上海高中數(shù)學-知識點總結(jié)

上海高中數(shù)學一一知識點總結(jié)一、集合與常用邏輯.集合概念元素：互異性、無序性.集合運算全集U：如U=R交集：APlB={Xxe4且xeB}并集：AuB={xxeA或xeB}補集：CA={x|xe0且x與A}.集合關(guān)系空集0之A子集A三B:任意xeAnxeBAPB=A=A三BAUB=B=A三B4.注：數(shù)形結(jié)合一-文氏圖、數(shù)軸四種命題原命題：若p則q逆命題：若q則p否命題：若「P則」q5.原命題=5.原命題=逆否命題充分必要條件否命題=逆命題p是q的充分條件：Pnqp是q的必要條件：PUqp是q的充要條件：pOq.復(fù)合命題的真值①q真(假)O“「q”假(真)②p、q同真O“pAq”真③p、q都假O“pVq”假.全稱命題、存在性命題的否定VeM,p(x)否定為：3eM,「p(X)3eM,p(x)否定為：VeM,「p(X)

二、不等式.一元二次不等式解法若a>0,ax2+bx+c=0有兩實根a,P(a<0)，則ax2+bx+c<0解集(a,0)ax2+bx+c>0解集(—8,a)U(P,+s)注：若a<0,轉(zhuǎn)化為a>0情況.其它不等式解法一轉(zhuǎn)化x<ao—a<x<aox2<a2x2>a2x>aox>a或x2>a2f(x)g(x)af(x)>ag(x)of(x)>g(x)(a>1)ff(x)>0logf(x)>logg(x)o\(0<a<1)aa〔f(x)<g(x)3.基本不等式①a2+b2>2ab②若a,bgR+，則a”>ab2注：用均值不等式a+b>2ab、ab<(a+b)2求最值條件是“一正二定三相等”三、函數(shù)概念與性質(zhì).奇偶性f(x)偶函數(shù)of(—x)=f(x)of(x)圖象關(guān)于y軸對稱f(x)奇函數(shù)of(—x)=—f(x)of(x)圖象關(guān)于原點對稱注：①f(x)有奇偶性n定義域關(guān)于原點對稱②f(x)奇函數(shù)，在x=0有定義nf(0)=0③“奇+奇=奇”(公共定義域內(nèi))

2．單調(diào)性f(x)增函數(shù)：X1<x2nf(x1)<f(x2)或x1>x2nf(x1)>f(x2)Tf(x)-f(x)、或12->0x-x12f(x)減函數(shù)：？注：①判斷單調(diào)性必須考慮定義域②f(x)單調(diào)性判斷定義法、圖象法、性質(zhì)法“增+增=增”③奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反3．周期性T是f(x)周期=f(x+T)=f(x)恒成立(常數(shù)T中0)4．二次函數(shù)解析式：f(x)=ax2+bx+c，f(x)=a(x-h)2+kf(x)=a(x-x)(x-x)12-bb4ac-b2對稱軸：x=—頂點：(---,)2a2a4abb單調(diào)性：a>0，(-8，--]遞減，[---,+8)遞增2a2af(x)=f(x)=

min4ac-b24a奇偶性：f(x)=ax2+bx+c是偶函數(shù)Ob=0閉區(qū)間上最值：配方法、圖象法、討論法---注意對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系注：一次函數(shù)f(x)=ax+b奇函數(shù)Ob=0四、基本初等函數(shù)1衛(wèi).指數(shù)式a0=1(a豐0)a-n=——am=manan.對數(shù)式logN=boab=N(a>0，a/1)a

logMN-logM+logN=logM-logNlogMn=nlogMaalogbJogJJgbalogalgamlogb=logb=logbn=an1loga

b注：性質(zhì)log1=0aloga—1a注：性質(zhì)log1=0aa常用對數(shù)lgN—logi0N,lg2+lg5―1自然對數(shù)lnN—logN,lne—1e定義域、值域、過定點、單調(diào)性？注：定義域、值域、過定點、單調(diào)性？注：y=ax與y=logax圖象關(guān)于y=x對稱（互為反函數(shù)）14.冪函數(shù)y—x2,y―x3,y―x2,y—x-1點法點法數(shù)化簡一定義域一討論（奇偶、單調(diào)）特殊點如零點、最值點等象變換移：“左加右減，上正下y—x。在第一象限圖象如下:五、函數(shù)圖像與方程.描a>10<a<1a<0函性質(zhì)取.圖平

