中藥統(tǒng)計(jì)學(xué)第5章題解

5相關(guān)與回歸題解習(xí)題5.1解答查《傷寒論》中黃連湯、人參湯、生姜瀉心湯等14個使用甘草與干姜的處方，其配伍使用量如表5-3所示。求《傷寒論》使用甘草與干姜的處方中，甘草用量與干姜用量相關(guān)系數(shù)的，，并進(jìn)行檢驗(yàn)。表5-3《傷寒論》中甘草與干姜用量（g）處方用藥］234567891011121314甘草X1269669912960.75699干姜Y64.594.56939990.754.599解這是計(jì)量資料，以橫軸表示甘草用量使），縱軸表示干姜用量（g），畫出如圖5-11所示的散點(diǎn)圖?？梢钥闯?，散點(diǎn)圖有直線趨勢，故進(jìn)行直線相關(guān)分析。H0：總體相關(guān)系數(shù)p=0，H『p豐0。計(jì)算得到圖5-11M甘草與干姜散點(diǎn)圖n=14，X=7.7679，5^=2.9063圖5-11M甘草與干姜散點(diǎn)圖Y=6.5893，SY=2.7935，&Y=783.5625_783.5625-14x7.7679x6.5893r=（14-1）x2.9063x2.7935=0.6346查統(tǒng)計(jì)用表19（相關(guān)系數(shù)界值表），r0.05/2（12）=0.5324，雙側(cè)PV0.05，按a=0.05水準(zhǔn)雙側(cè)檢驗(yàn)拒絕H0?？梢哉J(rèn)為甘草用量X（g）與干姜用量Y（g）有正向直線相關(guān)關(guān)系。某醫(yī)師用免疫方法治療肢體硬化，治療6個月后，結(jié)果如表5-4所示，試分析殘廢指數(shù)Y與病程X間的關(guān)系。表5-4殘廢指數(shù)Y與病程X間的關(guān)系病人編號研究變量1234567891011病程X11111224669殘廢指數(shù)Y32565766777解這是計(jì)量資料，以橫軸表示病程X（年），縱軸表示殘廢指數(shù)y，畫出如圖5-12所示的散點(diǎn)圖?？梢钥闯觯Ⅻc(diǎn)圖有直線趨勢，故進(jìn)行直線相關(guān)分析。H0：總體相關(guān)系數(shù)p=0，H1：p+0。計(jì)算得到

M圖5-12病程與殘廢指數(shù)散點(diǎn)圖n=11,X=3.0909,SX=2.7732M圖5-12病程與殘廢指數(shù)散點(diǎn)圖Y=5.5455,SY=1.6949,YXY=218_218-11x3.0909x5.5455r= （11-1）x2.7732x1.6949=0.6266查統(tǒng)計(jì)用表19（相關(guān)系數(shù)界值表），r0.05/2⑼=0.6021,雙側(cè)PV0.05，按a=0.05水準(zhǔn)雙側(cè)檢驗(yàn)拒絕H0?？梢哉J(rèn)為殘廢指數(shù)J與病程x間有正向直線相關(guān)關(guān)系。不同地區(qū)水中平均碘含量與地方性甲狀腺腫患病率的資料如表5-5所示，試分析地方性甲狀腺腫患病率與水中平均碘含量的關(guān)系。表5-5地方性甲狀腺腫患病率與水中碘含量的關(guān)系研究變量地區(qū)編號12345碘含量X10.02.02.53.524.5患病率Y40.537.739.020.00.0解以橫軸表示水中平均碘含量X（單位），縱軸表示甲狀腺腫患病率Y（%）,繪出如圖5-13碘含量與患病率散點(diǎn)圖圖5-13所示的散點(diǎn)圖。散點(diǎn)圖有直線趨勢，但患病率（%圖5-13碘含量與患病率散點(diǎn)圖是百分?jǐn)?shù)，不服從正態(tài)分布，故選用Spearman檢驗(yàn)。H0：總體相關(guān)系數(shù)p=0,H1：p手0。分別將兩個變量從小到大編秩，計(jì)算出每對觀察值的2^=2x12+2x22^=2x12+2x22+42=26=—0.316x26=—0.31 53-5表5-26 碘含量與患病率資料編秩X的秩次41235孔=15Y的秩次53421乙=15秩次之差d-1-2-2142查統(tǒng)計(jì)用表20（rs界值表），r005/2（5）=1.000,雙側(cè)P>0.05，不能按a=0.05水準(zhǔn)雙側(cè)檢驗(yàn)拒絕H0。不能認(rèn)為地方性甲狀腺腫患病率與水中平均碘含量有負(fù)向直線相關(guān)關(guān)系。根據(jù)如表5-6所示資料，分析出血癥狀Y與血小板數(shù)X（109/L）的關(guān)系。表5-6出血癥狀Y與血小板數(shù)X（109/L）的關(guān)系研究變量病例編號1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12血小板數(shù)X 160 310 420 540 740 1060 1260 1230 1440 2000 160 310出血癥狀Y+++++ + - + + -- -- + -

