2023屆山東省淄博市部分學校高三上學期12月教學質(zhì)量摸底檢測數(shù)學試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆山東省淄博市部分學校高三上學期12月教學質(zhì)量摸底檢測數(shù)學試題一、單選題1．已知，i是虛數(shù)單位，且是純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算得到，再由純虛數(shù)的概念得到，結合復數(shù)的模的定義即可求解.【詳解】因為，是虛數(shù)單位，所以，又是純虛數(shù)，則，解得：，所以，故選：A.2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先分清楚集合，然后再進行集合的運算即可.【詳解】對于集合：；對于集合：；故選：C3．已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，，則公比（

）A． B．2或 C． D．或【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，代入解方程即可.【詳解】因為等比數(shù)列的通項公式所以,，又因為，即所以.故選：B4．已知角α的頂點與坐標原點O重合，角的始邊與x軸非負半軸重合，點P是α的終邊與單位圓的交點．若在x軸上的投影向量的坐標為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由投影向量的坐標可得點P橫坐標，根據(jù)三角函數(shù)的定義，求得，二倍角公式求出.【詳解】若在x軸上的投影向量的坐標為，則點P橫坐標為，點P是α的終邊與單位圓的交點，有，∴.故選：B5．若命題p：“，”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式求實數(shù)a的取值范圍.【詳解】由題可知，，則有，因為，所以，因為，當且僅當即時等號成立，所以，故選:C.6．函數(shù)與函數(shù)的圖象交于不同的兩點，.若點滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)函數(shù)和函數(shù)的奇偶性得到和兩點關于原點對稱，再利用這個結論結合得到含有和這兩個未知量的等式，再利用基本不等式求最值即可.【詳解】因為是一次函數(shù)，且函數(shù)圖象過原點，所以的圖象關于原點對稱，為奇函數(shù)，函數(shù)的定義域為，關于原點對稱，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)的圖象關于原點對稱.又因為函數(shù)與函數(shù)的圖象交于不同的兩點和，所以和關于原點對稱，設，則，因為，所以，，所以，因為，所以，即，因為，所以，當且僅當時等號成立.故選：A.7．已知定義在R上的函數(shù)和，導函數(shù)的定義域也為R．若為偶函數(shù)，，，則下列不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】容易分析知在軸兩側的一段區(qū)域內(nèi)單調(diào)性相反，；再經(jīng)過賦值法可以依次判斷ACD是否正確.【詳解】依題意：為偶函數(shù)，導函數(shù)的定義為R，，B對；令代入A對；又又，D對；又為偶函數(shù)，為奇函數(shù)；由又，也為周期為4的函數(shù)，C錯；故選：C8．已知，，，則下列關系式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】構造新的函數(shù)，，，，求導判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可比較大小.【詳解】設函數(shù)，則，當時，，所以在上單調(diào)遞增，當時，，即，所以.設函數(shù)，，則，所以在上單調(diào)遞減，當時，，所以當時，，即，所以.設，，則，當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以當時，，即，，所以，所以，故.故選：D二、多選題9．已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖，則（

）A．函數(shù)解析式B．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度可得函數(shù)的圖象C．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸D．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2【答案】BC【分析】根據(jù)圖像得到解析式，利用函數(shù)的性質(zhì)進項判斷各選項即可.【詳解】由題圖知：，函數(shù)的最小正周期滿足，即，則，所以函數(shù)．將點代入解析式中可得，即，則，得，因為，所以，因此，故A錯誤；將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度可得函數(shù)的圖像，故B正確；由，當時，，故C正確；當時，，所以，即，即最大值為，故D錯誤．故選：BC．10．甲盒子中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙盒子中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲盒子中隨機取出一球放入乙盒子，分別以，和表示由甲盒子取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙盒子中隨機取出一球，以表示由乙盒子取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是（

