第5章離散變換與快速算法

1DFT的應(yīng)用DFT是一種算法，可以用硬件實現(xiàn)，也可以用軟件實現(xiàn)主要有兩方面用途：一、LTI系統(tǒng)地實現(xiàn)二、信號的頻譜分析2一、利用DFT實現(xiàn)LTI系統(tǒng)出發(fā)點：線性時不變系統(tǒng)可以用線性卷積和來實現(xiàn)和描述；圓周卷積和在滿足一定約束的條件下可以得到線性卷積；圓周卷積和可以利用DFT來完成3在許多應(yīng)用場合（如語音濾波）輸入信號時無限長的。盡管目前可以存儲幾乎所有的輸入信號，但是這樣的一種DFT是不現(xiàn)實的；輸入和輸出之間的長度嚴(yán)重不對稱，需要對FIR濾波器的單位沖激進(jìn)行大量補(bǔ)零，浪費(fèi)大量運(yùn)算量；采集完所有輸入樣本后才能計算濾波輸出，導(dǎo)致有很大的處理延遲，損失實時性；存在的問題4采用塊卷積將輸入信號分割成多段，對每段信號利用DFT進(jìn)行處理，適當(dāng)處理后進(jìn)行銜接塊卷積的方法主要有兩種重疊相加法重疊保留法解決方法5設(shè)h(n)的點數(shù)為M，x(n)為很長的序列。將x(n)分解為很多段，每段為L點，L選擇成和M的數(shù)量值級相同用xi(n)表示第i段：1）重疊相加法（Overlap)6由于xi(n)為L點，而yi(n)為（L+M-1）點（設(shè)N=L+M-1），相鄰兩段輸出序列yi(n),

yi+1(n)必然有（M-1）個點發(fā)生重疊前一段的后（M-1）個點的后一段的前（M-1）個點重疊輸出重疊問題7892）重疊保留法(Oversave)與重疊相加法相同，先將x(n)分段，每段L個點不同之處是輸入序列xi(n)中不再補(bǔ)零，而是在每一段的前邊補(bǔ)上前一段保留下來的（M-1）個輸入序列值，組成L+M-1點序列。每段圓周卷積結(jié)果的前（M-1）個點的值不滿足因果系統(tǒng)的要求，不等于線性卷積值101112二、利用DFT的信號分析DFT的主要應(yīng)用之一是分析連續(xù)信號的頻譜如語音信號頻率分析用于音腔辨識與建模采樣分析前同樣需要抗混疊濾波：采樣后信號頻譜周期拓展，要想保持頻譜不混疊，被采樣信號必須帶限。由于實際的信號總不是嚴(yán)格帶限的，并且自然界中總存在著噪聲(其頻譜是寬帶的)，在采樣之前需要加入抗混疊濾波器，使混疊減小到最低程度。

13一、DFT對CTFT的逼近連續(xù)時間非周期信號的傅里葉變換為：

用DFT方法對該變換逼近的方法如下：141、將在t軸上等間隔（寬度為T）分段，每一段用一個矩形脈沖代替，脈沖的幅度為其起始點的抽樣值。則CTFT可以近似為：時域離散化152、將序列x(n)=xc(nT)

截斷成從t=0開始長度為T0=NT的有限長序列，包含有N個采樣，即時域加矩形窗，則上式又可以進(jìn)一步近似為：由于時域采樣，采樣頻率為，則頻域產(chǎn)生以fs為周期的周期延拓。時域截斷163、由于數(shù)值計算的限制，在頻域上也只能計算離散點（頻域抽樣）上的數(shù)值。我們將頻域的一個周期中也分成N段，即。每個頻域采樣點間的間隔為。則上式可以進(jìn)一步化簡為：頻域離散化1718同時，由于頻域的抽樣，那么ICTFT就可以近似成:若要由及求連續(xù)的及方法，則可利用頻域抽樣定理的插值公式和時域抽樣定理的插值公式分別求得。ICTFT19連續(xù)時間周期號的傅里葉級數(shù)對為：

要將連續(xù)周期信號的傅立葉級數(shù)與DFS聯(lián)系起來，就需要對時域抽樣：二、對CTFS的逼近20取一個周期內(nèi)的N個點，即，則傅立葉級數(shù)近似為：從而可以得到反變換的近似公式：由于DFS的頻率是周期重復(fù)的，其主值區(qū)間內(nèi)的頻率已經(jīng)足以描述整個頻域內(nèi)的特性，所以可以用DFT來代替上面的DFS運(yùn)算。21三、信號DFT分析的步驟222324離散信號的離散頻率值：由于采樣的緣故，所得到的離散頻率與信號的原始頻率之間的關(guān)系為：

所以對應(yīng)于信號的連續(xù)域頻率為：

上式說明我們只能通過數(shù)字頻域上的離散頻點來觀察模擬頻域，這樣就好像通過柵欄觀察一樣，因此稱為柵欄效應(yīng)。25所觀察模擬頻點間隔為：雖然上式最初由頻點間隔引出，但卻表達(dá)了信號處理的模擬頻率的分辨率（頻率分辨力）。從上式看出，其模擬頻率分辨率僅僅決定于時間窗的截取長度L當(dāng)時間窗的長度固定時，如果采取加密采樣點數(shù)N，減小采樣周期T是不能提高模擬頻率分辨率，也不能提高數(shù)字頻率分辨率通過補(bǔ)零的方法，可以提高數(shù)字頻率的分辨率，減小柵欄效應(yīng)。但同樣不能提高模擬頻率分辨率。數(shù)字頻率分辨率（頻率步進(jìn)）和模擬頻率分辨率的存在根本區(qū)別，它們之間沒有必然聯(lián)系。模擬頻率分辨能力26