負”J=f(x)-J=f(x+h)1伸縮：J=f(x)—每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼木浔?gt;J=f(x)w對稱：“對稱誰，誰不變，對稱原點都要變”J=f(x)x軸>J=—f(x)J=f(x)J軸>J=f(—x)J=f(x)原點>J=—f(-x)注：J=f(x)直線—x=aJ=f(2a-x)翻折：J=f(x)-J=lf(x)1保留x軸上方部分，并將下方部分沿x軸翻折到上方并將下方部分沿x軸翻折到上方J=f(x)fJ=f(IxI)保留J軸右邊部分并將右邊部分沿J軸翻折到左邊3．零點定理若f(a)f(b)<0，則J=f(x)在(a,b)內(nèi)有零點(條件：f(x)在［a,b］上圖象連續(xù)不間斷)注：①f(x)零點：f(x)=0的實根②在［a,b］上連續(xù)的單調(diào)函數(shù)f(x)，f(a)f(b)<0則f(x)在(a,b)上有且僅有一個零點③二分法判斷函數(shù)零點---f(a)f(b)<0？六、三角函數(shù)

…兀…，一.概念第二象限角（2k兀+—,2k兀+兀）（keZ）.弧長l二件卜r扇形面積S=1lr.y__x,一一y.定義sina=_cosa=_tana=—rrx其中P(x,y)是a終邊上一點，PO=r4.符號“一正全、二正弦、三正切、四余弦”5.誘導(dǎo)公式：“奇變偶不變，符號看象限”如Sin(2k-a)=一sina,cos3/2+a)=—sina6.特殊角的三角函數(shù)值a0兀兀兀兀兀3兀sina02巫杷10—1cosa1正20—10tga01/0/.基本公式sina.同角sin2a+cos2a=1=tanacosa和差sin（a±p）和差sin（a±p）=sinacosP±cosasinPcosQ±p）=cosacosP干sinasinPtan（a±P）=tana±叫1干tanatanP倍角sin2a=2sinacosacos2a=cos2a=coga—sima=2cosa—1=1—2simatan2a=2tana1—tan2a1+cos2a降幕1+cos2a降幕cos2a=sin2a=2疊加sina+cosa=2sin（a+一）4兀3sina-cosa=2sin（a——）6“sina+Z7cosa=“2+匕2sin（a+（p）（tan中=a）b8.三角函數(shù)的圖象性質(zhì)y=cosxy=tanx單調(diào)性:單調(diào)性:（0,兀）減sinxcosxtanx值域奇偶奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇偶奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)周期對稱軸中心（k兀中心（k兀,0）G/2+k兀,0）（k兀/2,0）9.解三角形基本關(guān)系：sin（A+B）=sinCtan（A+B）=-tanCcos（A+B）=-cosC.A+B基本關(guān)系：sin（A+B）=sinCtan（A+B）=-tanCcos（A+B）=-cosC.A+BCsin=cos22正弦定理:sinAsinBcsinC余弦定理：面積公式:余弦定理：面積公式:a=2RsinAa:b:c=sinA:sinB:sinCa2=b2+c2—2bccosA（求邊）Ab2+c2—a2cosA=（求角）2bcS=-absinC△2注：A注：AABC中，A+B+C=?A<BosinA<sinB兀a2>b2+c2oNA〉七、數(shù)列1、等差數(shù)列定義：a-a=dn+1n通項：a=a+(n-1)dn1求和：n(a求和：n(a+a)S=1n—n21=na+—n

i2(n-1)d中項：b=Wc（a,b,c成等差）性質(zhì)：若m+n=p+q，貝|a+a=a+amnpq2、等比數(shù)列定義：an+1-=q(q豐0)an通項：a=aqn-1n1na(q=1)求和：a(1-qn)求和：(q豐1)1-q中項：b2=ac（a,b,c成等比）性質(zhì)：若m+n=p+q貝°a?a=a-amnpq3、數(shù)列通項與前n項和的關(guān)系s=a(n=1)a=<11ns-s(n>2)nn-14、數(shù)列求和常用方法公式法、裂項法、錯位相減法、倒序相加法八、平面向量1．向量加減三角形法°，平行四邊形法°AACACAB+BC=AC首尾相接，OB-OC=CB共始點中點公式：AB+AC=2ADoD是BC中點2．向量數(shù)量積x1x2+y1y22．向量數(shù)量積注：①a,b夾角：0o<0<180o

②同向：a-b=3.基本定理a=Xe+Xe（e,e不共線一基底）平行：allboa=，b=xy=xy(Z?wO)垂直：a.Lba-b=Qoxx+yy=0——?f2模：〃=%2+>2a+b=(〃+Z?”二…夾角：COS0=f2注：①注：①0〃。?b-c（結(jié)合律）不成立③a?b=a?cnb=c（消去律）不成立九、復(fù)數(shù)與推理證明.復(fù)數(shù)概念復(fù)數(shù)：z=a+bi（a,be7?）,實部a、虛部b分類：實數(shù)（匕=。），虛數(shù)（匕。。），復(fù)數(shù)集C

