幾種特殊類型行列式及其計(jì)算

行列式的定義及性質(zhì)1.1定義[3]n級行列式TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"a a … a11 12 In\o"CurrentDocument"a a … a21 22 In? ? ?aa…an1 n2 nn等于所有取自不同行不同列的個(gè)n元素的乘積aa…a⑴的代數(shù)和，這里jj…j是j2j2 njn 12n.,n的一個(gè)排列，每一項(xiàng)⑴都按下列規(guī)則帶有符號：當(dāng)jj…j是偶排列時(shí)，（1）帶正號，當(dāng)12njj…j是奇排列時(shí)，（1）帶有負(fù)號.這一定義可寫成12na11a21a11a21a12a22aIn:a…a1j 2j2 njnannaann這里￡j1這里￡j1j2…jn1.2性質(zhì)[4]表示對所有n級排列求和.性質(zhì)1.2.1行列互換,行列式的值不變.性質(zhì)1.2.2某行（列）的公因子可以提到行列式的符號外.性質(zhì)1.2.3如果某行（列）的所有元素都可以寫成兩項(xiàng)的和,則該行列式可以寫成兩行列式的和;這兩個(gè)行列式的這一行（列）的元素分別為對應(yīng)的兩個(gè)加數(shù)之一,其余各行（列）與原行列式相同.性質(zhì)1.2.4兩行（列）對應(yīng)元素相同,行列式的值為零.性質(zhì)1.2.5兩行（列）對應(yīng)元素成比例,行列式的值為零.性質(zhì)1.2.6某行（列）的倍數(shù)加到另一行（列）對應(yīng)的元素上,行列式的值不變.性質(zhì)1.2.7交換兩行（列）的位置,行列式的值變號.

2行列式的分類及其計(jì)算方法2.1箭形（爪形）行列式這類行列式的特征是除了第1行（列）或第〃行（列）及主（次）對角線上元素外的其他元素均為零，對這類行列式可以直接利用行列式性質(zhì)將其化為上（下）三角形行列式來計(jì)算.即利用對角元素或次對角元素將一條邊消為零.例1計(jì)算n階行列式a111解 將第一列減去第二列的-1倍，第三列的1倍..一第n列的1倍，得a2001a20011…1a0…020a…0???...???00…a7nanrrai\二Flaii=22.2兩三角型行列式這類行列式的特征是對角線上方的元素都是J對角線下方的元素都是b的行列式，初看，這一類型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由這類行列式變換而來，對這類行列式，當(dāng)b=C時(shí)可以化為上面列舉的爪形來計(jì)算，當(dāng)b中C時(shí)則用拆行（列）法⑼來計(jì)算例2計(jì)算行列式accibac2D=bban??????bbb…c?…c?…c??????…anabiba2D=bbn??????bb

b…b

b…b

a…b?????????b…an將第2行到第行n都減去第1行，則D化為以上所述的爪形，即

nababbib—aa—b0i2D=b—a0a—bni3?????????b—a00… b... 0... 0??? ???… a一bn用上述特征1的方法，則有a—b(b—a泛-L00 …01 1a—bi=2 ib—aa—b0 …0D二i2nb—a0a—b…0i3???????????????0 0 ...a—b1n1ii=i當(dāng)b豐c時(shí)，用拆行（列）法［9］，i=i則iz—1i+1 nXaa?一aXaa???a+0ibXa?…abXa?…a+0D=b2bX,??ab2bX?…a+0n??????...???????????????bbb…Xnbbb…b+x—bn

xaa???axaa?.. 011bxa?aabxa?.. 022bbx?aa+bbx?.. 0??????*???????????????bbb??*bbbb.??x-bnx-a1b-a0?????ax-a?????a???2????????a+(x-b)D.nn-1b-ab-a???x一aan-100???0b化簡得=b(x-a)G-a)??.(x—a)+(x-b)D.n-1 n n-1(1)而若一開始撤拆為a+x-a，則得n n(x-b)(x-b).?.(x-b)+(x-a)D.n-1n n-1(2)由(1)x(x-b)-(2)x(x-a),aIni(x-b)-bIni(x-a).ii=1有一些行列式雖然不是兩三角型的行列式，但是可以通過適當(dāng)變換轉(zhuǎn)化成兩三角型行列式進(jìn)行計(jì)算.例3計(jì)算行列式(n>2).解將第一行xa，第一列Xa，得b ca2d

bc

a

即化為上2-（1）情形，計(jì)算得D=d(x-a)n-1+(n-1)(ad-bc)(x-a>-2.而對于一些每行（列）上有公共因子但不能像上面一樣在保持行列式不變的基礎(chǔ)上提出公共因子的，則用升階法［8］來簡化.例4計(jì)算行列式D=n1+x1xx21???2xx…121+x2?…...xx1nxxnn???.xxn1xnx,??21+xn2ID二n100???x11+x21xx21???x2xx121+x2??<??4??<??<1111xnxx1nxx2n???02,…,n)倍，xxn1得xxn2??<-1+x2n1一x1:-x/x11x…20…xn0D=n0???1…??????0???.-x00…1解將行列式升階，得n將第i行減去第一行的元（ii這就化為了爪形，按上述特征1的方法計(jì)算可得D=n1+D=n1+Zx2ii=1

00x110x201i=12.3兩條線型行列式這類行列式的特征是除了主（次）對角線或與其相鄰的一條斜線所組成的任兩條線加四個(gè)

