概率與數(shù)理統(tǒng)計-例題講解課件

1PD create wit fww.dtfocry.i2.2.2連續(xù)型隨 設X~fX(x), 設YgX

求Y的概率密度fYy一般方 FY(y)P(Yy)P(g(X)y再轉(zhuǎn)化為X通常用FXx在某(y的復合函數(shù)y求導即得fYy).2PD create wit fww.dtfacry.i例1X~fX

(x) ,Y2X5,(1x2求YfY FY(y)P(Yy)P(2X5 y5

y5PX

2 2[F(y)] y51Fy52fY(y)

X

1

y5

1

2 X

2[1

y2

)2

4(y3PD create wit fww.dtfocry.i定理設X~fX

YkXb(k0),則Y的概率密

f(y)1

yb證明:設k

|k X F(y)P(Yy)P(kXby)

yb 1

yb1 yb X f(y)[F(y)]1Fyb1 yb

X

|k

X k0的情況4PD create wit fww.dtfocry.i例2設~U[0,1],31,求的概率密度f解

0x1,又31,

0 y1

1 0y1f(y)

3f

31

1y

其 其可知也服從均勻分布(在[14]區(qū)間上的5PD create wit fww.dffacry.i當YgX)是單調(diào)函數(shù)時fYy定理:X~fXx),YgX

(也可是無限區(qū)間ygx在(ab)內(nèi)單調(diào)可導且導數(shù)恒不為零ygx)的值域為(cdygx)的反函數(shù)為xhy),fXfX[h(y)]|h(y)| y(c,d則Y~

(y)

其(YkXb)是此定理的特例結果是一致的6PD create wit fww.dtfocry.i例3設X~fXx

,YeX(1x2

求Y的概率密

fY(解:yg(xex單調(diào)增可導,且其導數(shù)y(ex)ex其值域為y(0,xhylny且hy)1y當y0時, (y) [h(y)]|h(y)| 1 當y0時,fYy

(1ln2 f(yf(y)Y1y(1 2,yy7PD create wit fww.dtfacry.i例4設X~fXx),YlnX1(4xfXx

求YfY0x x解在(0,1)內(nèi),ygx)lnx單調(diào)增可導y1x其值域為y(其反函數(shù)為xh(y)ey 且h(y)ey3當y0時,fYyfX[hy)]|hy|1(4ey1e3當y0時,fYyfY(yfY(y)1ey(4ey3yy8PD create wit fww.dffacry.i例5X~U[1,2],YeX,求Y的概率密度fYy).(書例 X~ (x)

1x, 在[1,2]內(nèi),ygxex單調(diào)增可導,且其導數(shù)y(ex)ex0,其值域為y[ee2xhyln

且hy)1yyy當eye2時

fY(y)fX[h(y)]|h(y)|1f(y)1y,Yeye9PD create wit fww.dffocry.i例6設X~fXx),YX2fYy).其中fXx)(稱X服從標準正態(tài)分布Y解:FyP(YyPX2Y

x2當y0時,FYy

fY(y)[FY(y)]y當y0時FYyFX

X yyyyy)FX yyyyyyf(y)[F(y)]Fy

) F

)( y y

yyy 1yyy

0f(y)0f(y) Y 2yy22Y

fX )yyy2yyy

fX y)

2PD create wit fww.dtfacry.i例6設X~fXx),YX2fYy).其中fXx)

x 2或 FY(y)P(Yy)P(X2yy當y0時,FYy0,fYyyy當y0時,FYy

X

(y)[FY(y)]

yy2fXyy

fX(x)dxyy) y2

fX(x)yyyy

fX y

2 2f(yf(y) 0Y2e2yyPD create wit fww.dtfacry.i 量X的概率密度為f( F(x)是X的分布函數(shù),且F(x)嚴格單調(diào)求 量YF(X)的概率密度fY(解:FYyP(Yy)P(FX當y

fY(y)

(y)]

0yyy

時FYy

fY(y)

[FY(y)]

0y當0y1時y

FY(y)

