精品解析：河南省開封市2022屆高三二模文科數(shù)學(xué)試題（解析版）

開封市2022屆高三第二次模擬考試文科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)x，，集合，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由交集結(jié)果解指數(shù)方程，求出，進(jìn)而求出，求出并集.【詳解】由于，所以，解得：，所以，所以，，所以故選：C2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是，則（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出，再利用復(fù)數(shù)模的定義計算作答.【詳解】因在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是，則，則，所以.故選：D3.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】利用含有一個量詞命題的否定的定義求解.【詳解】因為命題“，”是全稱量詞命題，所以其否定是存在量詞命題，即，，故選；D4.已知，，則（）A.-7 B. C. D.7【答案】D【解析】【分析】求得的值，由此求得.【詳解】由于，，所以，.故選：D5.甲乙兩臺機床同時生產(chǎn)一種零件，10天中，兩臺機床每天產(chǎn)品的次品數(shù)的莖葉圖如圖所示，下列判斷錯誤的是（）A.甲的中位數(shù)大于乙的中位數(shù) B.甲的眾數(shù)大于乙的眾數(shù)C.甲的方差大于乙的方差 D.甲的性能優(yōu)于乙的性能【答案】D【解析】【分析】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，分別計算中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差，再根據(jù)這些數(shù)字特殊的意義對每一個選項判斷即可得解.【詳解】由莖葉圖得：甲機床每天生產(chǎn)的次品數(shù)為：7，8，9，10，12，13，15，15，20，21乙機床每天生產(chǎn)的次品數(shù)為：8，9，10，10，11，12，12，12，16，20.對于A，甲的中位數(shù)為，乙的中位數(shù)為所以甲的中位數(shù)大于乙的中位數(shù)，故A正確；對于B，甲的眾數(shù)為15，乙的眾數(shù)為12，所以甲的眾數(shù)大于乙的眾數(shù)，故B正確；對于C，甲的平均數(shù)，就的平均數(shù).所以甲的方差乙的方差.所以甲的方差大，故C正確；對于D，由A、B、C得：中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差均為甲大于乙，所以甲生產(chǎn)出的次品數(shù)多于乙，即乙機床的性能優(yōu)于甲，故D錯誤.故選：D6.設(shè)A，F(xiàn)分別是雙曲線C：的一個頂點和焦點，過A，F(xiàn)分別作C的一條漸近線的垂線，垂足分別為，若，則C的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用點到直線的距離公式求得，結(jié)合求得，進(jìn)而求得正確答案.【詳解】不妨設(shè)，一條漸近線方程為，，依題意，即，由于，即，所以.所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A7.溶液酸堿度是通過pH計量的.pH的計算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升，已知胃酸中氫離子的濃度為摩爾/升，則胃酸的pH約為（）（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301）A.0.398 B.1.301 C.1.398 D.1.602【答案】D【解析】【分析】直接利用所給公式計算求解即可【詳解】由題意得胃酸的pH為，故選：D8.若[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[0.3]=0，[1.5]=1.則如圖中的程序框圖運行之后輸出的結(jié)果為（）A.102 B.684 C.696 D.708【答案】C【解析】【分析】分析題意，得出，即該程序框圖運行后輸出的結(jié)果為：，即可計算得出結(jié)果.【詳解】[x]表示不超過x的最大整數(shù)，所以該程序框圖運行后輸出的結(jié)果是：，共123項相加.從到共10項均為0，到共10項均為1，到共10項均為2，……，到共10項均為11，到共3項均為12，所以：.故選：C.9.如圖，將一塊直徑為的半球形石材切割成一個體積最大的正方體，則切割掉的廢棄石材的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】過正方體相對側(cè)棱作截面，然后可解.【詳解】作截面如圖，設(shè)正方體棱長為a，則，由勾股定理有，解得，半球體積為，正方體體積為，所以切割掉的廢棄石材的體積為.故選：A10.已知函數(shù)的圖象過點，現(xiàn)將y＝f(x)的圖象向左平移個單位長度得到的函數(shù)圖象與y＝f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱，則f(x)的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】將點P坐標(biāo)帶入函數(shù)解析式，然后根據(jù)平移后圖像的特點可求出周期.