七年級數(shù)學平行線的性質(zhì)與判定的證明練習題及答案

平行線的性質(zhì)與判定的證明

練習題溫故而知新：.平行線的性質(zhì)(1)兩直線平行，同位角相等；(2)兩直線平行，內(nèi)錯角相等;(3)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補..平行線的判定(1)同位角相等，兩直線平行;(2)內(nèi)錯角相等，兩直線平行；(3)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行互補.例1已知如圖2-2,AB〃CD〃EF,點M,N,P分別在AB,CD,EF上,NQ平分/MNP.(1)若乙AMN=60°,4EPN=80°,分別求4MNP,4DNQ的度數(shù)；解析：根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等及角平分線定義求解.Word資料(標注/MND=4AMN,4DNP=4EPN)答案：(標注/MND=4AMN=60°,ZDNP=ZEPN=80°)解：(1)?「AB〃CD〃EF,/.ZMND=ZAMN=60°,ZDNP=ZEPN=80°,/.ZMNP=ZMND+ZDNP=60°+80°=140°,又NQ平分心MNP,1 1/.ZMNQ=4MNP=x140°=70°,2 2/.ZDNQ=ZMNQ-ZMND=70°-60°=10°,「.△MNP,4DNQ的度數(shù)分別為140°,10°.(下一步)(2)(標注/MND=4AMN,4DNP=4EPN)由(1)得/MNP=4MND+乙DNP=4AMN+/EPN,1 1/.ZMNQ=4MNP=(ZAMN+ZEPN),2 2/.ZDNQ=ZMNQ-ZMND1=^(ZAMN+ZEPN)-4AMN1二一(ZEPN-ZAMN),2即2ZDNQ=ZEPN-ZAMN.小結(jié)：在我們完成涉及平行線性質(zhì)的相關(guān)問題時，注意實現(xiàn)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角之間的角度轉(zhuǎn)Word資料換，即同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補.例2如圖，/AGD二4ACB,CD，AB,EF，AB,證明：41二42.三占 卜C解析：(標注：41=42=4DCB,DG〃BC,CD〃EF)答案：(標注：41=42=4DCB)證明：因為乙AGD=4ACB,所以DG〃BC,所以41=4DCB,又因為CD±AB,EF±AB,所以CD〃EF,所以42=4DCB,所以乙1二42.小結(jié)：在完成證明的問題時，我們可以由角的關(guān)系可以得到直線之間的關(guān)系，由直線之間的關(guān)系也可得到角的關(guān)系.例3(1)已知：如圖2-4①，直線AB〃ED,求證：/ABC+4CDE=4BCD；(2)當點C位于如圖2-4②所示時，/ABC,4CDE與4BCD存在什么等量關(guān)系？并證明.Word資料圖① 圖②解析：動畫過點C作CF〃AB由平行線性質(zhì)找到角的關(guān)系.(標注/1=4ABC,42=4CDE)A. 答案：證明：如圖，過點C作CF〃AB,??直線AB〃ED,?.AB〃CF〃DE,/.Z1=ZABC,Z2=ZCDE.,ZBCD=Z1+Z2,/.ZABC+ZCDE=ZBCD；(2)解析：動畫過點C作CF〃AB,由平行線性質(zhì)找到角的關(guān)系.(標注/ABC+41=180°,42+4CDE=180。)Word資料答案：/ABC+4BCD+4CDE=360°.證明：如圖，過點C作CF〃AB,??直線AB〃ED,?.AB〃CF〃DE,/.ZABC+Z1=180°,Z2+ZCDE=180°.,ZBCD=Z1+Z2,/.ZABC+ZBCD+ZCDE=360°.小結(jié):在運用平行線性質(zhì)時，有時需要作平行線，取到橋梁的作用，實現(xiàn)已知條件的轉(zhuǎn)化.例4如圖2-5,一條公路修到湖邊時，需繞道，如果第一次拐的角ZA是120°,第二次拐的角4B是150°,第三次拐的角是乙C,這時的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，那么4C應(yīng)為多少度？解析：動畫過點B作BD〃AE,Word資料答案：解：過點B作BD〃AE「.?AE〃CF,/.AE#BD#CF,aZA=Z1,Z2+ZC=180°-/ZA=12QO,Z1+Z2=ZABC=15Q°,??22=30°,/.ZC=18Q°-3Q°=15Q°.小結(jié)：把關(guān)于角度的問題轉(zhuǎn)化為平行線問題，利用平行線的性質(zhì)與判定予以解答.舉一反三：1.如圖2-9,FG〃HI,則4x的度數(shù)為（ ）A.6Q°B,72°C,90°D,100°Word資料解析：/AEG=180°-120°=60°,由夕卜凸角和等于內(nèi)凹角和有60°+30°+30°=x+48°,解得x=72°.答案:B.2,已知如圖所示，AB〃EF〃CD,EG平分/BEF,4B+4BED+4D=192°,4B-4D=24°,求/GEF的度數(shù).解析：解:???AB〃EF〃CD,/.ZB=ZBEF,ZDEF=ZD./ZB+ZBED+ZD=192°,即/B+/BEF+/DEF+ZD=192°,/-2(ZB+ZD)=192°,BPZB+ZD=96°./ZB-ZD=24°,.??/B=60°,即/BEF=60°.??EG平分/BEF,???/GEF=1/BEF=30°.Word資料3.已知：如圖2-10,AB〃EF,BC〃ED,AB,DE交于點G.求證：4B=4E.解析：標注AB〃EF,BC〃ED答案：證明：???AB〃EF,/.ZE=ZAGD.???BC〃ED,/.ZB=ZAGD,/.ZB=ZE.例5如圖2-6,已知AB〃CD,試再添上一個條件，使41=/2成立，并說明理由.解析：標注AB〃CD,41二42答案：方法一：（標注CF〃BE）解：需添加的條件為CF〃BE,理由：???AB〃CD,Word資料/.ZDCB=ZABC.???CF〃BE,/.ZFCB=ZEBC,/.Z1=Z2；方法二：(標注CF,BE,41=42=4DCF=4ABE)解：添加的條件為CF,BE分別為乙BCD,乙CBA的平分線.理由：???AB〃CD,/.ZDCB=ZABC.?CF,BE分別為乙BCD,4CBA的平分線，/.Z1=Z2.小結(jié)：解決此類條件開放性問題需要從結(jié)果出發(fā)，找出結(jié)果成立所需要的條件，由果溯因.例6如圖1-7,已知直線11\\12，且13和11、12分別交于A、兩點，點P在AB上，l產(chǎn)11、12分別交于C、D兩點，連接PC、PD。(1)試求出乙1、42、43之間的關(guān)系，并說明理由。(2)如果點P在A、B兩點之間運動時，問乙1、42、43之間的關(guān)系是否發(fā)生變化。(3)如果點P在AB兩點的外側(cè)運動時，試探究乙1、42、43之間的關(guān)系(點P和A、B不重合)Word資料

