第講謂詞邏輯

會(huì)計(jì)學(xué)1第講謂詞邏輯1.6謂詞和量詞例：如有句子：

張紅是一個(gè)西南科技大學(xué)的學(xué)生；

王南是一個(gè)西南科技大學(xué)的學(xué)生；

李華是一個(gè)西南科技大學(xué)的學(xué)生。則在命題中必須要用三個(gè)命題P，Q，R來(lái)表示。但是，它們都具有一個(gè)共同的特征：

“…是一個(gè)西南科技大學(xué)的學(xué)生”描述相同對(duì)象不同第1頁(yè)/共24頁(yè)1.6.1謂詞在句子中，可以獨(dú)立存在的客體稱(chēng)為個(gè)體詞，而用以刻劃客體的性質(zhì)或客體之間的關(guān)系即是謂詞。 表示方法：個(gè)體詞用a,b,c,...a1,等表示，謂詞用A,B,C,...A1,等表示。例： 張紅是一個(gè)西南科技大學(xué)的學(xué)生；由此，我們定義謂詞

P:是一個(gè)西南科技大學(xué)的學(xué)生個(gè)體詞a1:張紅a2:王南a3:李華P(a1)

為方便理解，謂詞描述為

A(x),B(x),C(x),...第2頁(yè)/共24頁(yè)設(shè)有如下命題：

P：上海是一個(gè)現(xiàn)代化的城市；

Q：甲是乙的父親；

R：3介于2和5之間。

T：李蘭與高翔是同班同學(xué)。例解：設(shè)有如下謂詞：C（x）：x是一個(gè)現(xiàn)代化的城市；F（x，y）：x是y的父親；B（x，y，z）：x介于y和z之間；S（x，y）：x與y是同班。則上述命題可表示為：P：C（上海）Q：F（甲，乙）R：B（3，2，5）T：S（李蘭，高翔）第3頁(yè)/共24頁(yè)謂詞中個(gè)體詞的順序是十分重要的，不能隨意變更。一元謂詞用以描述某一個(gè)個(gè)體的某種特性或性質(zhì)，而n元謂詞則用以描述n個(gè)個(gè)體之間的關(guān)系。0元謂詞(不含個(gè)體詞的)實(shí)際上就是一般的命題。一個(gè)n元謂詞不是一個(gè)命題，但將n元謂詞中的個(gè)體變?cè)加脗€(gè)體域中具體的個(gè)體取代后，就成為一個(gè)命題。而且，個(gè)體變?cè)诓煌膫€(gè)體域中取不同的值對(duì)是否成為命題及命題的真值有很大的影響。幾個(gè)結(jié)論第4頁(yè)/共24頁(yè)表示具體或特定的個(gè)體詞稱(chēng)為個(gè)體常量，一般個(gè)體詞常量用帶或不帶下標(biāo)的小寫(xiě)英文字母a,b,c,……,a1,a2,a3.,……表示。表示抽象的或泛指的個(gè)體詞稱(chēng)為個(gè)體變量，一般用帶或不帶下標(biāo)的小寫(xiě)英文字母x,y,z,.…,x1,x2,x3,……表示。個(gè)體詞的取值范圍稱(chēng)為個(gè)體域或論域，常用D表示。而宇宙間的所有個(gè)體域聚集在一起所構(gòu)成的個(gè)體域稱(chēng)為全總個(gè)體域。設(shè)D為非空的個(gè)體域，定義在Dn(表示n個(gè)個(gè)體都在個(gè)體域D上取值)上取值于｛0,1｝上的n元函數(shù)，稱(chēng)為n元謂詞,記為P(x1,x2,…,xn)。此時(shí)，個(gè)體變量x1,x2,…,xn的定義域都為D，P(x1,x2,…,xn)的值域?yàn)閧0，1｝。其他定義第5頁(yè)/共24頁(yè)1.6.2量詞符號(hào)化下述命題：所有的老虎都要吃人；每一個(gè)人都會(huì)犯錯(cuò)誤；有一些人是大學(xué)生；有的自然數(shù)是素?cái)?shù)。R（x）：x會(huì)吃人；R(x)(x{老虎})P（x）：x會(huì)犯錯(cuò)誤；P(x)(x{人})Q（x）：x是大學(xué)生；Q(x)(x{人})S（x）：x是素?cái)?shù)。S(x)(x{自然數(shù)})第6頁(yè)/共24頁(yè)量詞的定義