由于DFT是對有限長序列的處理，因此在計算DFT之前，需將序列進(jìn)行截斷，即時域上加窗。由于時域上截斷的窗，必然在頻域有一定的帶寬，同時呈現(xiàn)托尾現(xiàn)象。時域上的截斷（相乘），在頻域上表現(xiàn)為周期卷積，這將會對信號的頻譜起平滑作用，也就是能量的分散，即頻譜泄漏，如圖(f)所示。加窗對頻譜的影響27利用加窗采樣信號段DFT來反映輸入信號的傅里葉變換，會受到許多因素的影響和干擾，必須十分小心。同時要能夠?qū)Φ玫降慕Y(jié)果給出正確的解釋，也就是要清楚所得到的頻譜中哪些屬于信號本身的，哪些是加窗處理所帶來的。28正弦信號的離散時間傅里葉變換是在頻域上對稱的沖激函數(shù)對。利用DFT分析正弦信號時，加窗使得沖激函數(shù)平滑或展寬，因此很難精確確定頻率。加窗降低了頻率上靠近的正弦信號的分辨能力?，F(xiàn)在來觀察由兩個正弦分量組成的連續(xù)時間信號在加窗之下的DTFT頻譜。令信號為：

其傅立葉變換有兩個頻率，四個對稱頻點:正弦信號加窗（分辨率降低、譜泄漏）29其不失真采樣之后的離散序列為：

其DTFT為：OA1A0幅度譜如下圖所示： 30DTFT沒有對幅度譜的形狀產(chǎn)生畸變。然而加窗后序列DTFT為：OA1A03164點的矩形窗的幅度譜函數(shù)32不同組合的雙頻信號333435時間窗對頻譜分析的影響分辨率降低和頻譜泄漏是信號加窗的兩種影響。分辨率主要受窗函數(shù)主瓣寬度的影響；頻譜的泄漏主要指副瓣能量泄漏，一般不指主瓣能量的泄漏，主要取決于窗函數(shù)的主瓣和副瓣幅值相對比例。進(jìn)行頻譜分析時，往往希望有高分辨率和頻譜泄漏，也就是希望有小的主瓣寬度和相對旁瓣幅度。在具體選擇窗函數(shù)時，要在兩者之間進(jìn)行折衷。如矩形窗函數(shù)在給定長度時具有最小的主瓣寬度，但是卻有最大的相對旁瓣幅度。36Kaiser和Schafer證明，相對旁瓣幅度基本上與窗的長度無關(guān)，只取決于窗的形狀，即取決于，它們之間的近似表達(dá)式為：

主瓣寬度主要取決于窗的長度。主瓣寬度、相對旁瓣幅度和窗長度之間的折衷關(guān)系的近似表達(dá)式為：

37信號分析與濾波器設(shè)計的區(qū)別38譜采樣的影響加窗后的DTFT已經(jīng)有了頻譜的泄漏，分辨率的降低。而利用DFT來計算頻譜，實際是在DTFT的數(shù)字連續(xù)譜線上進(jìn)行采樣，這種采樣好比是我們通過一個“柵欄”觀看景象一樣，只能在離散點上看到真實的景象，稱之為“柵欄效應(yīng)”。雖然可以通過補(bǔ)零的方法減小這種效應(yīng)，但這種固有的頻譜采樣仍然可能給出信號（連續(xù)未加窗）真實譜的錯誤導(dǎo)向或不準(zhǔn)確的頻譜圖。對應(yīng)于上面圖（c）的情況，我們進(jìn)行64點的DFT，其DTFT頻譜和采樣譜線圖如下所示：39幅度畸變及衍生頻率40純凈的假象41逼近真實用序列補(bǔ)零將頻譜采樣點增加為12842滿足頻率分辨率要求的N點DFT能夠給出誤導(dǎo)性的頻譜抽樣圖。人們常常使用補(bǔ)零的方法，這樣可以對頻譜充分地過采樣，將一些重要的特性表現(xiàn)出來。可以看出，補(bǔ)零后的DFT得到了較密的譜線圖，更清楚的反應(yīng)真實情況。但我們必須清醒地認(rèn)識到：補(bǔ)零并不能提高分辨率，分辨率在序列進(jìn)行加窗處理時已經(jīng)決定了，分辨率僅取決于截取信號時真正窗的長度和形狀。434445信號的分析，并不是在NT=L為固定值的情況下，N、T就可以任意取值。如果N太小，T太大，則無法完成信號的譜分析；若N太大，T太小，加大了運(yùn)算量而且沒必要。那么什么樣的N、T選擇比較合適呢？T的選取要滿足無失真采樣的條件：當(dāng)信號是帶限未知時，T越小越好；在信號帶限已知時，。在此基礎(chǔ)上再確定N，當(dāng)然要留有一定的余度。DFT分析參數(shù)的選取46考慮一個帶限連續(xù)信號，且當(dāng)時，。我們要利用上圖中的系統(tǒng)來估計連續(xù)時間譜。為了在盡可能少的基二FFT計算量的條件下使模擬頻率的分辨率不大于10Hz，則所需要截斷多長的信號段？采樣周期T