）A．，，是兩兩互斥的事件 B．C．事件與事件相互獨立 D．【答案】AD【分析】根據(jù)的意義可求其概率，從而可判斷D的正誤，根據(jù)全概率公式可計算，故可判斷B的正誤，根據(jù)獨立事件的乘法公式和互斥事件的定義可判斷AC的正誤.【詳解】，又，故D正確.故，故B錯誤.，故，所以事件與事件不相互獨立，故C錯誤，根據(jù)互斥事件的定義可得兩兩互斥，故A正確.故選：AD11．下列命題是真命題的有（

）A．分層抽樣調(diào)查后的樣本中甲、乙、丙三種個體的比例為3：1：2，如果抽取的甲個體數(shù)為9，則樣本容量為30B．某一組樣本數(shù)據(jù)為125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[114.5，124.5]內(nèi)的頻率為0.4C．甲、乙兩隊隊員體重的平均數(shù)分別為60，68，人數(shù)之比為1：3，則甲、乙兩隊全部隊員體重的平均數(shù)為67D．一組數(shù)6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位數(shù)為5【答案】BD【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)判斷A選項；利用落在區(qū)間內(nèi)的個數(shù)除以總數(shù)計算概率，即可判斷B選項；由甲、乙兩隊的人數(shù)比，計算出兩隊在所有隊員中的所占權重，然后利用平均數(shù)的計算公式，即可判斷C選項；由百分位數(shù)的性質(zhì)，即可判斷D選項.【詳解】對于選項A：根據(jù)樣本的抽樣比等于各層的抽樣比，樣本容量為，故選項A錯誤；對于選項B：樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間內(nèi)的有120，122，116，120共4個，所以樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間內(nèi)的頻率為，故選項B正確；對于選項C：甲、乙兩隊的人數(shù)之比為，則甲隊隊員在所有隊員中所占權重為，乙隊隊員在所有隊員中所占權重為，則甲、乙兩隊全部隊員體重的平均數(shù)為，故選項C錯誤；對于選項D：將該組數(shù)據(jù)從小到大排列為：1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，由，則該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是第9個數(shù)，該數(shù)為5，故選項D正確.12．小明和小童兩位同學玩構造數(shù)列小游戲,規(guī)則是:首先給出兩個數(shù)字1,10,然后小明把兩數(shù)之積插入這兩數(shù)之間得到第一個新數(shù)列1,10,10,再然后小童把每相鄰兩項的積插入此兩項之間,得到第二個新數(shù)列1,10,10,100,10,如此下去,不斷得到新數(shù)列．假設第n個新數(shù)列是:記:,則下列結論成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)數(shù)列的新定義,寫出前4項,即可判斷選項AD的正誤,再根據(jù)新定義找到項數(shù),,與第幾個數(shù)列之間的關系,利用數(shù)學歸納法即可判斷選項B的正誤,根據(jù)和之間的聯(lián)系即可得到選項C的正誤.【詳解】解:由題可知:第一個新數(shù)列為:1,10,10,項數(shù)為:3,,第二個新數(shù)列1,10,10,100,10,由于第二個新數(shù)列的得到是第一個數(shù)列的基礎上,相鄰兩項積插入,故項數(shù)為:,,第三個新數(shù)列1,10,10,100,10,1000,100,1000,10,故項數(shù)為:,,第四個新數(shù)列1,10,10,100,10,1000,100,1000,10,10000,1000,100000,100,100000,1000,10000,10,故項數(shù)為:,,故選項A正確;不妨記第個數(shù)列時，為,當時,即第一個數(shù)列時,滿足,不妨假設當時,即第個數(shù)列時滿足,且數(shù)列有項,則當時,即第個數(shù)列時,數(shù)列的項數(shù)有項,此時,滿足,故選項B正確;由于新數(shù)列是將兩數(shù)之積插入這兩數(shù)之間得到,且,故在中比多出來的部分需要乘2次,需要乘一次,再加上乘以,故有,即,故選項C正確;由選項A中可知:,,故選項D錯誤.故選:ABC三、填空題13．已知函數(shù)是定義在上的周期為2的奇函數(shù)．當時，，則______．【答案】【分析】根據(jù)解決即可.【詳解】由題知，函數(shù)是定義在上的周期為2的奇函數(shù)，所以因為當時，，所以，，所以.故答案為：14．已知,且,則______.【答案】【分析】根據(jù)已知條件和同角三角函數(shù)基本關系式求出,的值,因為,利用兩角差的正切公式即可求解.【詳解】,,又,,則,.故答案為:.15．的展開式中，項的系數(shù)為35，則實數(shù)a的值為______．【答案】或3【分析】根據(jù)二項式定理的通項公式，分別求出含有項的系數(shù)，利用系數(shù)為35，列出方程即可求解.【詳解】解：由二項式定理的通項可得，，，，因為項的系數(shù)為35，所以，整理得，解得或，故答案為：或3.16．設，，若關于x的方程恰有三個不同的實數(shù)解，，，且，則的值為______．【答案】##【分析】設，，由得其為偶函數(shù)，則根據(jù)解的情況得，，，再對x分類討論去絕對值，求解，即可解出a，b，得出的值.