注：z是純虛數(shù)=〃=0,b彳。相等：實、虛部分別相等共弧z=a-bi模：|z|=a2+Z?2=復(fù)平面：復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點（。/）.復(fù)數(shù)運算加減：（a+bi）+（c+di）=?乘法：（a+bi）（c+di）=?除法:a+bi(a+bi)(c-di)c+di(c+di)(c-di)乘方:.合情推理類比：特殊推出特殊歸納：特殊推出一般演繹：一般導(dǎo)出特殊（大前題一小前題一結(jié)論）4．直接與間接證明綜合法：由因?qū)Ч容^法：作差—變形—判斷—結(jié)論反證法：反設(shè)—推理—矛盾—結(jié)論分析法：執(zhí)果索因分析法書寫格式：要證A為真，只要證B為真，即證……，這只要證C為真，而已知C為真，故A必為真注：常用分析法探索證明途徑，綜合法寫證明過程5．數(shù)學歸納法：(1)驗證當n=1時命題成立，(2)假設(shè)當n=k(keN*，k>1)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立由(1)(2)知這命題對所有正整數(shù)n都成立注：用數(shù)學歸納法證題時，兩步缺一不可，歸納假設(shè)必須使用十、直線與圓1、傾斜角范圍［。,兀),y一y斜率k=tana=乙一。x-x21注：直線向上方向與X軸正方向所成的最小正角傾斜角為90°時，斜率不存在2、直線方程點斜式y(tǒng)—y=k(X—X)，斜截式y(tǒng)=kx+b00y一yx一xxy4兩點式1=，截距式一+:=1y一yx一xab2121一般式Ax+By+C=0注意適用范圍：①不含直線x=x0②不含垂直x軸的直線③不含垂直坐標軸和過原點的直線3、位置關(guān)系(注意條件)平行ok=k且b豐bTOC\o"1-5"\h\z1212垂直okk=—1垂直oAA+BB=01212124、距離公式兩點間距離：|AB|二(x一x)2+(y一y)21212

Ax+By+C\點到直線距離：d=00?<A2+B2圓心(a,b)，半徑r5、圓標準方程：(x-a)2+(y-b圓心(a,b)，半徑r圓一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(條件是？)半徑r=(D半徑r=圓心--V26、直線與圓位置關(guān)系位置關(guān)系相切相交相離幾何特征d=rd<rd>r代數(shù)特征△=0△>0△<0注：點與圓位置關(guān)系(x-a)2+(y-b)2>r2o點P(x,y)在圓外00007、直線截圓所得弦長AB=2Jr2-d2十一、圓錐曲線、定義橢圓：|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F21)雙曲線：|PF1|-|PF2|=±2a(0<2a<|F1F2|)拋物線：與定點和定直線距離相等的點軌跡、標準方程與幾何性質(zhì)(如焦點在x軸)x2y2橢圓——十—=1(a>b>0)a2b2x2雙曲線——-

a2y2b2=1(a>0,b>0)中心原點對稱軸？焦點F1(c,0)、F2(-c,0)頂點：橢圓(土a,0),(0,土丘，雙曲線(土a,0)范圍：橢圓-aVxVa,-bVyVb雙曲線|x|>a,yeR焦距：橢圓2c(c=a2—b2)雙曲線2c(c=a2+b2)2a、2b:橢圓長軸、短軸長，雙曲線實軸、虛軸長離心率：e=c/a橢圓0?<1,雙曲線e>1x2y2b注：雙曲線——一二=1漸近線y=±一］a2b2a方程mx2+ny2=1表示橢圓今m>0,n>0.m豐n方程mx2+ny2=1表示雙曲線omn<0拋物線y2=2px(p>0)頂點(原點)對稱軸(x軸)開口(向右)范圍xN0離心率6=1焦點F(p,0)準線x=-p22十二、矩陣、行列式、算法初步十、算法初步一．程序框圖程序框名稱功能r1、起止框起始和結(jié)束^27輸入、輸出框輸入和輸出的信息—處理框賦值、計算O判斷框判斷某一條件是否成立rf<__>循環(huán)框重復(fù)操作以及運算．基本算法語句及格式1輸入語句：INPUT"提示內(nèi)容”變量2輸出語句：PRINT"提示內(nèi)容”表達式3賦值語句：變量=表達式

