2023屆山東省新高考聯(lián)合質(zhì)量測(cè)評(píng)高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages44頁(yè)2023屆山東省新高考聯(lián)合質(zhì)量測(cè)評(píng)高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則集合的子集個(gè)數(shù)為（

）．A．1 B．2 C．4 D．8【答案】D【分析】解不等式求出，求出值域得到，從而求出交集及子集個(gè)數(shù).【詳解】，解得：，所以，其中，所以，所以．所以的子集個(gè)數(shù)是.故選：D．2．復(fù)數(shù)，則（

）．A． B．2 C．4 D．8【答案】A【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式計(jì)算即可得解.【詳解】解：，所以.故選：A．3．設(shè)，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)切化弦公式及逆用二倍角公式求解即可．【詳解】解：，故選：C．4．在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（

）．A．10 B．15 C．20 D．30【答案】B【分析】問(wèn)題可以看作5個(gè)括號(hào)中分別選取的不同選法的組合問(wèn)題，利用組合知識(shí)求解即可.【詳解】根據(jù)組合可知，展開(kāi)式中含項(xiàng)為：，所以含項(xiàng)的系數(shù)為15，故選：B．5．已知在三棱錐中，平面，為等腰直角三角形，且，，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作平行于底面的截面，那么三棱臺(tái)的體積等于（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，，，，相減后得到三棱臺(tái)的體積.【詳解】因?yàn)槠矫?，且平面平面ABC，，，所以，，，，，，所以.故選：B．6．若，則的大小關(guān)系為（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)與判斷即可．【詳解】解：令，則，在上單調(diào)遞增，，令，則，由得，遞增；由得，遞減，，．，故選：A．7．若點(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，且是直線上一點(diǎn)，，則的最小值是（

）．A．2 B．1C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算確定G的位置，可得B、H、D三點(diǎn)共線，利用三點(diǎn)共線得，再由不等式求最值即可.【詳解】設(shè)，，因?yàn)椋?，，所以點(diǎn)G是的重心，設(shè)點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，則，B、G、D共線，如圖，又．因?yàn)锽、H、D三點(diǎn)共線，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，即的最小值是.故選：C．8．已知函數(shù)，對(duì)任意，存在，使，則的最小值為（

）．A．1 B．C． D．【答案】D【分析】令，將都用表示，從而可將構(gòu)造出關(guān)于的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可.【詳解】解：由題意，令，則，，所以，，，令，所以，令，得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，即的最小值為.故選：D．二、多選題9．黨的二十大報(bào)告從16個(gè)方面概括了我國(guó)十年來(lái)的偉大變革，報(bào)告指出，“我們提出并貫徹新發(fā)展理念，著力推進(jìn)高質(zhì)量發(fā)展，推動(dòng)構(gòu)建新發(fā)展格局，實(shí)施供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革，制定一系列具有全局性意義的區(qū)域重大戰(zhàn)略，我國(guó)經(jīng)濟(jì)實(shí)力實(shí)現(xiàn)歷史性躍升，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值從五十四萬(wàn)億元增長(zhǎng)到一百一十四萬(wàn)億元，我國(guó)經(jīng)濟(jì)總量占世界經(jīng)濟(jì)的比重達(dá)百分之十八點(diǎn)五，提高七點(diǎn)二個(gè)百分點(diǎn)，穩(wěn)居世界第二位；人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值從三萬(wàn)九千八百元增加到八萬(wàn)一千元．谷物總產(chǎn)量穩(wěn)居世界首位，制造業(yè)規(guī)模、外匯儲(chǔ)備穩(wěn)居世界第一．”下圖是某地區(qū)2012年一2021年人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（人均GDP）及同比增長(zhǎng)率變化情況，則下列說(shuō)法正確的是（

）．A．2020年受到疫情影響，該地區(qū)人均GDP增長(zhǎng)減緩B．2012年至2021年該地區(qū)人均GDP的80％分位數(shù)為69901C．2012年至2021年該地區(qū)人均GDP同比增長(zhǎng)率的平均值在以上D．根據(jù)圖表和二十大報(bào)告可推測(cè)該地區(qū)十年的人均GDP的極差低于全國(guó)【答案】ACD【分析】用樣本估計(jì)總體思想，結(jié)合圖解決.【詳解】由圖可知2020年該地區(qū)人均CDP同比增長(zhǎng)率有所下降，但GDP依然增加，所以A正確．2012年至2021年該地區(qū)人均GDP的80％分位數(shù)為，所以B不正確．2012年至2021年該地區(qū)人均GDP同比增長(zhǎng)率的平均值為：，所以C正確（也可以直接觀察判斷）．2012年至2021年該地區(qū)人均GDP極差，所以D正確．故選：ACD．10．關(guān)于函數(shù)有如下四個(gè)命題，則下列選項(xiàng)正確的是（