1000 2000100 m〈(° 2050圖5-14出血癥狀散點(diǎn)圖解這是等級資料，為繪制散點(diǎn)圖，先量化出血癥狀，等級一、+、++、+++，分別量化為0、1、2、3。由如圖1000 2000100 m〈(° 2050圖5-14出血癥狀散點(diǎn)圖H0：p=0，即j與x之間無聯(lián)系；H1：p手0。分別將兩個變量從小到大編秩，計(jì)算出每對觀察值的秩次之差也如表5-27所示。表5-27血小板和出血癥狀資料X的秩次1.53.5567891011121.53.5Y的秩次11128.53.58.58.53.53.53.53.58.53.5秩次之差d一9.5一8.5一3.52.5一1.5一0.55.56.57.58.5—70本例血小板數(shù)有2個160、2個310，出血癥狀有6個一、4個+，由n=12，計(jì)算得到￡^2=433.5，4=2(23—2)/12=1，Tj=[(63—6)+(43—4)]/12=22.5sc=—0.6536(123—12)/6—(1+22.5)—433.5sc=—0.6536"(123—12)/6—2x1][(123—12)/6—2x22.5]查統(tǒng)計(jì)用表20（%界值表），r005/2（10）=0.648，雙側(cè)PV0.05，以a=0.05水準(zhǔn)雙側(cè)檢驗(yàn)拒絕H。，可以認(rèn)為2?7歲急性白血病患兒的血小板數(shù)與出血癥狀之間有負(fù)向直線相關(guān)關(guān)系。習(xí)題5.2解答一— 處方用藥四君子湯參苓白術(shù)散補(bǔ)中益氣湯生脈散八珍湯炙甘草湯人參x1121000101066白術(shù)X，91000一— 處方用藥四君子湯參苓白術(shù)散補(bǔ)中益氣湯生脈散八珍湯炙甘草湯人參x1121000101066白術(shù)X，9100010090表5-9治療氣虛證6個處方的人參與白術(shù)二味中藥用量2解這是計(jì)量資料，治療氣虛證的6個處方中人參與白術(shù)的散點(diǎn)圖如圖5-15所示，有直線趨勢，適于作回歸直線分析。1110M〈D5由n=6、X=174.0000、SX=404.6628、1110M〈D5—0Q 0 5 10圖5-1；人參與白術(shù)散點(diǎn)圖3Y=171.3333、Sy=405.9880、￡XY=1000262，得到lxY=1000262—6X174X171.3333=821390.0000—0Q 0 5 10圖5-1；人參與白術(shù)散點(diǎn)圖3/=（6—1）1742=818760.0000XX

5=821390/818760=1.0032_1000262-6x174x171.3333r=(6-_1000262-6x174x171.3333r=(6-1)x404.6628x405.9880=0.9999查統(tǒng)計(jì)用表19(r界值表)，r0001/2(4)=0.9741,雙側(cè)PV0.01,線性回歸方程V=-3.2256+1.0032X有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。R2=0.99992=0.9999由冷＞0.7，可以認(rèn)為兩變量的相關(guān)強(qiáng)度較大，線性回歸方程擬合效果較好?？梢哉J(rèn)為在治療氣虛證時，人參與白術(shù)配伍用量有協(xié)同作用(有聯(lián)合相加作用)。從該方程的回歸系數(shù)5=1.0032可知，治療氣虛證時，人參用量每增加或改變1克，白術(shù)配伍用量平均改變約1克，若人參用量為9克，則白術(shù)用量為-3.2256+1.0032x9=5.8033克，即宜配白術(shù)用量5.8克，有利于節(jié)省藥量，發(fā)揮最佳藥效。對習(xí)題5.1的1題數(shù)據(jù)，建立干姜用量V(g)關(guān)于甘草用量X(g)的回歸方程。解這是計(jì)量資料，散點(diǎn)圖有直線趨勢。n=14，X=7.7679，SX=2.9063，V=6.5893，Sy=2.7935，￡XV=783.5625r=0.6346，雙側(cè)PV0.05，線性回歸方程有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。