【詳解】將點P的坐標(biāo)帶入，可得，因為平移后的圖像與原圖關(guān)于x軸對稱，所以可能是，即，，故選：A.11.已知（2，1）是圓C：上一點，則連接橢圓C的四個頂點構(gòu)成的四邊形的面積（）A.有最小值4 B.有最小值8 C.有最大值8 D.有最大值16【答案】B【解析】【分析】把（2，1）帶入橢圓方程，得到，利用基本不等式得到即可求出面積的最小值.【詳解】因為（2，1）是圓C：上一點，所以，即，所以，所以.連接橢圓C的四個頂點構(gòu)成的四邊形的面積為.即面積有最小值8.故選：B12.騎行是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運動，深受大眾喜愛.如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓D（后輪）的半徑均為，，均是邊長為4的等邊三角形，設(shè)點P為后輪上一點，則在騎行該自行車的過程中，達(dá)到最大值時點P到地面的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量法求得達(dá)到最大值時點P的坐標(biāo)，進(jìn)而求得正確答案.【詳解】以為原點建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，，以為圓心，半徑為的圓的方程為，設(shè)，，由于，所以當(dāng)時，取得最大值，此時點的坐標(biāo)為，點到地面的距離為.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知兩個單位向量的夾角為，則____________．【答案】【解析】【分析】利用，結(jié)合向量的數(shù)量積公式及將已知條件代入，求出模.【詳解】因為兩個單位向量的夾角是，所以，故答案為：．【點睛】結(jié)論點睛：本題考查求向量的模長，根據(jù)已知條件選擇，若題目告訴的是坐標(biāo)形式，利用，若題目涉及夾角，利用，考查學(xué)生的審題與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.已知公差為1的等差數(shù)列中，，若，則n＝______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的基本量的運算得，再求出通項即可求解.【詳解】由，有，從而，所以若時，得.故答案為：15.已知函數(shù)，若f(x)有極大值，則a＝______．【答案】【解析】【分析】研究函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性判斷極值點，從而得到關(guān)于極大值的方程即可求解.【詳解】因為，則.若，則，則在定義域上單調(diào)遞減，無極大值，故.令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，或，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以，解得.故答案為：16.如圖，某直徑為海里的圓形海域上有四個小島，已知小島B與小島C相距為5海里，.則小島B與小島D之間的距離為___________海里；小島B，C，D所形成的三角形海域BCD的面積為___________平方海里.【答案】①.②.【解析】【分析】先求得，利用正弦定理求得，利用余弦定理求得，從而求得三角形的面積.【詳解】圓的內(nèi)接四邊形對角互補，為銳角，，在三角形中，由正弦定理得.在三角形中，由余弦定理得，整理得,（負(fù)根舍去）.所以平方海里.故答案為：；三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.某小區(qū)物業(yè)每天從供應(yīng)商購進(jìn)定量小包裝果蔬，供本小區(qū)居民掃碼自行購買，每份成本15元，售價20元．如果下午6點之前沒有售完，物業(yè)將剩下的果蔬打五折于當(dāng)天處理完畢．物業(yè)對20天本小區(qū)這種小包裝果蔬下午6點之前的日需求量（單位：份）進(jìn)行統(tǒng)計，得到如下條形圖：（1）假設(shè)物業(yè)某天購進(jìn)20份果蔬，當(dāng)天下午6點之前的需求量為n（單位：份，）．（i）求日利潤y（單位：元）關(guān)于n的函數(shù)解析式；（ii）以20天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，求日利潤不少于100元的概率．（2）依據(jù)統(tǒng)計學(xué)知識，請設(shè)計一個方案，幫助物業(yè)決策每天購進(jìn)的果蔬份數(shù)．只需說明原因，不需計算．【答案】（1），；（2）方案見解析.【解析】【分析】（1）①根據(jù)價格成本計算即可；按照所給的條形圖，②計算出日利潤大于等于100元的頻率即可；（2）可以根據(jù)條形圖計算出日需求的數(shù)學(xué)期望，按照數(shù)學(xué)期望確定每天購進(jìn)的果蔬份數(shù).【小問1詳解】當(dāng)時，（元）；當(dāng)時，（元），所以；由條形圖可知，每天需求大于等于20的一共有4+5+4=13天，所以日利潤不少于100的概率為；【小問2詳解】可以根據(jù)條形圖計算出日需求的數(shù)學(xué)期望，按照所求的數(shù)學(xué)期望覺得每天購進(jìn)的果蔬份數(shù)；故答案為：，，方案見解析.18.