新定義函數(shù)-重慶中考新題型

..函數(shù)圖形變換方法總結(jié)：1．掌握函數(shù)平移的規(guī)律,包括一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)；2．確定函數(shù)的特征點(diǎn)為基準(zhǔn)移動(dòng)函數(shù),并確定移動(dòng)后的解析式；3．根據(jù)題目要求結(jié)合函數(shù)性質(zhì)解決問題。例1．我們規(guī)定：形如的函數(shù)叫做"奇特函數(shù)".當(dāng)時(shí),"奇特函數(shù)"就是反比例函數(shù).〔1若矩形的兩邊長分別是2和3,當(dāng)這兩邊長分別增加x和y后,得到的新矩形的面積為8,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并判斷這個(gè)函數(shù)是否為"奇特函數(shù)"；〔2如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為原點(diǎn),矩形OABC的頂點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為〔9,0、〔0,3．點(diǎn)D是OA的中點(diǎn),連結(jié)OB,CD交于點(diǎn)E,"奇特函數(shù)"的圖象經(jīng)過B,E兩點(diǎn).①求這個(gè)"奇特函數(shù)"的解析式；②把反比例函數(shù)的圖象向右平移6個(gè)單位,再向上平移個(gè)單位就可得到①中所得"奇特函數(shù)"的圖象.過線段BE中點(diǎn)M的一條直線l與這個(gè)"奇特函數(shù)"的圖象交于P,Q兩點(diǎn),若以B、E、P、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．例2．定義{a,b,c}為函數(shù)y=ax2+bx+c的"特征數(shù)"．如：函數(shù)y=x2-2x+3的"特征數(shù)"是{1,-2,3},函數(shù)y=2x+3的"特征數(shù)"是{0,2,3},函數(shù)y=-x的"特征數(shù)"是{0,-1,0}〔1將"特征數(shù)"是的函數(shù)圖象向下平移2個(gè)單位,得到一個(gè)新函數(shù),這個(gè)新函數(shù)的解析式是；〔2在〔1中,平移前后的兩個(gè)函數(shù)分別與y軸交于A、B兩點(diǎn),與直線分別交于D、C兩點(diǎn),判斷以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形形狀,請(qǐng)說明理由并計(jì)算其周長；〔3若〔2中的四邊形與"特征數(shù)"是的函數(shù)圖象的有交點(diǎn),求滿足條件的實(shí)數(shù)b的取值范圍．變式如果二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為l,則此二次函數(shù)可表示為y=x2+px+q,我們稱[p,q]為此函數(shù)的特征數(shù),如函數(shù)y=x2+2x+3的特征數(shù)是[2,3]．<1>若一個(gè)函數(shù)的特征數(shù)為[-2,1],求此函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．<2>探究下列問題：①若一個(gè)函數(shù)的特征數(shù)為[4,-1],將此函數(shù)的圖象先向右平移1個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,求得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的特征數(shù)．②若一個(gè)函數(shù)的特征數(shù)為[2,3],問此函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移,才能使得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的特征數(shù)為[3,4]？例3．如圖1,拋物線y=ax2+bx+c〔a＞0的頂點(diǎn)為M,直線y=m與x軸平行,且與拋物線交于點(diǎn)A,B,若△AMB為等腰直角三角形,我們把拋物線上A,B兩點(diǎn)之間的部分與線段AB圍成的圖形稱為該拋物線對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)蝶形,線段AB稱為碟寬,頂點(diǎn)M稱為碟頂,點(diǎn)M到線段AB的距離稱為碟高．