頂點(diǎn)中的某個(gè)點(diǎn)外，其他元素都為零，這類行列式可直接展開降階，對兩條線中某一條線元素全為0的，自然也直接展開降階計(jì)算.例5計(jì)算行列式aD-…b1a2?????????b…2???????????????解按第一行展開可得la b12 2…a???bn??????b…????????????…an—1??????bn—1anb…iab??????????????????3D-a n 1??????????-aa…a+12 n3?????…an—1?????(—1)n+1bb12???bn—1an…bn+b(-1)+nn.2 2?????????????????????an—1??????bn—1an—1??????bn—1例6計(jì)算行列式b1an—1D2an—1D2nn—1ab11cdn—1dn解方法1直接展開可得D-a2n n(_1)D-a2n n(_1)+2ndn—1cn—1dn—10an-i=adnn-bc(-1an-i=adnn-bc(-1)2n-D+1n-1n-1n-1cn-idcd=(ad-bc)Dnnnn 2(n-1)D=(adD=(ad-bc)D =(ad-bc)(ad2n nnnn2(n-1) nnnnn-1n-1-bc )Dn-1n-12(n-2)M(ad-bc).iiiii=1方法2（拉普拉斯定理法［3］）按第一行和第2n行展開得an-11D2nbnan-11D2nbndn(-1)1+2n+1+2nn-1cn-1d=(ad-bc)Dnnnn 2(n-1)其余的同法1.2.4Hessenberg型行列式這類行列式的特征是除主（次）對角線及與其相鄰的斜線，再加上第1或第n行外，其他元素均為零，這類行列式都用累加消點(diǎn)法，即通常將第一行素均為零，這類行列式都用累加消點(diǎn)法，即通常將第一行（列）元素化簡到只有一個(gè)非零元素，以便于這一行或列的展開降階計(jì)算.例7計(jì)算行列式123…n-1n1-10… 0002-2… 00???????????????????n-22-n0000?… n—11-n解將各列加到第一列得

n(n+201)2-130??????n-10n0D=n02-2???00.??????????????????n-2???2-n???000???n-11-n按第一列展開得—10???00D—nn(n+21)2??????-2????????????n—20???2—n0???00???0n-11—n(_1>-1臼2abca形如abca形如D二cnb的的 的行列式，這類行列式的特征是除這三條斜線上元素外，其bca他元素均為零，這是一遞推結(jié)構(gòu)的行列式，所有主子式都有同樣的結(jié)構(gòu)，從而以最后一列展開，將所得的n-1階行列式再展開即得遞推公式.對這類行列式用遞推法⑸.例8計(jì)算行列式abcabD=c?.?.nbca解按第一列展開有D=aD-bcD

n n-1 n-2解特征方程元2-ax+bc=0得a+\022—4bc a一、：'a2—4bcx- ,x- 12 2 2則Qn+1一Xn+1)D--1 2 ,(x豐xnx—x1 212例9計(jì)算行列式9549D- ?.?.?..n9549解按第一行展開得D—9D+20-0.n n—1解特征方程得x-4,x-5.12則D-a4n—1+b5n—1.n分別使n-1,2得a--16,b-25,則D-5n+1—4n+1.n2.6各行（列）元素和相等的行列式這類行列式的特征是其所有行（列）對應(yīng)元素相加后相等，對這類行列式，將其所有行（列）加到第一行（列）或第n行（列），提取公因式后，再把每一行都減去第一行（列），即可使行列式中出現(xiàn)大量的零元素.例10計(jì)算行列式1+aa…aTOC\o"1-5"\h\z1 1a 1+a…aD- 2 2 2.n??? ??? ??? ???aa…l+〃n n n解將第2行到第n行都加到第1行，得

1+a+???+a1+a+???+a?…1+a+???+a1 n1 n1a1+a???aD— 2n ?一..."???:.aa???1+annn11 .?*1—(1+a+???+a1 n、a)2???1+a…*a...2 ..*..2ana一n*1+an11…1-(1+aH—?+a1 n)0???1…??????000…1—(1+a+???+a).1 n2.7相鄰兩行（列）對應(yīng)元素相差1的行列式這類行列式的特征是大部分以數(shù)字為元素且相鄰兩行（列）元素相差1的行列式，對這類行列式，自第一行（列）開始，前行（列）減去后行（列），或自第行n（列）開始，后行（列）減去前行（列）,即可出現(xiàn)大量元素為1或-1的行列式，再進(jìn)一步化簡即出現(xiàn)大量的零元素.若相鄰兩行（列）元素相差倍數(shù)k，則前（后）行（列）減去后（前）行（列）的-k倍，可使行列式出現(xiàn)大量的零元素.例11計(jì)算行列式012 …n-2n-1101 …n-3n-2D―210 …n-4n-3*****n**********n-2n-3n—4.…01n-1n-23 …10解依次用前行減去后行，可得TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 ...111 -1 1 …1 11 -1 -1 …1 1D—

? ? ? ? ?n? ? ? ? ?? ? ? ? ?-1 -1 -1 …-1 1n—1 n—2 n—3…1 0現(xiàn)將第1列加到第2列至第n列，得-100 …00-1-20 …00-1-2-2 …00D=*****n**********-1-2-2 ?…-20n-12n-32n—4…n--1=(-1>-12n-2(n—1).例11計(jì)算階n行列式1aa2???2an-1an-11a???an-3an-2D=an-2an-11???an-4an-3n?a2a3a4???1aaa2a3???(Jn-11解這是相鄰兩行(列)相差倍數(shù)。，可采用前行減去后行的一〃倍的方法化簡得TOC\o"1-5"\h\z1-an 0 0 ... 0 00 1-an0 ... 0 00 0 1-an … 0 0D=? ? ? ? ?n ? ? ? ? ?? ? ? ? ?0 0 0 ...1-an0a a2 a3 … an-i 1=G-an)-1.2.8