定義6.3(x)稱(chēng)為全稱(chēng)量詞。(x)為存在量詞,其中的x稱(chēng)為作用變量。一般將其量詞加在其謂詞之前，記為(x)F(x),(x)F(x)，此時(shí)，F(xiàn)(x)稱(chēng)為全稱(chēng)量詞和存在量詞的轄域。引進(jìn)如下兩個(gè)符號(hào)：(x):所有的x；

(x)：有些x；

任意的x；

至少有一個(gè)x；

一切的x；

存在x；

每一個(gè)x；等等。

等等。

第7頁(yè)/共24頁(yè)例(續(xù))(x)R(x)(x{老虎})(x)P(x)(x{人})(x)Q(x)(x{人})(x)S(x)(x{自然數(shù)})在例中，利用量詞則有：解：設(shè)立如下謂詞：R（x）：x會(huì)吃人；P（x）：x會(huì)犯錯(cuò)誤；Q（x）：x是大學(xué)生；S（x）：x是素?cái)?shù)。第8頁(yè)/共24頁(yè)例(續(xù))有時(shí)，由于個(gè)體域的注明不清楚，造成無(wú)法確定其真值?；?qū)τ谕粋€(gè)公式，不同的個(gè)體域有可能帶來(lái)不同的真值。

在例中，利用量詞會(huì)有：例如：(x)R(x)(x{老虎}).若個(gè)體域不注明,則該命題無(wú)法判斷.

若(x{人}),則該命題為假.第9頁(yè)/共24頁(yè)全總個(gè)體域?qū)τ谌Q(chēng)量詞，刻劃其對(duì)應(yīng)個(gè)體域的特性謂詞作為蘊(yùn)涵的前件加入。對(duì)于存在量詞，刻劃其對(duì)應(yīng)個(gè)體域的特性謂詞作為合取式之合取項(xiàng)加入?；谏鲜銮闆r，必須對(duì)個(gè)體域進(jìn)行統(tǒng)一，全部使用全總個(gè)體域，此時(shí)，對(duì)每一個(gè)句子中個(gè)體變量的變化范圍用一定之特性謂詞刻劃之。則這種特性謂詞在加入到命題函數(shù)中時(shí)必定遵循如下原則：第10頁(yè)/共24頁(yè)例(續(xù))解：U(x)：x是老虎； (x)(U(x)→R(x))H(x)：x是人； (x)(H(x)→P(x))H(x)：x是人； (x)(H(x)∧Q(x))T(x)：x是自然數(shù)； (x)(T(x)∧S(x))對(duì)于前例中的例子運(yùn)用特性謂詞描述。第11頁(yè)/共24頁(yè)考慮以下形式的命題在謂詞邏輯中的符號(hào)化問(wèn)題。(1)所有人都是要死的。(2)有些人不怕死。

因此，引進(jìn)特性謂詞，M(x)：x是人。

(1)“所有人總是都要死的?！睉?yīng)符號(hào)化為:

；

(2)“有些人不怕死?！狈?hào)化為:

。

第12頁(yè)/共24頁(yè)各概念間的關(guān)系如下圖所示：第13頁(yè)/共24頁(yè)量詞的特點(diǎn)在使用量詞時(shí)，應(yīng)注意以下6個(gè)特點(diǎn)：

1.在不同的個(gè)體域中，同一命題符號(hào)化的形式可能不一樣。

2.如果事先沒(méi)有指明個(gè)體域，都應(yīng)以全總個(gè)體域?yàn)閭€(gè)體域。

3.在引入特性謂詞后，使用全稱(chēng)量詞與存在量詞符號(hào)化的形式是不同的。

4.個(gè)體域和謂詞的含義確定之后，n元謂詞要轉(zhuǎn)化為命題至少需要n個(gè)量詞。

第14頁(yè)/共24頁(yè)5.當(dāng)個(gè)體域?yàn)橛邢藜瘯r(shí)，如D={a1,a2,…,an}，由量詞的定義可以看出，對(duì)于任意的謂詞A(x)，都有

(1)

(2)這實(shí)際上是將謂詞邏輯中的命題公式轉(zhuǎn)化為命題邏輯中的命題公式問(wèn)題。6.多個(gè)量詞同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，不能隨意顛倒它們的順序。顛倒后會(huì)改變?cè)}的含義。