【詳解】設，，則，∴為偶函數(shù)，則恰有三個不同的實數(shù)解，，，結合偶函數(shù)對稱性，顯然，，則，以下討論上性質(zhì)確定：當，；當，單調(diào)遞增，由得：，則，聯(lián)立，解得，故.故答案為：四、解答題17．為了解患某種疾病A與某種生活習慣B是否有關．某社區(qū)所在地隨機調(diào)查了500位居民，結果如下：有疾病A病歷無疾病A病歷有生活習慣B40160無生活習慣B30270(1)估計該地區(qū)居民中，有疾病A病歷的比例；(2)根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析有生活習慣B是否會增加患某種疾病A的風險．附：，α0.0500.010.0013.8416.63510.828【答案】(1)(2)答案見解析.【分析】對于（1），利用500人中有疾病A的比例，估計該地區(qū)居民中有疾病A病歷的比例；對于（2），由表中數(shù)據(jù)計算出，比較與6.635大小即可得答案.【詳解】（1）在500人中，有70人有疾病A病歷，則估計該地區(qū)居民中有疾病A病歷的比例為：.（2）由表中數(shù)據(jù)，.故在犯錯幾率不超過的前提下，可以認為有生活習慣B會增加患某種疾病A的風險．18．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若．(1)求的值；(2)若，求cosB的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用數(shù)量積定義式，整理等式，利用余弦定理以及正弦定理，可得答案；（2）根據(jù)余弦定理整理等式，求得，利用同角平方式，結合誘導公式以及余弦和角公式，可得答案.【詳解】（1）由，則，設，則，根據(jù)余弦定理，可得，化簡可得，根據(jù)正弦定理可得：，則.（2）由，根據(jù)余弦定理，可得，整理可得，則，，由，則，由，則，根據(jù)正弦定理，可得，即，故，.19．已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若，討論的單調(diào)性．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）先將代入得到，并求出的值，再利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程的斜率，然后通過直線的點斜式方程即可寫出切線方程.（2）先求出的導函數(shù)并進行因式分解，可得到一個含參的二次式，然后對參數(shù)進行分類討論即可得到函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】（1）因為，所以，所以，因為，所以切線方程的斜率為，又因為切線方程過點，所以切線方程為，即，故當時，曲線在點處的切線方程為.（2）因為的定義域為，，令，解得或，當時，即，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；當，即時，令，解得或，所以函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，令，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當，即時，令，解得或，所以函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，令，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.綜上所述，當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.20．已知數(shù)列,.(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;(2)若,數(shù)列,記數(shù)列的前2n項和為,求.【答案】(1)見解析過程(2)【分析】(1)由已知結合等差中項的定義證明即可;(2)根據(jù)(1)得到,代入可得數(shù)列的通項公式,再根據(jù)裂項求和的方法和等比數(shù)列求和公式即可得到結果.【詳解】（1）由①,得②,②①得:,即,數(shù)列為等差數(shù)列.（2）設數(shù)列的公差為,當時,,又,且數(shù)列為等差數(shù)列,,,,則.21．世界杯期間，明星隊和火車頭隊相遇，雙方要打n（n為奇數(shù)）場比賽，某球隊至少有一半的場次贏球即為戰(zhàn)勝對方球隊，其中明星隊每場贏球的概率為，各場比賽間相互獨立．(1)若，，估計明星隊贏球多少場；(2)對任意的正整數(shù)k，找出p的范圍使得比對明星隊更合算．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二項分布可求估計明星隊贏球場；（2）令表示“明星隊在場比賽中贏球的場數(shù)”，表示場比賽中明星隊戰(zhàn)勝對方球隊，表示場比賽中明星隊戰(zhàn)勝對方球隊，則可由題設得到，再根據(jù)可求的范圍.【詳解】（1）設明星隊贏球場數(shù)為，由題設由，故，故估計明星隊贏球場.（2）令表示“明星隊在場比賽中贏球的場數(shù)”，表示場比賽中明星隊戰(zhàn)勝對方球隊的概率，表示場比賽中明星隊戰(zhàn)勝對方球隊的概率，其中，在場比賽中比賽中，明星隊戰(zhàn)勝對方球隊，由以下3個互斥事件構成：（?。唬áⅲ?，且余下兩場比賽中，明星隊至少勝一場；（ⅲ），且余下兩場比賽中，明星隊全勝；故，所以，若，則.故當時，有對任意的正整數(shù)k，使得比對明星隊更合算．22．已知函數(shù)，．(1)若，函數(shù)恒成立，求a的取值范圍；(2)證明：對，．【答案】(1)；(2)證明見解析．【分析】（1）求出導函數(shù)，分類討論確定的正負得函數(shù)單調(diào)性，由函數(shù)在上的最小值不小于0即可得；（2）在（1）的討論中得出，時，，