〔1拋物線對(duì)應(yīng)的碟寬為；拋物線y=4x2對(duì)應(yīng)的碟寬為；拋物線y=ax2〔a＞0對(duì)應(yīng)的碟寬為；拋物線y=a<x-2>2+3〔a＞0對(duì)應(yīng)的碟寬為；〔2拋物線〔a＞0對(duì)應(yīng)的碟寬為6,且在x軸上,求a的值；〔3將拋物線y=anx2+bnx+cn〔an＞0的對(duì)應(yīng)準(zhǔn)蝶形記為Fn〔n=1,2,3…,定義F1,F2,…,Fn為相似準(zhǔn)蝶形,相應(yīng)的碟寬之比即為相似比．若Fn與Fn﹣1的相似比為,且Fn的碟頂是Fn﹣1的碟寬的中點(diǎn),現(xiàn)將〔2中求得的拋物線記為y1,其對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)蝶形記為F1．①求拋物線y2的表達(dá)式；②若F1的碟高為h1,F2的碟高為h2,…Fn的碟高為hn,則hn=,Fn的碟寬有端點(diǎn)橫坐標(biāo)為2；若F1,F2,…,Fn的碟寬右端點(diǎn)在一條直線上,請(qǐng)直接寫出該直線的表達(dá)式；若不是,請(qǐng)說明理由。例4．如圖①,直線l：y=mx+n〔m＜0,n＞0與x,y軸分別相交于A,B兩點(diǎn),將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△COD,過點(diǎn)A,B,D的拋物線P叫做l的關(guān)聯(lián)拋物線,而l叫做P的關(guān)聯(lián)直線．〔1若l：y=-2x+2,則P表示的函數(shù)解析式為

；若P：y=-x2-3x+4,則l表示的函數(shù)解析式為．〔2求P的對(duì)稱軸〔用含m,n的代數(shù)式表示；〔3如圖②,若l：y=-2x+4,P的對(duì)稱軸與CD相交于點(diǎn)E,點(diǎn)F在l上,點(diǎn)Q在P的對(duì)稱軸上．當(dāng)以點(diǎn)C,E,Q,F為頂點(diǎn)的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；〔4如圖③,若l：y=mx-4m,G為AB中點(diǎn),H為CD中點(diǎn),連接GH,M為GH中點(diǎn),連接OM．若OM=,直接寫出l,P表示的函數(shù)解析式．參考答案：例1[解析]〔1,是"奇特函數(shù)"；〔2①；②或或或.試題分析：〔1根據(jù)題意列式并化為,根據(jù)定義作出判斷.〔2①求出點(diǎn)B,D的坐標(biāo),應(yīng)用待定系數(shù)法求出直線OB解析式和直線CD解析式,二者聯(lián)立即可得點(diǎn)E的坐標(biāo),將B〔9,3,E〔3,1代入函數(shù)即可求得這個(gè)"奇特函數(shù)"的解析式.②根據(jù)題意可知,以B、E、P、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形BPEQ或BQEP,據(jù)此求出點(diǎn)P的坐標(biāo).試題解析：〔1根據(jù)題意,得,∵,∴.∴.根據(jù)定義,是"奇特函數(shù)".〔2①由題意得,.易得直線OB解析式為,直線CD解析式為,由解得.∴點(diǎn)E〔3,1.將B〔9,3,E〔3,1代入函數(shù),得,整理得,解得.∴這個(gè)"奇特函數(shù)"的解析式為.②∵可化為,∴根據(jù)平移的性質(zhì),把反比例函數(shù)的圖象向右平移6個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位就可得到.∴關(guān)于點(diǎn)〔6,2對(duì)稱.∵B〔9,3,E〔3,1,∴BE中點(diǎn)M〔6,2,即點(diǎn)M是的對(duì)稱中心.∴以B、E、P、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形BPEQ或BQEP.由勾股定理得,.設(shè)點(diǎn)P到EB的距離為m,∵以B、E、P、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為,∴.∴點(diǎn)P在平行于EB的直線上.∵點(diǎn)P在上,∴或.解得.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或.考點(diǎn)：1.新定義和閱讀理解型問題；2.平移問題；3.反比例函數(shù)的性質(zhì)；4.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；5.勾股定理；6.中心對(duì)稱的性質(zhì)；7.平行四邊形的判定和性質(zhì)；8.分類思想的應(yīng)用.例2[解析]〔1根據(jù)函數(shù)"特征數(shù)"寫出函數(shù)的解析式,再根據(jù)平移后一次函數(shù)的變化情況寫出函數(shù)圖象向下平移2個(gè)單位的新函數(shù)的解析式．