初二數(shù)學(xué)因式分解專(zhuān)題講解

因式分解的方法因式分解沒(méi)有普遍的方法，初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了、公式法。而在競(jìng)賽上，又有拆項(xiàng)和添減項(xiàng)法，分組分解法和十字相乘法，待定系數(shù)法，余數(shù)定理法，求根公式法，換元法等。注意三原則分解要徹底最后結(jié)果只有小括號(hào)最后結(jié)果中多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)為正(例如：-3x2+x=-x(3x-1))基本方法1.1提公因式法☆☆☆各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的。如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。具體方法：當(dāng)各項(xiàng)都是時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的；字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的。如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出“-”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù)。提出“-”號(hào)時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)。口訣：找準(zhǔn)公因式，一次要提凈；全家都搬走，留1把家守；提負(fù)要變號(hào)，變形看奇偶。例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。注意：把2a2+1/2變成2(a2+1/4)不叫提公因式1.2公式法☆☆☆如果把乘法公式反過(guò)來(lái)，就可以把某些多項(xiàng)式分解因式，這種方法叫。平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；：a2±2ab+b2=(a±b)2;注意：能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必須是三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫(xiě)成兩個(gè)數(shù)(或式)的平方和的形式，另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)(或式)的積的2倍。補(bǔ)充公式:立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；完全立方公式：a3±3a2b＋3ab2±b3=(a±b)3．公式：a3+b3+c3+3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)例如：a2+4ab+4b2=(a+2b)2o(注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應(yīng)從系數(shù)和因式兩個(gè)方面考慮。)提公因式法基本步驟：找出公因式；提公因式并確定另一個(gè)因式：第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)在確定字母；第二步提公因式并確定另一個(gè)因式，注意要確定另一個(gè)因式，可用原多項(xiàng)式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個(gè)因式，也可用公因式分別除去原多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，求的剩下的另一個(gè)因式；提完公因式后，另一因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。TOC\o"1-5"\h\z1、把a(bǔ)x2—a分解因式的結(jié)果是.2、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：2a3-16a=.3、把多項(xiàng)式a2—2ab+b2—1分解因式，結(jié)果是4、分解因式：4a3+a=.5、因式分解：x2+2x+1一y2=.6、已知a+b=2，求代數(shù)式a2—b2+4b的值；7、分解因式x(x—1)—3x+4二.8、求證：兩個(gè)奇數(shù)的平方差一定能被8整除。9、已知：|x+y+1|+|xy-3|=0求代數(shù)式xy3+x3y的值。10、下列因式分解：①x3—4x=x(x2—4)；②a2—3a+2=(a-2)(a-1):③a2—2a—2=a(a—2)—2；^④x2+xH—=(xH—)2.2其中正確的是.(只填序號(hào))競(jìng)賽用到的方法2.2分組分解法☆☆分組分解是解方程的一種簡(jiǎn)潔的方法，我們來(lái)學(xué)習(xí)這個(gè)知識(shí)。我們看多項(xiàng)式am+an+bm+bn，這四項(xiàng)中沒(méi)有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式.如果我們把它分成兩組(am+an)和(bm+bn),這兩組能分別用提取公因式的方法分別分解因式．原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)做到這一步不叫把多項(xiàng)式分解因式,因?yàn)樗环弦蚴椒纸獾囊饬x．但不難看出這兩項(xiàng)還有公因式(m+n)，因此還能繼續(xù)分解，所以原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)?(a+b).這種利用分組來(lái)分解因式的方法叫做分組分解法．從上面的例子可以看出，如果把一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)分組并提取公因式后它們的另一個(gè)因式正好相同，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以用分組分解法來(lái)分解因式.又如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)我們把a(bǔ)x和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。同樣，這道題也可以這樣做。ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)幾道例題：5ax+5bx+3ay+3by解法：=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)說(shuō)明：系數(shù)不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把5ax和5bx看成整體，把3ay和3by看成一個(gè)整體，利用乘法分配律輕松解出。x3-x2+x-1解法：=(x3-x2)+(x-1)=x2(x-1)+(x-1)題目題目=(x-1)(x2+1)利用二二分法，提公因式法提出X2,然后相合輕松解決。x2-x-y2-y解法：=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解決。題目1、1、4xy-3xz+8y-6z3、3xy-2x-12y+185、x4+642、x3+3x2+3x+94、ab-5bc-2a2+10ac6、x4-7x2+12.2十字相乘法☆☆x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解這類(lèi)二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)的系數(shù)是1；常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的積一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)的和。因此，可以直接將某些二次項(xiàng)的系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中2.3待定系數(shù)法☆☆首先判斷出分解因式的形式，然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項(xiàng)式因式分解。