）．A．的圖象關(guān)于軸對(duì)稱B．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．的周期是【答案】BC【分析】選項(xiàng)A和選項(xiàng)B可通過(guò)函數(shù)的奇偶性進(jìn)行判斷；選項(xiàng)C可通過(guò)將向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后是否為奇函數(shù)進(jìn)行判斷；選項(xiàng)D可通過(guò)周期函數(shù)的定義進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A和選項(xiàng)B，由已知，的定義域?yàn)?，，都有，且，∴為奇函?shù)，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，則，的定義域與定義域相同，均為，，都有，且，∴為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，，∴不是的周期，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：BC.11．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)為線段（包含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）．A．三棱錐的體積為定值B．在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在某個(gè)位置使得平面C．截面三角形面積的最大值為D．當(dāng)三棱錐為正三棱錐時(shí)，其內(nèi)切球半徑為【答案】AC【分析】對(duì)于A，證明平面，從而可得上所有點(diǎn)到平面的距離不變，即可判斷；對(duì)于B，假設(shè)平面BQC，從而可得，，即可判斷；對(duì)于C，要使截面三角形面積的最大，只要Q到BC的距離最大，過(guò)Q作于F，過(guò)F作于G，連接QG，求出的最大值即可；對(duì)于D，利用等體積法求解即可.【詳解】解：A.，而為定值．連接，因?yàn)榍?，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，所以上所有點(diǎn)到平面的距離不變，所以三棱錐的高不變，所以為定值，故A正確；B．若平面BQC，平面BQC，則，又，所以，不正確，故B錯(cuò)誤；C．因?yàn)锽C為定值，所以只要Q到BC的距離最長(zhǎng)，過(guò)Q作于F，過(guò)F作于G，連接QG，因?yàn)椋?，又平面，所以平面，又平面，則，要使QG最長(zhǎng)，只需QF最長(zhǎng)，即Q點(diǎn)在時(shí)，最長(zhǎng)，此時(shí)，故C正確，D．當(dāng)Q在A點(diǎn)時(shí)，為正三棱錐，設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，由等體積法，所以，所以，故D錯(cuò)誤．故選：AC.12．已知奇函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，則下列選項(xiàng)正確的是（