〔2判斷以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形形狀,可根據(jù)一次函數(shù)圖象向下平移2個(gè)單位與原函數(shù)圖象的關(guān)系,得出AB=2,并確定為平行四邊形,由直線相交計(jì)算交點(diǎn)坐標(biāo)后,求出線段BC=2,再根據(jù)菱形的判定〔鄰邊相等的平行四邊形是菱形得出,其周長=2×4=8；〔3根據(jù)函數(shù)"特征數(shù)"寫出二次函數(shù)的解析式,化為頂點(diǎn)式為y=〔x-b2+,確定二次函數(shù)的圖象不會(huì)經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C,再將菱形頂點(diǎn)A〔0,1,D〔代入二次函數(shù)解析式得出實(shí)數(shù)b的取值范圍．[解析]〔1y=〔1分"特征數(shù)"是的函數(shù),即y=+1,該函數(shù)圖象向下平移2個(gè)單位,得y=．〔2由題意可知y=向下平移兩個(gè)單位得y=∴AD∥BC,AB=2．∵,∴AB∥CD．∴四邊形ABCD為平行四邊形．,得C點(diǎn)坐標(biāo)為〔,0,∴D〔由勾股定理可得BC=2∵四邊形ABCD為平行四邊形,AB=2,BC=2∴四邊形ABCD為菱形．∴周長為8．〔3二次函數(shù)為：y=x2-2bx+b2+,化為頂點(diǎn)式為：y=〔x-b2+,∴二次函數(shù)的圖象不會(huì)經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C．設(shè)二次函數(shù)的圖象與四邊形有公共部分,當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),將A〔0,1,代入二次函數(shù),解得b=-,b=〔不合題意,舍去,當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D時(shí),將D〔,代入二次函數(shù),解得b=+,b=〔不合題意,舍去,所以實(shí)數(shù)b的取值范圍：．例3[解析]試題分析：〔1根據(jù)定義可算出y=ax2〔a＞0的碟寬為、碟高為,由于拋物線可通過平移y=ax2〔a＞0得到,得到碟寬為、碟高為,由此可得碟寬、碟高只與a有關(guān),與別的無關(guān),從而可得．〔2由〔1的結(jié)論,根據(jù)碟寬易得a的值．〔3①根據(jù)y1,容易得到y(tǒng)2．②結(jié)合畫圖,易知h1,h2,h3,…,hn﹣1,hn都在直線x=2上,可以考慮hn∥hn﹣1,且都過Fn﹣1的碟寬中點(diǎn),進(jìn)而可得．畫圖時(shí)易知碟寬有規(guī)律遞減,由此可得右端點(diǎn)的特點(diǎn)．對(duì)于"F1,F2,…,Fn的碟寬右端點(diǎn)是否在一條直線上？",我們可以推測任意相鄰的三點(diǎn)是否在一條直線上,如果相鄰的三個(gè)點(diǎn)不共線則結(jié)論不成立,反之則成立,所以可以考慮基礎(chǔ)的幾個(gè)圖形關(guān)系,利用特殊點(diǎn)求直線方程即可．試題解析：〔14；1；；．∵a＞0,∴y=ax2的圖象大致如下：其必過原點(diǎn)O,記AB為其碟寬,AB與y軸的交點(diǎn)為C,連接OA,OB．∵△DAB為等腰直角三角形,AB∥x軸,∴OC⊥AB,∴∠OCA=∠OCB=∠AOB=×90°=45°,∴△ACO與△BCO亦為等腰直角三角形,∴AC=OC=BC,∴xA=-yA,xB=yB,代入y=ax2,∴A〔﹣,,B〔,,C〔0,,∴AB=,OC=,即y=ax2的碟寬為．①拋物線y=x2對(duì)應(yīng)的a=,得碟寬為4；②拋物線y=4x2對(duì)應(yīng)的a=4,得碟寬為為；③拋物線y=ax2〔a＞0,碟寬為；④拋物線y=a<x﹣2>2+3〔a＞0可看成y=ax2向右平移2個(gè)單位長度,再向上平移3個(gè)單位長度后得到的圖形,∵平移不改變形狀、大小、方向,∴拋物線y=a<x﹣2>2+3〔a＞0的準(zhǔn)碟形與拋物線y=ax2的準(zhǔn)碟形全等,∵拋物線y=ax2〔a＞0,碟寬為,∴拋物線y=a<x﹣2>2+3〔a＞0,碟寬為．〔2∵y=ax2﹣4ax﹣,∴由〔1,其碟寬為,∵y=ax2﹣4ax﹣的碟寬為6,∴=6,解得A=,∴y=x2﹣x﹣=<x﹣2>2﹣3〔3①∵F1的碟寬：F2的碟寬=2：1,∴=,∵a1=,∴a2=．∵y=<x﹣2>2﹣3的碟寬AB在x軸上〔A在B左邊,∴A〔﹣1,0,B〔5,0,∴F2的碟頂坐標(biāo)為〔2,0,∴y2=<x﹣2>2．②∵Fn的準(zhǔn)碟形為等腰直角三角形,∴Fn的碟寬為2hn,∵2hn：2hn﹣1=1：2,∴hn=hn﹣1=<>2hn﹣2=<>3hn﹣3=…=<>n+1h1,∵h(yuǎn)1=3,∴hn=．∵h(yuǎn)n∥hn﹣1,且都過Fn﹣1的碟寬中點(diǎn),∴h1,h2,h3,…,hn﹣1,hn都在一條直線上,∵h(yuǎn)1在直線x=2上,∴h1,h2,h3,…,hn﹣1,hn都在直線x=2上,∴Fn的碟寬右端點(diǎn)橫坐標(biāo)為2+．