二面角和向量夾角的關(guān)系

提出問題：怎樣用平面的法向量來表示二面角的大小?§3.2二面角與向量夾角的關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)異面直線所成的學(xué)習(xí)目標(biāo)異面直線所成的角、線面角、二面角與向量夾角的關(guān)系.學(xué)習(xí)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：異面直線所成的角、線面角、二面角與向量夾角的關(guān)系.難點(diǎn)二如何用直線的方向向量和平面的法向量來表達(dá)線面角和二面角學(xué)習(xí)過程一、復(fù)習(xí)回顧：二面角及其平面角的定義，求法(1)求證：EF上平面BCE；平面。與6相交于直線1,平面a的法向量為n1,平面乃的法向量為n2,<n1,n2>=3，則二面角a—1—6為?；騨—0.設(shè)二面角大小為0，貝V|cos0|==注：由于兩條直線所成的角，線面角都不大于直角，因此可直接通過絕對值來表達(dá)，故可直接求出，而二面角的范圍是，有時比較難判斷二面角是銳角還是鈍角，因?yàn)椴荒軆H僅由法向量夾角余弦的正負(fù)來判斷，故這是求二面角的難點(diǎn).四、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練例1、正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，F(xiàn)A=FE，ZAEF=45°(2)設(shè)線段CD的中點(diǎn)為P，在直線AE上是否存在一點(diǎn)M，使得PM〃平面BCE?若存在，請指出點(diǎn)M的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由；(3)求二面角F-BD-A的余弦值。二、基礎(chǔ)自測1.=CC],A.C.直三棱柱A1B1C1-ABC中，匕ACB=90°,D,,鳥分別為A1B1，則BD1與AE1所成角的余弦值為()12\.'3010A1C1的中點(diǎn)，若BC=CAB.D.\：3015亞1022.角的正弦值為()A.寸C遠(yuǎn)C.5已知長方體ABCD—AlBlClDl中，AB=BC=4，CC1=2，則直線BC1和平面DBBR所成B垂B.2D遠(yuǎn)D10三、知識梳理:拓展提升|如圖，四棱柱ABCD拓展提升|如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等，ACnBD=O,A1C1nB1D1=O1,四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.(1)證明：O1O1底面ABCD;⑵若zCBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值.五、隨堂練習(xí)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB〃CD,NDAB=60°,FC±平面ABCD,AE±BD,CB=CD=CF.求證：BD上平面AED；求二面角F-BD-C的余弦值五、歸納小結(jié)：通過本節(jié)學(xué)習(xí)有哪些收獲?：六、布置作業(yè)：課本習(xí)題復(fù)習(xí)本節(jié)內(nèi)容

例2：如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB,AB=AA1,ZBAA1=60°.證明:AB±A1C；若平面ABC±平面AA1B1B,AB=CB=2,求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值.課后感悟復(fù)習(xí)課例1：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC,ABLAC,M是CQ的中點(diǎn)，Q是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在A1B1上，則直線PQ與直線AM所成的角等于()A.30° B.45°C.60° D.90°［方法規(guī)律總結(jié)］求直線與平面所成的角綜合幾何方法：先找(或作)出線面角，然后通過解直角三角形求.基本步驟是作圖一證明一計算.向量幾何方法：設(shè)直線l的方向向量為a,平面a的法向量為n，l與a所成的角為。，則sin^=a^n.laiini練2：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，AD〃BC,ZBAD=90°,PAL底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分別為PC、PB的中點(diǎn).求BD與平面ADMN所成的角。.B.B.［方法規(guī)律總結(jié)］求異面直線所成的角的常用方法是：作圖 證明 計算；把角的求解轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.若直線&12的方向向量分別為a、b,￡與l2夾角為。，則|瑚=器.練1:直三棱柱ABC-A1B1C1中，/BCA=90°,M,N分別是A^,A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC］,則BM與AN所成的角的余弦值為(1A——A10D.

例3：已知以上平面ABC,ACLBC,PA=AC=1,BC^2.求二面角A~PB~C的余弦值.方法規(guī)律總結(jié)用向量方法求異面直線所成的角、線面角、二面角，都是轉(zhuǎn)化為直線的方向向量或平面的法向量的夾角計算問題，需注意的是①異面直線所成的角。仁(0,項，故兩直線的方向向量夾角。的余弦值為負(fù)時，應(yīng)取其絕對值；②若直線與平面所成的角仇直線的方向向量和平面的法向量夾角為伊，則其關(guān)系為sin0=lcos9l；③若二面角為仇兩平面的法向量夾角為。，^皿cosH=IcosqI，需分辨角3是銳角還是鈍角，可由圖形觀察得出，也可由法向量特征得出.練3：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，/BAD=60°，Q為AD的中點(diǎn).(1)若PA=PD，求