4條件語句“IF—THEN—ELSE”語句IF條件THEN語句1ELSE語句2ENDIF4條件語句“IF—THEN—ELSE”語句IF條件THEN語句1ELSE語句2ENDIF5循環(huán)語句當型循環(huán)語句WHILE條件循環(huán)體WEND當型“先判斷后循環(huán)”IF-THEN”語句IF條件THEN語句ENDIF直到型循環(huán)語句DO循環(huán)體LOOPUNTIL條件直到型“先循環(huán)后判斷”三．算法案例1、求兩個數(shù)的最大公約數(shù)輾轉(zhuǎn)相除法：到達余數(shù)為0更相減損術(shù)：到達減數(shù)和差相等2、多項式f(x)=anxn+an_1xn-i+….+a1x+a0的求值秦九韶算法：v1=anx+an－1v2=v1x+an－2v3=v2x+an－3vn=vn－1x+a0注：遞推公式V。=anVk=Vk.ix+an_k(k=l，2，^n)求f(x)值，乘法、加法均最多n次3、進位制間的轉(zhuǎn)換k進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)：aann-1aa(k)=axkn+axkn-1+10nn-1+axk+a10十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成k進制數(shù)：“除k取余法”例1輾轉(zhuǎn)相除法求得123和48最大公約數(shù)為3例2已知f(x)=2x5—5x4—4x3+3x2—6x+7,秦九韶算法求f⑸123=2X48+2748=1X27+2127=1X21+621=3X6+36=2X3+0v0=2v1=2X5－5=5v2=5X5－4=21v3=21X5+3=108v4=108X5－6=534v5=534X5+7=2677十三、立體幾何1．三視圖正視圖、側(cè)視圖、俯視圖2.直觀圖：斜二測畫法/XOY=45。平行X軸的線段，保平行和長度平行丫軸的線段，保平行，長度變原來一半3.體積與側(cè)面積SS=nrl圓錐側(cè)4V球-3nR3S=兀(R+r)lS=4兀R2圓臺側(cè)球表4.公理與推論確定一個平面的條件:①不共線的三點②一條直線和這直線外一點③兩相交直線④兩平行直線公理：平行于同一條直線的兩條直線平行定理：如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補。.兩直線位置關(guān)系相交、平行、異面異面直線一一不同在任何一個平面內(nèi).直線和平面位置關(guān)系auaaa=Aa//a.平行的判定與性質(zhì)線面平行：a〃b,bua,aaana〃aPaa//a,auP,Pca=bna〃bb面面平行：AB//a,AC//an平面ABC/aaa/P,auana/P.垂直的判定與性質(zhì)線面垂直：P1AB,P工ACnP上面ABC面面垂直：a1a,aupnpla如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,那么這兩個平面垂直；若兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直三垂線定理：PO1a,AO1anPA1aPO1a,PA1anAO1a在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直逆定理?TOC\o"1-5"\h\z.空間角、距離的計算八異面直線所成的角范圍(0°,90。］/\平移法：轉(zhuǎn)化到一個三角形中，用余弦定理/A\直線和平面所成的角范圍［0°,90°］\定義法：找直線在平面內(nèi)射影，轉(zhuǎn)為解三角形\\\二面角范圍［0°，180°］/―X定義法：作出二面角的平面角，轉(zhuǎn)為解三角形-g°點到平面的距離體積法一用三棱錐體積公式注：計算過程，“一作二證三求”，都要寫出.立體幾何中的向量解法法向量求法：設(shè)平面ABC的法向量n=(x,y)TOC\o"1-5"\h\zn±ab,n±acan?AB=0,n?AC=0-aC解方程組，得一個法向量n線線角：設(shè)n,n是異面直線l,l的方向向量，1212l,l所成的角為0，則cos">cos<n,n>1212即l,l所成的角等于<n，兒>或兀><n,n>121212線面角：設(shè)n是平面a的法向量，AB是平面a的一條斜線，AB與平面a所成的角為0,"?AB-n則Usin①一cos<n,AB>=AB-n二面角：設(shè)n,n是面a,p的法向量，二面角a>l>0的大小為0,則cosO=cos<n},n>或TOC\o"1-5"\h\z1212—cos<n,n>12即二面角大小等于七n,n>或兀<n,n>1212點到面距離：若n是平面a的法向量，AB是平面a的一條斜線段，且Bea,AB?n則點A到平面a的距離d=n十四、計數(shù)原理.計數(shù)原理加法分類，乘法分步n！(n！(n-m)!公式Am=n(n-1)?一(n-m+1)=nn(n-1)?…(n-m+1)n！Cm二-一二F——「n1x2x?…xmm！?(n—m)!關(guān)系：Am-m！?Cn性質(zhì)：Cm二Cn-mC0+C1+C2H\~Cn=2