另,F1,F2,…,Fn的碟寬右端點(diǎn)在一條直線上,直線為y=﹣x+5．分析如下：考慮Fn﹣2,Fn﹣1,Fn情形,關(guān)系如圖2,Fn﹣2,Fn﹣1,Fn的碟寬分別為AB,DE,GH；C,F,I分別為其碟寬的中點(diǎn),都在直線x=2上,連接右端點(diǎn),BE,EH．∵AB∥x軸,DE∥x軸,GH∥x軸,∴AB∥DE∥GH,∴GH平行且等于FE,DE平行且等于CB,∴四邊形GFEH,四邊形DCBE都為平行四邊形,∴HE∥GF,EB∥DC,∵∠GFI=∠GFH=∠DCE=∠DCF,∴GF∥DC,∴HE∥EB,∵HE,EB都過E點(diǎn),∴HE,EB在一條直線上,∴Fn﹣2,Fn﹣1,Fn的碟寬的右端點(diǎn)是在一條直線,∴F1,F2,…,Fn的碟寬的右端點(diǎn)是在一條直線．∵F1：y1=<x﹣2>2﹣3準(zhǔn)碟形右端點(diǎn)坐標(biāo)為〔5,0,F2：y2=<x﹣2>2準(zhǔn)碟形右端點(diǎn)坐標(biāo)為〔2+,,∴待定系數(shù)可得過兩點(diǎn)的直線為y=﹣x+5,∴F1,F2,…,Fn的碟寬的右端點(diǎn)是在直線y=﹣x+5上．考點(diǎn)：1、等腰直角三角形；2、二次函數(shù)的性質(zhì)；3多點(diǎn)共線例4解析：參考題目：1．如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A、B為x軸上兩點(diǎn),C、D為y軸上的兩點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)A、C、B的拋物線的一部分C1與經(jīng)過點(diǎn)A、D、B的拋物線的一部分C2組成一條封閉曲線,我們把這條封閉曲線稱為"蛋線",已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔0,,點(diǎn)M是拋物線C2：y=mx2-2mx-3m<m<0>的頂點(diǎn).〔1求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2"蛋線"在第四象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)P,使得?PBC的面積最大？若存在,求出?PBC面積的最大值；若不存在,請(qǐng)說明理由；〔3當(dāng)?BDM為直角三角形時(shí),請(qǐng)直接寫出m的值.<參考公式：在平面直角坐標(biāo)系中,若M<x1,y1>,N<x2,y2>,則M、N兩點(diǎn)間的距離為MN=.〔1A〔-1,0,B〔3,0；〔2存在,；〔3-1或-.[解析]試題分析：〔1將y=mx2-2mx-3m化為交點(diǎn)式,即可得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2先用待定系數(shù)法得到拋物線C1的解析式,過點(diǎn)P作PQ∥y軸,交BC于Q,用待定系數(shù)法得到直線BC的解析式,再根據(jù)三角形的面積公式和配方法得到△PBC面積的最大值；〔3先表示出DM2,BD2,MB2,再分兩種情況：①DM2+BD2=MB2時(shí)；②DM2+MB2=BD2時(shí),討論即可求得m的值．試題解析：〔1y=mx2-2mx-3m=m〔x-3〔x+1,∵m≠0,∴當(dāng)y=0時(shí),x1=-1,x2=3,∴A〔-1,0,B〔3,0；〔2設(shè)C1：y=ax2+bx+c,將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：,解得,故C1：y=x2-x-．依題意,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔n,n2-n-<0<n<3>則S?PBC=S?POC+S?BOP-S?BOC=××n+×3×<-n2+n+>-×3×=-<n->2+∵-＜0,∴當(dāng)n=時(shí)S?PBC的最大值是〔3y=mx2-2mx-3m=m〔x-12-4m,頂點(diǎn)M坐標(biāo)〔1,-4m,當(dāng)x=0時(shí),y=-3m,∴D〔0,-3m,B〔3,0,∴DM2=〔0-12+〔-3m+4m2=m2+1,MB2=〔3-12+〔0+4m2=16m2+4,BD2=〔3-02+〔0+3m2=9m2+9,當(dāng)△BDM為Rt△時(shí)有：DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2．①DM2+BD2=MB2時(shí)有：m2+1+9m2+9=16m2+4,解得m=-1〔∵m＜0,∴m=1舍去；②DM2+MB2=BD2時(shí)有：m2+1+16m2+4=9m2+9,解得m=-〔m=舍去．綜上,m=-1或-時(shí),△BDM為直角三角形．2．對(duì)于平面