第15頁(yè)/共24頁(yè)

在謂詞邏輯中將下面命題符號(hào)化。

(1)凡有理數(shù)均可表示成分?jǐn)?shù)。

(2)有的有理數(shù)是整數(shù)。要求：1)個(gè)體域?yàn)橛欣頂?shù)集合。

2)個(gè)體域?yàn)槿倐€(gè)體域。第16頁(yè)/共24頁(yè)解:1)個(gè)體域?yàn)橛欣頂?shù)集合，不用引入特性謂詞。

(1)凡有理數(shù)均可表示成分?jǐn)?shù)。符號(hào)化為?xF(x)，其中，F(xiàn)(x)：x可表示成分?jǐn)?shù)。

(2)有的有理數(shù)是整數(shù)。符號(hào)化為?xG(x)，其中，G(x)：x是整數(shù)。2)個(gè)體域?yàn)槿倐€(gè)體域，引入特性謂詞。

R(x)：x是有理數(shù)。

(1)符號(hào)化為?x(R(x)→F(x))，其中，F(xiàn)(x)：x可表示成分?jǐn)?shù)。

(2)符號(hào)化為?x(R(x)∧G(x))

，其中G(x)同上。第17頁(yè)/共24頁(yè)例

在謂詞邏輯中將下列命題符號(hào)化。

(1)每個(gè)自然數(shù)都有后繼數(shù)。

(2)所有人都不一樣高。解因?yàn)轭}目沒(méi)指明個(gè)體域，因而使用全總個(gè)體域。(1)其中F(x)：x是自然數(shù)，H(x,y)：y是x的后繼數(shù)。符號(hào)化為:?x(F(x)→?y(F(y)∧H(x,y))(2)其中，M(x)：x是人；H(x,y)：x≠y(x與y不是同一個(gè)人)；L(x,y)：x與y一樣高。符號(hào)化為:?x?y(M(x)∧M(y)∧H(x,y)→┒L(x,y))第18頁(yè)/共24頁(yè)1.6.4原子公式和謂詞演算的合式公式定義6.8滿(mǎn)足下列條件的表達(dá)式，稱(chēng)為合式公式,簡(jiǎn)稱(chēng)公式。定義6.7：設(shè)P(x1,x2,x3,...xn)是n元謂詞，t1,t2,t3,...tn是項(xiàng),則P(t1,t2,t3,...tn)是原子謂詞公式，簡(jiǎn)稱(chēng)原子公式。原子公式是合式公式；若G，H是合式公式，則(┐G)、(┐H)、(G∨H)、(G∧H)、(G→H)、(GH)也是合適公式；若G是合式公式，x是個(gè)體變量，則(x)G、(x)G也是合式公式；僅僅有1)-2)產(chǎn)生的表達(dá)式才是合式公式。第19頁(yè)/共24頁(yè)1.6.5自由變?cè)图s束變?cè)犛颍壕o接于量詞之后最小的子公式定義6.9合式公式中的變?cè)獂若出現(xiàn)在以x為作用變?cè)牧吭~的轄域之內(nèi)，則稱(chēng)變?cè)獂的出現(xiàn)為約束出現(xiàn)，此時(shí)的變?cè)獂稱(chēng)為約束變?cè)?量)。若x的出現(xiàn)不是約束出現(xiàn)，則稱(chēng)它為自由出現(xiàn)，此時(shí)的變?cè)獂稱(chēng)為自由變?cè)?量)。轄域不是原子公式，其兩側(cè)壁有括號(hào)，否則不應(yīng)有括號(hào)第20頁(yè)/共24頁(yè)(y)(P(y,z)→Q(x,y))∨R(y).(x)(P(x)→Q(x)).(x)(P(x))→(y)(R(x,y))(x)(P(x)→R(x))∧(y)Q(x,y)例：分析自由變?cè)图s束變?cè)?1頁(yè)/共24頁(yè)例

在一階邏輯中將下列命題符號(hào)化:

沒(méi)有最大的自然數(shù)分析：該句話可理解為“對(duì)所有x，若x是自然數(shù)，則存在y，y也是自然數(shù)，且y>x”解：N(x)：x是自然數(shù)，G(x,y)：x>y，符號(hào)化為：

x(N(x)y(N(y)∧