）．A．為非奇非偶函數(shù)B．C．D．【答案】BCD【分析】由函數(shù)的奇偶性定義判斷出為奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；賦值法得到，結(jié)合奇偶性得到，聯(lián)立后求出，B正確；將變形為，令，則，結(jié)合是奇函數(shù)，得到是一個(gè)周期為4的周期函數(shù)，得到，求出，C正確；對(duì)求導(dǎo)，得到，賦值法得到，，結(jié)合的周期性與奇偶性得到的周期性和奇偶性，得到.【詳解】由已知有為R上的奇函數(shù)，所以，故的定義域?yàn)镽，且，故為奇函數(shù)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由已知有：恒成立，令時(shí)，①，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故，令時(shí)，②，由①②解得：，，故B選項(xiàng)正確；由已知有：恒成立，即恒成立，令，則恒成立，由A選項(xiàng)知是奇函數(shù)，故，故，即，所以，所以是一個(gè)周期為4的周期函數(shù)，則，所以，故C選項(xiàng)正確；由已知有：在R上可導(dǎo)，對(duì)求導(dǎo)有：，即，令時(shí)，，則，因?yàn)椋裕忠驗(yàn)槭瞧婧瘮?shù)，故是偶函數(shù)，所以，因?yàn)槭且粋€(gè)周期為4的周期函數(shù)，所以也是一個(gè)周期為4的周期函數(shù)，以下是證明過(guò)程：假設(shè)為周期為的函數(shù)，則，所以為周期為的函數(shù)，故，故D選項(xiàng)正確．故選：BCD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：設(shè)函數(shù)，，，．（1）若，則函數(shù)的周期為2a；（2）若，則函數(shù)的周期為2a；（3）若，則函數(shù)的周期為2a；（4）若，則函數(shù)的周期為2a；（5）若，則函數(shù)的周期為；（6）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線與對(duì)稱，則函數(shù)的周期為；（7）若函數(shù)的圖象既關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的周期為；（8）若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的周期為；（9）若函數(shù)是偶函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的周期為2a；（10）若函數(shù)是奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的周期為4a．三、填空題13．已知，則_______．【答案】##-0.8【分析】對(duì)兩邊平方求出，結(jié)合誘導(dǎo)公式求出答案.【詳解】因?yàn)?，兩邊平方得：所以．所以．故答案為?4．有形狀完全相同的4個(gè)白球和4個(gè)紅球，若一個(gè)袋中放有3個(gè)白球和2個(gè)紅球，另一個(gè)袋中放有1個(gè)白球和2個(gè)紅球，任選一個(gè)袋子取出一球，則恰好取出的是白球的概率為_(kāi)_______．【答案】【分析】根據(jù)互斥事件和的概率等于互斥事件概率的和求解即可．【詳解】解：設(shè)A表示選擇其中有3白球、2紅球的袋子，B表示取出白球，則，．故答案為：．15．在數(shù)列中，，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為_(kāi)_______．【答案】230【分析】根據(jù)遞推公式得到從第一項(xiàng)起，依次相鄰兩奇數(shù)項(xiàng)的和為2，從第二項(xiàng)起，依次相鄰兩偶數(shù)項(xiàng)的和組成以12為首項(xiàng)，16為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而分組求和即可.【詳解】因?yàn)?，所以有：，，，，，，，…由此可得出：，，，，…，所以從第一?xiàng)起，依次相鄰兩奇數(shù)項(xiàng)的和為2，從第二項(xiàng)起，依次相鄰兩偶數(shù)項(xiàng)的和組成以12為首項(xiàng)，16為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列的前20項(xiàng)和為：．故答案為：23016．若存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【分析】原不等式轉(zhuǎn)化為存在，成立，令，由導(dǎo)數(shù)可知函數(shù)為增函數(shù)，據(jù)此可得，轉(zhuǎn)化為成立，分離參數(shù)求的最小值即可.【詳解】由題意：存在，使得不等式成立，即成立，即成立，令，，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以只需時(shí)，有成立，即成立，令，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以的最小值為e．所以a的取值范圍是．故答案為：四、解答題17．在銳角中，角的對(duì)邊分別為，且滿足．(1)求角的大?。?2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，結(jié)合兩角和的正弦公式及三角形內(nèi)角關(guān)系即可得出答案；（2）利用正弦定理將所求邊為角的形式，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，即，即，又，所以，因?yàn)?，所以；?），因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，所以，所以，即的取值范圍為．18．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求解.（2）判斷函數(shù)在上單調(diào)性，然后觀察零點(diǎn).【詳解】（1）因?yàn)椋?，，所以切線方程為，即所求切線方程為．（2）．因?yàn)?，所以，，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以在上是減函數(shù)，且，所以在上僅有一個(gè)零點(diǎn)．19．已知數(shù)列滿足，且，數(shù)列滿足，設(shè)的前項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；求數(shù)列的前項(xiàng)和；(2)設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為對(duì)恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）對(duì)變形得到，得到是等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求和；（2）得到，利用錯(cuò)位相減法求出，判斷出在上單調(diào)遞增，求出，得到不等式，求出的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以（常?shù)），故數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，所以，故．因?yàn)?，所以．?）．所以，所以，兩式相減得，，所以．由，知在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得.20．已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，為等腰直角三角形，且分別為和的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)．(1)證明：；(2)當(dāng)為何值時(shí)，直線與平面所成線面角的正弦值為．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)或【分析】（1）根據(jù)證明即可．（2）根據(jù)線面角的正弦等于線法角的余弦絕對(duì)值列式計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：為等腰直角三角形，且，．又∵三棱柱為直三棱柱，平面ABC．分別以向量，，的正方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，為中點(diǎn)，連接，則，，，，，，，．（2）解：設(shè)，則，．，，，BC，平面，平面，是平面的一個(gè)法向量且．∵直線DE與平面所成的線面角的正弦值為，，化簡(jiǎn)得：且，或，即或．21．某公司在一種傳染病毒的檢測(cè)試劑品上加大了研發(fā)投入，其研發(fā)的檢驗(yàn)試劑品分為兩類(lèi)不同劑型和．現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行兩次檢測(cè)，第一次檢測(cè)時(shí)兩類(lèi)試劑和合格的概率分別為和，第二次檢測(cè)時(shí)兩類(lèi)試劑和合格的概率分別為和．已知兩次檢測(cè)過(guò)程相互獨(dú)立，兩次檢測(cè)均合格，試劑品才算合格．(1)設(shè)經(jīng)過(guò)兩次檢測(cè)后兩類(lèi)試劑和合格的種類(lèi)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若地區(qū)排查期間，一戶4口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員逐一使用試劑品進(jìn)行檢測(cè)，如果有一人檢測(cè)呈陽(yáng)性，則檢測(cè)結(jié)束，并確定該家庭為“感染高危戶”．設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率均為且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測(cè)了3個(gè)人才確定為“感染高危戶”的概率為，若當(dāng)時(shí)，最大，求的值．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，1(2)．【分析】（1）先得到劑型與合格的概率，求出X的所有可能取值及相應(yīng)的概率，得到分布列，求出期望值；（2）求出，令，得到，利用基本不等式求出最值，得到答案.【詳解】（1）劑型合格的概率為：；劑型合格的概率為：．由題意知X的所有可能取值為0，1，2．則，，，則X的分布列為X012P數(shù)學(xué)期望．（2）檢測(cè)3人確定“感染高危戶”的概率為，檢測(cè)4人確定“感染高危戶”的概率為，則．令，因?yàn)?，所以，原函?shù)可化為．因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．此時(shí)，所以．22．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值．(2)若有三個(gè)極值點(diǎn)，且，①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②證明：．【答案】(1)極小值為，無(wú)極大值(2)①；②證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷其正負(fù)，確定函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最小值；（2）①當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，說(shuō)明不