精品解析：河北省唐山市2022屆高三下學(xué)期第一次模擬數(shù)學(xué)試題（解析版）

唐山市2022年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試第一次模擬演練數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)對應(yīng)點可得，根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算可計算得到結(jié)果.【詳解】對應(yīng)的點為，，.故選：B.2.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】計算出A區(qū)間，按照交并補的定義求解即可.【詳解】解不等式，解得，即，，故選：C.3.圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的表面積與圓柱的側(cè)面積的比值為（）A.1∶1 B.1∶2 C.2∶1 D.2∶3【答案】A【解析】【分析】按圓柱側(cè)面積和球的表面積公式計算即可.【詳解】設(shè)球的半徑的r，依題意圓柱的底面半徑也是r，高是2r，圓柱的側(cè)面積=，球的表面積為，其比例為1:1，故選：A.4.已知角的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，點在角的終邊上，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函數(shù)定義求出和，再利用二倍角公式求解即可.【詳解】根據(jù)三角函數(shù)定義，，由二倍角公式.故選：D5.已知向量，，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，利用向量數(shù)量積的定義和運算律可構(gòu)造方程求得，結(jié)合向量夾角范圍可得結(jié)果.【詳解】，，，解得：，又，，即與的夾角為.故選：D.6.已知F為雙曲線的右焦點，A為雙曲線C上一點，直線軸，與雙曲線C的一條漸近線交于B，若，則C的離心率（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】由題意求出，，再由可求得，從而可求表示出，進而可求得離心率【詳解】由題意得，雙曲線的漸近線方程為，由雙曲線的對稱性，不妨設(shè)均為第一象限點，當時，，得，所以，當時，，所以，因為，所以，所以，得，所以，所以雙曲線的離心率為，故選：B7.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對稱性可得，由此可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】圖象關(guān)于點對稱，，又，，，解得：，.故選：C.8.在正方體中，M為棱的中點，平面將該正方體分成兩部分，其體積分別為，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如圖，取的中點，連接，則可得梯形為平面所在的截面，則為三棱臺的體積，設(shè)正方體的棱長為2，先求出，從而可求出，進而可求出的值【詳解】如圖，取的中點，連接，因為M為棱的中點，所以∥，，因為∥,，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，，所以∥，，所以梯形為平面所在的截面，則為三棱臺的體積，不妨設(shè)正方體的棱長為2，則正方體的體積為8，因為，所以,所以，所以，故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.有一組互不相等的數(shù)組成的樣本數(shù)據(jù)、、、，其平均數(shù)為（，、、、），若插入一個數(shù)，得到一組新的數(shù)據(jù)，則（）A.兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)方差相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的極差相同【答案】AD【解析】【分析】利用平均數(shù)公式可判斷A選項；利用中位數(shù)的定義可判斷B選項；利用方差公式可判斷C選項；利用極差的定義可判斷D選項.【詳解】由已知可得.對于A選項，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，與原數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，A對；對于B選項，不妨設(shè)，則原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，若，則中位數(shù)為，若，則中位數(shù)為，B錯；對于C選項，新數(shù)據(jù)的方差為，C錯；對于D選項，不妨設(shè)，則，故新數(shù)據(jù)的極差仍為，D對.故選：AD.10.設(shè)函數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞增B.在內(nèi)有個極值點C.的圖象關(guān)于直線對稱D.將的圖象向右平移個單位，可得的圖象【答案】BC【解析】【分析】利用代入檢驗法可知AC正誤；利用整體對應(yīng)的方式可確定當時，的極值點位置，知B正確；根據(jù)三角函數(shù)平移變換知D錯誤.【詳解】對于A，當時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，A錯誤；對于B，當時，，則當或或或或或時，取得極值，在內(nèi)有個極值點，B正確；對于C，當時，，圖象關(guān)于對稱，C正確；對于D，將向右平移個單位可得：，D錯誤.故選：BC.11.已知直線與拋物線交于，兩點，為坐標原點，直線，的斜率分別記為，，則（）A.為定值 B.為定值C.為定值 D.為定值【答案】ABD【解析】【分析】直線與拋物線方程聯(lián)立可得韋達定理的形式，利用韋達定理依次驗證四個選項即可得結(jié)果.【詳解】由得：，則；對于A，為定值，A正確；對于B，，B正確；對于C，，不為定值，C錯誤；對于D，，則為定值，D正確.故選：ABD.12.已知，，，為函數(shù)的零點，，下列結(jié)論中正確的是（）A.B.C.若，則D.a的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】對于A，只要利用函數(shù)零點的判斷定理即可；對于B，由于有了A的結(jié)論，只要判斷的范圍即可；對于C，利用函數(shù)表達式，將所給的條件帶入，聯(lián)立方程即可；對于D，需要將原函數(shù)轉(zhuǎn)換成容易求導(dǎo)的解析式，再構(gòu)造函數(shù)即可.【詳解】，，故A正確；當時，，必?zé)o零點，故，，故B錯誤；當時，即，兩邊取對數(shù)得，，，聯(lián)立方程解得，由于，，故C正確；考慮在第一象限有兩個零點：即方程有兩個不同的解，兩邊取自然對數(shù)得有兩個不同的解，設(shè)函數(shù)，，則時，，當時，，當時，，所以，要使得有兩個零點，則必須，即，解得，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)函數(shù)若，則________.