三角形PBQ的重心，所以H〔0，，〕．那么，，．設(shè)平面GCD的一個(gè)法向量為由，得，取z1=1，得y1=2．所以．設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為由，得，取z2=2，得y2=1．所以．所以=．那么二面角D﹣GH﹣E的余弦值等于．點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與平面平行的性質(zhì)，考查了二面角的平面角及其求法，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，考查了計(jì)算能力，解答此題的關(guān)鍵是正確求出H點(diǎn)的坐標(biāo)，是中檔題．19．〔12分〕〔2023?山東〕甲乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束．除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是．設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．〔1〕分別求甲隊(duì)3：0，3：1，3：2勝利的概率；〔2〕假設(shè)比賽結(jié)果3：0或3：1，那么勝利方得3分，對(duì)方得0分；假設(shè)比賽結(jié)果為3：2，那么勝利方得2分，對(duì)方得1分，求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望．考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：〔1〕甲隊(duì)獲勝有三種情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每種情形的最后一局肯定是甲隊(duì)勝，分別求出相應(yīng)的概率，最后根據(jù)互斥事件的概率公式求出甲隊(duì)獲得這次比賽勝利的概率；〔2〕X的取值可能為0，1，2，3，然后利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求出相應(yīng)的概率，列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式解之即可．解答：解：〔1〕甲隊(duì)獲勝有三種情形，其每種情形的最后一局肯定是甲隊(duì)勝①3：0，概率為P1=〔〕3=；②3：1，概率為P2=C〔〕2×〔1﹣〕×=；③3：2，概率為P3=C〔〕2×〔1﹣〕2×=∴甲隊(duì)3：0，3：1，3：2勝利的概率：．〔2〕乙隊(duì)得分X，那么X的取值可能為0，1，2，3．由〔1〕知P〔X=0〕=P1+P2=；P〔X=1〕=P3=；P〔X=2〕=C〔1﹣〕2×〔〕2×=；P〔X=3〕=〔1﹣〕3+C〔1﹣〕2×〔〕×=；那么X的分布列為X3210PE〔X〕=3×+2×+1×+0×=．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，以及離散型隨機(jī)變量的期望與分布列，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．20．〔12分〕〔2023?山東〕設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．〔1〕求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；〔2〕設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn且〔λ為常數(shù)〕．令cn=b2n〔n∈N※〕求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Rn．考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的求和．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：〔1〕設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，由條件列關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，解出首項(xiàng)和公差后可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；〔2〕把{an}的通項(xiàng)公式代入，求出當(dāng)n≥2時(shí)的通項(xiàng)公式，然后由cn=b2n得數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式，最后利用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和．解答：解：〔1〕設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由a2n=2an+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1﹣d+1=0①再由S4=4S2，得，即d=2a1②聯(lián)立①、②得a1=1，d=2．所以an=a1+〔n﹣1〕d=1+2〔n﹣1〕=2n﹣1；〔2〕把a(bǔ)n=2n﹣1代入，得，那么．所以b1=T1=λ﹣1，當(dāng)n≥2時(shí)，=．所以，．Rn=c1+c2+…+cn=③④③﹣④得：=所以；所以數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．點(diǎn)評(píng)：此題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了數(shù)列的求和，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬中檔題．21．〔13分〕〔2023?山東〕設(shè)函數(shù)．〔1〕求f〔x〕的單調(diào)區(qū)間及最大值；〔2〕討論關(guān)于x的方程|lnx|=f〔x〕根的個(gè)數(shù)．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．專題：壓軸題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：〔1〕利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法那么求出f′〔x〕，分別解出f′〔x〕＞0與f′〔x〕＜0即可得出單調(diào)區(qū)間及極值與最值；〔2〕分類討論：①當(dāng)0＜x≤1時(shí)，令u〔x〕=﹣lnx﹣﹣c，②當(dāng)x≥1時(shí)，令v〔x〕=lnx﹣．利用導(dǎo)數(shù)分別求出c的取值范圍，即可得出結(jié)論．解答：解：〔1〕∵=，解f′〔x〕＞0，得；解f′〔x〕＜0，得．∴函數(shù)f〔x〕的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為．故f〔x〕在x=取得最大值，且．〔2〕函數(shù)y=|lnx|，當(dāng)x＞0時(shí)的值域?yàn)閇0，+∞〕．如下圖：①當(dāng)0＜x≤1時(shí)，令u〔x〕=﹣lnx﹣﹣c，c==g〔x〕，那么=．令h〔x〕=e2x+x﹣2x2，那么h′