與函數(shù)有關(guān)的恒成立問題

與函數(shù)有關(guān)的恒成立問題第與函數(shù)有關(guān)的恒成立問題第頁綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是[0,1).例3.關(guān)于％的不等式(1+m)x2+mx+m<x2+1對xeR恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.分析:先把不等式化為標準形式，根據(jù)不等式與0的大小關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為對應的函數(shù)的函數(shù)值與0的關(guān)系.如果二次項系數(shù)中含有參數(shù)，不要忘記對參數(shù)進行分類討論.對于二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a中0),f(x)<0恒成立恒成立的條件是：fa<0[a=b2-4ac<0fa<0也即一元二次不等式ax2+bx+c三0(a中0)恒成立的條件是「，，八.[A=b2—4ac<0解：\*(1+m)x2+mx+m<x2+1?'?mx2+mx+m一1<0.當m二0時,-1<0,對xeR恒成立，符合題意；r,rlyfm<0ar、/日當m豐0時，則有[/、，解之得:m<0.[A=m2—4m(m-1)<0綜上所述,mW0,即實數(shù)m的取值范圍是(-8,0].例4.已知f(x)=x2+2(a—2)+4,如果對xeR,f(x)>0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.解:由題意可得：A=b(a—2)1—4x4<0，解之得:0<a<4.?實數(shù)a的取值范圍是(0,4).例5.函數(shù)f(x)=x2+ax+3—a,當xe[—2,21時,f(x)三0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.分析:這是關(guān)于二次函數(shù)在給定閉區(qū)間上恒成立的問題，解決的方法是把恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題:f(x)三0恒成立，只需函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最小值f(x)三0即可.min函數(shù)的恒成立問題,一般將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值或最小值問題：aWf(x)恒成立OaWf(x)；mina2f(x)恒成立Oa2f(x).max另外，本題中二次函數(shù)的對稱軸中含有參數(shù)，給定的區(qū)間是確定的，為動軸定區(qū)間問題.在求函數(shù)f(x)的最小值時,要結(jié)合拋物線的開口方向，對對稱軸與區(qū)間的相對位置關(guān)系進行討論.解:函數(shù)f(x)=x2+ax+3-a的圖象的開口向上,對稱軸為直線x—.2當-a<-2,即a>4時，函數(shù)f(x)在區(qū)間L2,2]上為增函數(shù)2???f(x)=f(-2)=-3a+7，解不等式-3a+7三0得:aW7,顯然不符合題意；min3當-2W-aW2,即-4Wa<4時,f(x)=f-a=-1a2-a+32min'(2)4解不等式-1a2-a+3三0得:-6Wa<2.4??-4WaW2;當-a>2,即a<-4時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上減函數(shù)2二f(x)=f(2)=a+7,解不等式a+7三0得:a三-7.min?一7Wa<—4.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[-7,-4)U[-4,2]=[-7,21注意:在求解的過程中，為避免出錯，可為每種討論的情況畫成簡圖.例6.設函數(shù)f(x)=mx2-mx-1,若對于xw[1,3],f(x)<-m+4恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為【】(A)(-8,0](B)0,5'L7)/\(5\(5\(C)(一%0)U0,5(D)一%三I7)I7)

分析:使用分離參數(shù)法：在求解恒成立問題時,把參數(shù)分離出來，使不等式的一端是含有參數(shù)的代數(shù)式，另一端是一個區(qū)間上的具體函數(shù),這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決.這種方法叫做分離參數(shù)法.本題有一個地方要特別注意，就是二次項系數(shù)含有參數(shù)，題目所給函數(shù)不一定是二次函數(shù),所以要對參數(shù)m進行討論.h,3]恒成立.解:：對于％g11,3],f(x)<-mh,3]恒成立mx2—mx一1<一m+4,即mx2—mx+m—5<0對xg當m=0時,-5<0成立，符合題意;當m豐0時,mQ2—x+1)<5???對xgI1,3],x2—x+1>0成立???m<—5—恒成立，只需m<[—5—]即可.x2—x+1Ix2—x+1)min設g(x)=x2—x+1=[x-1T+3,其圖象開口向上,對稱軸為直線x=1.I2)42???函數(shù)g(x)在1,3]上為增函數(shù),??.g(x)=g(3)=7max.r51_5_5.,5??,■■m<—.Ix2—x+1)g(x)77minmax綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為，叫口.選擇【D】.I7)4例7.已知函數(shù)f(x)=x—.x(1)證明:f(x)在(0,y)上單調(diào)遞增；(2)若不等式f(x)—a>0在h,y)上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.分析:可以用單調(diào)函數(shù)的運算性質(zhì)說明函數(shù)f(x)的單調(diào)性.實際上,f(x)=x--=x+-3，因為函數(shù)J=x與函數(shù)y=二±在(0,+8)均為增xxx函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在(0,也)上為增函數(shù)，即在(0,y)上單調(diào)遞增.(1)證明:任取x,xg(0,+^),且x<x，則1212f(x)-f(x)=4x—-—1x1-x)+12Vxx)21xx)

12;x,xG(0,+8),且x<x1212,4??x—x<0,1+>02xx12，f(x)-f(x)<0,f(x)<f(x)???f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增;(2)解:：f(x)-a>0在11,+8)上恒成立1?a<f(x)11,+8)上恒成立，只需a<f(x)Imin由(1)可知，函數(shù)f(x)在11,+8)上為增函數(shù)即可.???f(x)=f(1)=1-4=-3,?,?a<-3min???實數(shù)a的取值范圍為(-8,-3).例8.已知函數(shù)f(x)=x2+bx，若|f(x)|<1在區(qū)間(0,1］上恒成立，試求b的取值范圍.分析:本題雖然簡短/但難度較高.條件|f(x)|<1的作用是-1Wf(x)W1.分離參數(shù)法求解.解:???|f(x)\<1???-1Wf(x)<1,-1<x2+bx<1;xG(0,1],.\-x--<b<-x+—設g(x)=-x--,h(x)=-x+』