lXV=783.5625-14X7.7679X6.5893=66.9777農(nóng)=(14-1)2.90632=109.80805=821390/818760=0.6100a=6.5893—0.6100X7.7679=1.8513R2=0.63462=0.4029由冷＜0.7,兩變量的相關(guān)強(qiáng)度一般，干姜用量7(g)關(guān)于甘草用量X(g)的線性回歸方程擬合效果不太好，即V=1.8513+0.6100X可以使用。對習(xí)題5.1的2題數(shù)據(jù)，建立殘廢指數(shù)V與病程X(年)的回歸方程。解這是計(jì)量資料，散點(diǎn)圖有直線趨勢。n=11，X=3.0909，SX=2.7732，V=5.5455，Sy=1.6949，￡XV=218r=0.6266，雙側(cè)PV0.05，線性回歸方程有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。/=218—11X3.0909X5.5455=29.4545XVI=(11—1)2.77322=76.9091XX5=29.4545/76.9091=0.3830a=6.5893—0.6100X7.7679=4.3617R2=0.63462=0.3927由冷＜0.7,兩變量的相關(guān)強(qiáng)度一般，殘廢指數(shù)V與病程X(年)的線性回歸方程擬合效果不太好，即

Y=4.3617+0.3830X可以使用4.用雙波長薄層掃描儀測定紫草含量，濃度C(mg/100ml)與測得積分值H數(shù)據(jù)如表5-10所示，建立積分值H關(guān)于濃度C的回歸方程。在C0=12時，求H0的95%預(yù)測區(qū)間。表5-10 紫草含量濃度C與測得積分值H數(shù)據(jù)濃度C51015202530積分值H15.231.746.758.976.982.8解這是計(jì)量資料，散點(diǎn)圖如圖5-16所示，有直線趨勢，適于作回歸直線分析。n=6,X=17.5，SX=9.3541，Y=52.0333，Sy=26.1177，￡XY=6678M圖5-16紫草濃度與積分值散點(diǎn)圖/=6678-6X17.5X52.0333=1214.5M圖5-16紫草濃度與積分值散點(diǎn)圖XY農(nóng)=(6-1)9.35412=437.55=1214.5/437.5=2.7760a=52.0333-2.7760X17.5=3.45336678—6x17.5x52.0333r= =0.9942(6-1)x9.3541x26.1177查統(tǒng)計(jì)用表19,r0.001/2(4)=0.9741，雙側(cè)PV0.01線性回歸方程Y=3.4533+2.7760X有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。R2=0.99422=0.9885由史＞0.9，認(rèn)為兩變量的相關(guān)強(qiáng)度較大，線性回歸方程擬合效果較好，即H=3.4533+2.7760C可以使用查統(tǒng)計(jì)用表5得,05/2(4)=2.7765，計(jì)算得H=3.4533+2.7760X12=36.7653"亙亟EMH=3.1313*X \ 6-236.76532.7765x3.1313x,,'1+-+(12-17.5)2=(27.1005,46.4302)6(6-1)9.35412紫草含量濃度C0=12(mg/100ml)時，可預(yù)測積分值數(shù)據(jù)H0約有95%在(27.1005,46.4302)范圍內(nèi)。用顯微定量法測定二陳丸的甘草濃度x(mg/mL)與鏡檢晶纖維的數(shù)目必得到如表5-11所示資料，作回歸分析。甘草濃度4mg/mL時，預(yù)測晶纖維數(shù)目總體均數(shù)95%可信區(qū)間。表5-11 二陳丸的甘草濃度與鏡檢晶纖維的數(shù)目甘草濃度X2.073.104.145.176.20晶纖維數(shù)Y128194273372454解這是計(jì)量資料，散點(diǎn)圖如圖5-16所示，有直線趨勢，適于作回歸直線分析。