P(F(X)y)P(X

1(yF[F1(y)]yyfY(y)[FY(y)]y

1,即Y~Uf(y)1,Y0yPD create wit fww.dtfacry.i 量及其分 量函數(shù)的分 量的數(shù)字特重要的離重要PD create wit fww.dtfocry.i隨量的數(shù)字特矩PD create wit fww.dtfocry.i面的討論中,我們知道隨量的分布能夠較完整地描述隨量,然而有時隨量的分布不易求,另一方面在許多情況下也不需要求其一切概率性質(zhì),而只需要知道它的某些數(shù)字特征(用數(shù)字表示隨量的特點).在這些數(shù)字特征中最常用的是數(shù)學期望、方差

PD create wit fww.dtfacry.i以前先看一個例子:某射手向一目標射擊,每次得分X是一個隨 得分1234平均得分數(shù)為:1102303404 1102303404202.7分 4(xipi4i

稱xipi)為X4i4PD create wit fww.dffocry.i P(Xxi)若xipi絕對收斂

(i1,2 ),即|xi|pi收斂 稱級 xipi為X的數(shù)學期望i簡稱期望或均值(平均數(shù)記為EX或EX即有EXxipii

若xipi不是絕對收斂的,即|xi|pi發(fā)散 稱X的期望不存在定義:X~f(x),若xfx)dx絕對收斂 稱積分xfx)dx為X的數(shù)學期望,記為EX即有EX xf(x)dx否則EX不存在

EX存在EX是一個確定的PD create wit fww.dffocry.i例1設X服從參數(shù)為p的01分布求EXX01X01PqpEXxipi0q1ppi123P123P例2:甲乙兩名射手在一次射 分布律如下表所示123P123P解 EiiEii

10.420.130.510.120.630.32.2PD create wit fww.dffocry.i

e1000e

x例3:某種電子元件使 X~f(x) 0

x 在500小時以下為廢品,產(chǎn)值為0元; 小時之間為次品,產(chǎn)值為10元; 設Y表示產(chǎn)值則Y取值為0,10,30,40

500

P(Y0)P(X500)

f(x)dx

1000dx1 P(Y10)P(500X1000)

f(x)dx

1000e1000

0.5

1類似可得:P(Y30)e1e1.5 P(Y40)e1.5EYyipi0(1e0.5)10(e0.5e1)30(e1e1.5)40i15.65(元PD create wit fww.dtfacry.i例4:設X的概率分布為

P(X

i

(i EX

( i i證明:xipi i

(1)

收斂i

i|xp|

ii而ii

i

EX不存在例5設X~U[ab],求EX X~f(x)

ax b

[a,b] EXxf(x)dxbx

dx

x2 ab

b

b a PD create wit fww.dffacry.i

ax

0x1EX7例6:X~fx)

求ab的值并求XF

解: f(x)

0(axb)dx

x

2b

1ab EX

xf(x)dx

0x(ax

(3 2x)

x1 0x由(1),(2)得a1,b2 X~f(x) 當x0時,F(x) f(t)dt

2當0x1時,F(x) f(t)

x

1)

xx當x1時,Fx

xf(t)dtx

1(t

F(x)F(x)x02x0xxPD create wit fww.dffocry.i

E(a)(a,b為常數(shù) E(Xb)E(X)EkgXkE[gX(k為常數(shù)E[gXh(XE[gX)]E[hX)](可推廣到有限個證明:(1)設X是離散型 P(Xxi) (i1,2 ),設YaXb則EYyipi(axi aEX

b)piaxipib 設X是連續(xù)型 量,且X fX(設YaXb則EYaEXb.(略PD create wit fww.dtfacry.i性質(zhì)(1)告訴我們?nèi)绾卫肵XYaXb的期望,對于一般函數(shù)Yg(X)的期望,可通過下定理得到:(隨 定理:設X是 Yg(X),且E[g(X)]存在若X是離散型的 P(Xxi) (n1,2 ),則

g(xi)E[g(Xg(x)g(x)f(x)dxE[g(X一般計算X的函數(shù)Y的期望時, 如按定義須先由X的分布求出Y=g(X)的分布,這一步往往比較麻煩,而由上定理則不必求出Y的分布,而直接由X的分布代入上二式即可求出E(Y PD create wit fww.dtfocry.iX01X012P111 量X的概率分布為求EX),E(3X2),EX22),E(eX解:EXxp0111213i iE(3X2)3EX233217 E(X

2)(x

2)

(022) (122)

2) e

11ee2 )i

e2e4e

一般EgXg[EX但當gXaXb時成立PD