已知數(shù)列的前n項和為，，且.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）選取數(shù)列的第項構(gòu)造一個新的數(shù)列，求的前n項和.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用來進(jìn)行證明.（2）先求得，然后利用分組求和法求得.【小問1詳解】依題意，，，所以數(shù)列是首項為，公差為等差數(shù)列.所以，.【小問2詳解】數(shù)列的第為，所以.19.如圖，四邊形ABCD是圓柱OQ的軸截面，圓柱OQ的側(cè)面積為，點P在圓柱OQ的底面圓周上，且是邊長為的等邊三角形，點G是DP的中點．（1）求證：AG⊥平面PBD；（2）求點A到平面OPG的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件證明及，再利用線面垂直判定推理作答.（2）在三棱錐中利用等體積法計算作答.【小問1詳解】因點P在圓柱OQ的底面圓周上，則，而四邊形ABCD是圓柱OQ的軸截面，則有平面，平面，即有，又，平面，于是得平面，而平面，因此，，因是邊長為的等邊三角形，，，因圓柱OQ的側(cè)面積為，即，則，又點G是DP的中點，則有，而，平面，所以平面.【小問2詳解】由已知得，線段DP的中點G到平面距離為，于是得，由平面知，即是直角三角形，，而，則等腰底邊上的高為，，設(shè)點A到平面OPG的距離為，由得：，解得，所以點A到平面OPG的距離是.20.已知拋物線C：的焦點為F，為C上一點，直線l交C于M，N兩點（與點S不重合）.（1）若l過點F且傾斜角為60°，（M在第一象限），求C的方程；（2）若，直線SM，SN分別與y軸交于A，B兩點，且，判斷直線l是否恒過定點？若是，求出該定點；若否，請說明理由.【答案】（1）（2）直線l恒過定點.【解析】【分析】（1）由已知條件，利用點斜式寫出直線l的方程，然后與拋物線方程聯(lián)立，求出點的橫坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)焦半徑公式即可求解；（2）設(shè)直線的方程為，點，將直線的方程與拋物線聯(lián)立，根據(jù)已知條件及韋達(dá)定理找到、之間的關(guān)系即可求解.【小問1詳解】解：拋物線C：的焦點為，因為l過點F且傾斜角為60°，所以，聯(lián)立，可得，解得或，又M在第一象限，所以，因為，所以，解得，所以拋物線C的方程為；【小問2詳解】解：由已知可得拋物線C的方程為，點，設(shè)直線的方程為，點，將直線方程與拋物線聯(lián)立得，所以，，直線的方程為，令求得點的縱坐標(biāo)為，同理求得點的縱坐標(biāo)為，由，化簡得，將上面式代入得，即，所以直線的方程為，即，所以直線過定點.21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)a=2時，求f(x)在x＝1處的切線方程；（2）若對任意的x>0，有f(x)≤b+a（），證明：b≥－2a．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）把a=2代入，求出函數(shù)f(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)值，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解作答.（2）等價轉(zhuǎn)化給定的不等式，構(gòu)造函數(shù)并求其最大值，再構(gòu)造函數(shù)并求其最小值作答.【小問1詳解】當(dāng)a=2時，，，求導(dǎo)得：，則，有，即，所以f(x)在x＝1處的切線方程是：.【小問2詳解】，，令，，求導(dǎo)得，而，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，于是得，則，令，，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，于是得，即，所以.【點睛】思路點睛：函數(shù)不等式證明問題，將所證不等式造價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，再借助函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.（二）選考題：共10分．請考生在22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.（1）將參數(shù)方程化為普通方程，并求出與的夾角；（2）已知點，分別為，與曲線相交所得弦的中點，且的面積為，求的值.【答案】（1）的普通方程為；與的夾角為；（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)參數(shù)方程與普通方程互化可得普通方程，并確定直線與的斜率，可得；（2）將的參數(shù)方程代入的普通方程，利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可求得，利用可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【小問1詳解】由得：，即的普通方程為：；由直線與的參數(shù)方程可知兩直線斜率分別為，，，