n=5,X=4.136，SX=1.6333，Y=284.2，SY=131.5302，￡XY=6734.62/=6734.62-5X4.1360X284.2000XY=857.3640I=(5-1)1.63332=10.6709I=(5-1)1.63332=10.6709XXb=857.364/10.6709=80.3458a=284.2—80.3458X4.1360=—48.1104_6734.62-5x4.136x284.2r=(5-1)x1.6333x131.5302=0.9977查統(tǒng)計(jì)用表1（r界值表），r0001/2（3）=0.9911,雙側(cè)P<0.01,線性回歸方程V=—48.1104+80.3458x有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。500400?！?*200100t 1 」:10 66.5圖5-16濃度與晶纖維散點(diǎn)圖0° 妒］800V）0° 妒］800V）、（lnX，V）、（lnX，lnV）數(shù)據(jù)圖5-17壓力X與二酰肼生成值V的（X，V）、（lnX，V）、（lnX，lnV）散點(diǎn)圖R2=0.99772=0.9954由R2>0.7，可以認(rèn)為兩變量的相關(guān)強(qiáng)度較大，線性回歸方程擬合效果較好，即V=—48.1104+80.3458X可以使用。查統(tǒng)計(jì)用表5得％05/2（3）=3.1825，計(jì)算得%=—48.1104+3.1825X4=273.2730Sy-X=■'(5-1)(1-0.9977Sy-X=I =10.2497: 5-2273.27303.1825x10.2497x■-+(4-4.136)2=(258.6221,287.9238)\'5(5-1)1.63332甘草濃度4mg/mL時，預(yù)測晶纖維數(shù)目總體均數(shù)95%的可信區(qū)間為(258.6221,287.9238)。習(xí)題5.3解答二酰肼生成值（g/L）受壓力（mmHg）的影響，資料如表5-18所示，試建立二酰肼生成值V與壓力X的回歸方程。壓力X(mmHg)153050100300760二酰胼值V（g/L）55.038.025.014.56.62.6表5-18不同壓力的二酰肼生成值資料解比較如圖5-17所示壓力X與二酰肼生成值V的（X，散點(diǎn)圖，選擇冪函數(shù)回歸lnV=a+blnX。

計(jì)算數(shù)據(jù)的對數(shù)值，如表5-28所示，即表5-28不同壓力的二酰肼生成值數(shù)據(jù)的對數(shù)值lnX2.70813.40123.91204.60525.70386.6333lnY4.00733.63763.21892.67411.88710.9555用（lnX,lnY）數(shù)據(jù)作直線回歸計(jì)算，得到a=6.2250，b=—0.7777,R2=0.9939,r=0.9970，雙側(cè)P<0.01建立二酰肼生成值Y與壓力X的回歸方程lnY=6.2250—0.7777lnX有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。X=15、30、50、100、300、760時，lnY=4.1189、3.5799、3.1826、2.6436、1.7892、1.0663，擬合較好。薄層掃描測定心康膠囊中人參皂苷R&含量，遼寧中醫(yī)2002年第29卷第2期。測得數(shù)據(jù)如表5-19所示，建立Y與X的回歸方程。表5-19薄層掃描測定心康膠囊中人參皂苷R&含量Rgl凈含量 1.992 3.984 5.976 7.968 9.960色譜峰面積 16720 32949 47356 69084 86910解比較如圖5-18所示人參皂苷Rgl含量X與色譜峰面積Y的（X，Y）、（lnX，Y）、（lnX，lnY）數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖，可以選擇線性回歸Y=a+bX或冪函數(shù)回歸lnY=a+blnX。11.5〈0>2.5Y）11.5〈0>2.5Y）、（lnX，lnY）散點(diǎn)圖圖5-18人參皂苷Rgl含量X與色譜峰面積Y的（X，Y）、（lnX，若選擇線性回歸，則用（乂，Y）數(shù)據(jù)作直線回歸計(jì)算，得到a=—2350.7000,b=8861.1948，R2=0.9955，r=0.9977，雙側(cè)PV0.01色譜峰面積Y與人參皂苷Rgl含量X的直線回歸方程有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。