解：（1）解析：在題目中直接畫出輔助線43=41+42。理由：如圖⑴所示便B若用（I》過點P作PE〃/］交14于E,則41=4CPE,又因為11//12，所以PE〃12，則/EPD=42,所以4CPD=41+42,即43=41+42（2）解析：點P在A、B兩點之間運動時，43=41+42的關(guān)系不會發(fā)生改變。（3）解析：如圖（2）和（3）所以，當P點在A、B兩點外側(cè)運動時，分兩種情況：Word資料4.如圖2-11,CD平分/ACB,DE〃AC,EF〃CD,EF平分/DEB嗎？請說明理由.解析：標注CD平分/ACB,DE〃AC,EF〃CD答案：標注/CDE=4ACD=4DCE=4DEF=4BEF解：EF平分/DEB.理由如下：???DE〃AC,EF〃CD,/.ZCDE=ZACD,ZCDE=ZDEF,ZBEF=ZDCE.?CD平分/ACB,/.ZDCE=ZACD,/.ZDEF=ZBEF,即EF平分/DEB.5如圖1-12,CD〃EF,Z1+Z2=ZABC,求證：AB〃GFWord資料解析：如圖，作CK〃FG,延長GF、CD交于H,則4H+42+4KCB=180°.因為CD〃EF,所以4H=41，又因為41+42二4ABC,所以4ABC+4KCB=180°,所以CK〃AB,所以AB〃FG.6.如圖2-13,已知AB〃CD,4ECD=125°,4BEC=20