【答案】1【解析】【分析】令求出值，再根據(jù)分段函數(shù)定義域判斷即可.【詳解】由題，當時，無解,當時，，解得，成立.故答案為：114.記是公差不為的等差數(shù)列的前項和，若，，則________.【答案】##【解析】【分析】利用表示出已知的等量關(guān)系，解方程組求得后，利用等差數(shù)列通項公式求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得：，解得：，.故答案為：.15.為了監(jiān)控某種食品的生產(chǎn)包裝過程，檢驗員每天從生產(chǎn)線上隨機抽取包食品，并測量其質(zhì)量（單位：g）.根據(jù)長期的生產(chǎn)經(jīng)驗，這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下每包食品質(zhì)量服從正態(tài)分布.假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示每天抽取的k包食品中其質(zhì)量在之外的包數(shù)，若的數(shù)學(xué)期望，則k的最小值為________.附：若隨機變量X服從正態(tài)分布，則.【答案】19【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出在之外的概率，從而得到，根據(jù)二項分布的期望公式得到不等式，解得即可；【詳解】解：依題意，所以在之外的概率，則，則，因為，所以，解得，因為，所以的最小值為；故答案為：1916.已知、，是圓上的動點，當最大時，________；的最大值為________.【答案】①.②.【解析】【分析】求得，利用基本不等式可求得當取最大值時對應(yīng)的的值，推導(dǎo)出，利用三角換元結(jié)合正弦型函數(shù)的有界性可求得的最大值.【詳解】由已知可得，則，得，且有，所以，，當且僅當時，即當時，取得最大值.因，，所以，，設(shè)，，其中，所以，，因為，則，當時，即當時，取得最大值，此時，可得，合乎題意.故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列的各項均不為零，為其前n項和，且.（1）證明：；（2）若，數(shù)列為等比數(shù)列，，.求數(shù)列的前2022項和.【答案】（1）證明見解析；（2）4044.【解析】【分析】（1）由題設(shè)遞推式可得，結(jié)合已知條件即可證結(jié)論.（2）由（1）及等比數(shù)列定義寫出通項公式，進而有，根據(jù)奇偶項的正負性，應(yīng)用分組求和法及（1）的結(jié)論求即可.【小問1詳解】因為①，則②，②-①得：，又，所以.【小問2詳解】由得：，于是，由得：的公比.所以，.由得：由得：，因此.18.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，.（1）若，求b；（2）若D為的中點，且，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出，然后按照正弦定理計算即可；（2）利用，以及AD是中線的特點列方程即可.【小問1詳解】因為，所以在中，由正弦定理得，即.【小問2詳解】在中，由余弦定理得……①因為D為的中點，所以.在中，由余弦定理得.在中，由余弦定理得.由得……②聯(lián)立①②可得，即，故答案為：，.19.甲、乙兩支隊伍進行某項比賽，賽制分為兩種，一種是五局三勝制，另一種是三局兩勝制.根據(jù)以往數(shù)據(jù)，在決勝局（在五局三勝制中指的是第五局比賽，在三局兩勝制中指的是第三局比賽）中，甲、乙兩隊獲勝的概率均為0.5；而在非決勝局中，甲隊獲勝的概率為0.6，乙隊獲勝的概率為0.4.（1）若采用五局三勝制，直到比賽結(jié)束，共進行了局比賽，求隨機變量的分布列，并指出進行幾局比賽的可能性最大；（2）如果你是甲隊的領(lǐng)隊，你希望舉辦方采用五局三勝制還是三局兩勝制?【答案】（1）分布列見解析；進行四局比賽的可能性最大；（2）希望采用五局三勝制.【解析】【分析】（1）確定所有可能的取值，根據(jù)獨立事件概率計算公式分別求得每個取值對應(yīng)的概率，由此可得分布列；比較每個取值對應(yīng)概率大小即可得到結(jié)論；（2）分別計算五局三勝和三局兩勝制時，甲隊獲勝的概率，比較概率大小可得結(jié)果.【小問1詳解】由題意知：的可能取值為，，.則；；；則的分布列為，進行四局比賽的可能性最大.【小問2詳解】作為甲隊領(lǐng)隊，希望甲隊最終獲勝；若采用五局三勝制，甲隊獲勝的概率為；若采用三局兩勝制，甲隊獲勝的概率為；，作為甲隊領(lǐng)隊，希望采用五局三勝制.20.如圖，直三棱柱中，，為的中點，為棱上一點，.（1）求證：平面；（2）若二面角大小為，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由直棱柱特征和線面垂直的判定和性質(zhì)可證得、，由線面垂直的判定可證得結(jié)論；（2）以為坐標原點可建立空間直角坐標系，設(shè)，利用二面角的向量求法可構(gòu)造方程求得，進而利用線面角的向量求法求得結(jié)果.【小問1詳解】在直三棱柱中，底面，底面，；又，，平面，平面，平面，又平面，.由直三棱柱知：底面，底面，，又，平面，平面，平面.【小問2詳解】由（1）知：，又為中點，.以為坐標原點，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，，，，，設(shè)，則.由（1）知：平面的法向量可?。辉O(shè)平面的法向量，，，，令，解得：，，；，解得：，此時，設(shè)與平面所成角為，，，即直線與平面所成角的正弦值為.21.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：.【答案】（1）在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間.（2）首先利用導(dǎo)數(shù)證得，然后利用差比較法證得，從而證得結(jié)論成立.【小問1詳解】的定義域為，.當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.故在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】令，，則，所以時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減，所以的最大值為，即，從而，所以.又，所以，等號當且僅當時成立故.22.已知橢圓經(jīng)過點，離心率為.（1）求橢圓C方程；（2）如圖，橢圓C的左、右頂點為，，不與坐標軸垂直且不過原點的直線l與C交于M，N兩點（異于，），點M關(guān)于原點O的對稱點為點P，直線與直線交于點Q，直線與直線l交于點R.證明：點R在定直線上.【答案】（1）；