由R2>0.9，認(rèn)為兩變量的相關(guān)強(qiáng)度較大，線性回歸方程擬合效果較好，即Y=—2350.7000+8861.1948X可以使用若選擇冪函數(shù)回歸，則計(jì)算數(shù)據(jù)的對數(shù)值如表5-29所示，即表5-29 Rgl含量X與色譜峰面積Y數(shù)據(jù)的對數(shù)值lnX 0.6891 1.3823 1.7878 2.0754 2.2986lnY 9.7244 10.4027 10.7654 11.1431 11.3726用（lnX,lnY）數(shù)據(jù)作直線回歸計(jì)算，得到a=8.9993，b=1.0217，R2=0.9969，r=0.9984，雙側(cè)P<0.01色譜峰面積Y與人參皂苷Rgl含量X的回歸方程lnY=8.9993+1.0217lnX有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。X=1.992、3.984、5.976、7.968、9.960時，lnY=9.7034、10.4116、10.8258、11.1197、11.3477，擬合較理想。3.根據(jù)例3數(shù)據(jù)，求LD50及其95%預(yù)測區(qū)間。解刪除P=0或100的數(shù)據(jù)，查統(tǒng)計(jì)用表22概率單位X、計(jì)算對數(shù)劑量lgD,如表5-30所示，即表5-30 小白鼠的死亡數(shù)據(jù)的概率單位死亡率P7.69233063.636484.615494.1176概率單位X3.57394.47565.34886.02016.5647對數(shù)劑量lgD0.30100.39790.47710.54410.6021用整理后的(X，lgD)數(shù)據(jù)作直線回歸計(jì)算，得到X=5.1966、SX=1.1964、Y=0.4644、SY=0.1189、￡XY=12.6366lXY=12.6366—5x5.1966x0.4644=0.5689I=4x1.19642=5.7260，I=4x0.11892=0.0566XX YYb=0.5689/5.7260=0.0994，a=0.4644-0.0994x5.1966=—0.0519r=0.5689/t5.7260x0.0566=0.9996，雙側(cè)P<0.01R2=0.99962=0.9992>0.7概率單位X與對數(shù)劑量lgD間的曲線擬合方程lnD=—0.0519+0.0994X有統(tǒng)計(jì)意義。X=5時，lnD=0.4449，LD50的點(diǎn)估計(jì)值=100.4449=2.7855。&二。.1189「(5一1)(1一0.9992)=0.0039Y'x 5-2查統(tǒng)計(jì)用表5,t0.05/2(3)=3.1825，得到lgLD50的95%預(yù)測D區(qū)間0.44493.1825x0.1373.-+(5-5.1966)2=(0.4393,0.4505)5(5-1)1.19642LD50的95%預(yù)測區(qū)間為(100.4393,100.4505)=(2.7499,2.8216)mg/g。習(xí)題5.4解答1.測定15名糖尿病人的血糖Y(mmol/L)、胰島素X1(Mu/L)及生長素X2(gg/L)的數(shù)值如表5-23所示，試建立血糖對于胰島素及生長素的二元線性回歸方程。表5-23糖尿病人的血糖、胰島素及生長素的含量研究變量病例號123456789101112131415血糖Y12.2114.5412.2712.047.8811.1010.4313.3219.599.056.449.4910.168.388.49胰島素X115.2016.7011.9014.0019.8016.2017.0010.302.9018.7025.1016.4022.0023.1023.20生長素X29.5111.437.5312.172.3313.5210.0718.8913.149.635.104.532.164.263.42解由數(shù)據(jù)計(jì)算得到L=459.6133、Z=—277.3543、Z=—233.3400、l”=331.8057、l”=145.4746、>=11 _ 12 _ 13_ 22 23 33146.6662、京=16.8333、X=8.5127、Y=11.0260構(gòu)成正規(guī)方程組，即2J459.6133?-277.3543?=-233.3400I-277.3543b+331.8057^=145.47461 2解得 b］=—0.4906、b2=0.0284計(jì)算得到 b0=11.0260+0.4906X16.8333—0.0284X8.5127=19.0424SS回=0.4906X277.3543—0.0284X233.3400=118.5962>df