例如在分解x4-x3-5x2-6x-4時(shí)，由分析可知：這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式因而只能分解為兩個(gè)二次因式。于是設(shè)x4-x4-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd由此可得a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4．解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．則x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)．1、已知多項(xiàng)式12十4十4分解因式后，有一因式是/十張十1,請(qǐng)把多項(xiàng)式分解因式。2、已知x2+3x+6是多項(xiàng)式x4-6x3+mx2+nx+36的一個(gè)因式，試確定m,n的值，并求出它的其它因式。2.4配方法☆☆對(duì)于某些不能利用公式法的多項(xiàng)式，可以將其配成一個(gè)完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬于拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形。例如：1、X4+X2y2+y4配方和拆項(xiàng)、添項(xiàng)法有些相同之處，下面重點(diǎn)看看拆項(xiàng)、添項(xiàng)法2.5拆項(xiàng)、添項(xiàng)法少^問(wèn)題：因式分解X2+4這種方法指把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開(kāi)或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)(或幾項(xiàng))，使原式適合于提公因式法、運(yùn)用公式法或分組分解法進(jìn)行分解。要注意，必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形。因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算.在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡(jiǎn)常將幾個(gè)同類(lèi)項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類(lèi)項(xiàng)相互抵消為零?在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱(chēng)為拆項(xiàng)，后者稱(chēng)為添項(xiàng).拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解?現(xiàn)舉一例：例分解因式：x3-9x+8.分析本題解法很多，這里只介紹運(yùn)用拆項(xiàng)、添項(xiàng)法分解的幾種解法，注意一下拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的與技巧.解法1將常數(shù)項(xiàng)8拆成-1+9.原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8).解法2將一次項(xiàng)-9x拆成-x-8x.原式二x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3將三次項(xiàng)x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4添加兩項(xiàng)-X2+X2.原式二x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．注：由此題可以看出，用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法分解因式時(shí)，要拆哪些項(xiàng)，添什么項(xiàng)并無(wú)一定之規(guī)，主要的是要依靠對(duì)題目特點(diǎn)的觀察，靈活變換，因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種．例如：1、因式分解x2+42、把a(bǔ)2-4ab+3b2+2bc-C2因式分解。3、因式分解x4+x2+12.6其他小方法擴(kuò)展(作為了解學(xué)有余力再看)應(yīng)用因式定理對(duì)于多項(xiàng)式f(x)=O，如果f(a)=O，那么f(x)必含有因式x-a.例如：f(x)=x2+5x+6，f(-2)=0，則可確定x+2是x2+5x+6的一個(gè)因式。(事實(shí)上，x2+5x+6=(x+2)(x+3).)換元法☆有時(shí)在分解因式時(shí)，可以選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù)，然后進(jìn)行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來(lái)，這種方法叫做換元法。1、(x4+x2-4)(x4+x2+3)+102、(x+y)(x+y+2xy)+(xy+1)(xy-1)求根法令多項(xiàng)式f(x)=O,求出其根為x1,x2,x3,xn,則該多項(xiàng)式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn).圖象法令y二f(x),做出函數(shù)y二f(x)的圖象，找到函數(shù)圖像與X軸的交點(diǎn)x1,x2,x3,xn，則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)=f(x)=k(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn).與方法⑼相比，能避開(kāi)解方程的繁瑣，但是不夠準(zhǔn)確。例如在分解x3+2x2-5x-6時(shí)，可以令y=x3+2x2-5x-6.作出其圖像，與x軸交點(diǎn)為-3，-1，2則x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．多項(xiàng)式因式分解的一般步驟：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式，那么可嘗試運(yùn)用公式、十字相乘法來(lái)分解；如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法來(lái)分解；分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。也可以用一句話(huà)來(lái)概括：“先看有無(wú)公因式，再看能否套公式。十字相乘試一試，分組分解要合適?！?簡(jiǎn)稱(chēng)<提十公分>)幾道例題．△ABC的三邊a、b、c有如下關(guān)系式：-c2+a2+2ab-2bc=0，求證：這個(gè)三角形是等腰三角形。分析：此題實(shí)質(zhì)上是對(duì)關(guān)系式的等號(hào)左邊的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。證明：T-C2+a2+2ab-2bc=0，.?.(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0./.(a-c)(a+2b+c)=0.Ta、b、c是AABC的三條邊，.?.a+2b+c>0.即a=c,AABC為等腰三角形。簡(jiǎn)單了解因式分解的應(yīng)用1、應(yīng)用于多項(xiàng)式除法。2、應(yīng)用于高次方程的求根。3、應(yīng)用于分式的運(yùn)算。4因式分解練習(xí)題(1)(m+n)(p+q)-(n+m)(p-q)(2)m(m-n)2-n(n-m)2(3)x4-y4(4)(3m+2n)2-(m-n)2(5)xn+1-3xn+2xn-1(6)x3-15x2y-16xy2(7)1-y3-y2--yx一3X331(8)8--xs2(9)(10)3(x-y)2-6(x-y)-24(11)1-4b2-4ab-a2(12)(a-4b)(a-b)+ab(13)1-26a2+25a4(14)(x+y)4+(x+y)2-20(15)(3x2+2x-8)2-(x2-2x-8)2(16)(x2-2x)2+2(x2-2x)+-(17)(x+2)(x+3)+x2-4(18)(x2+2x)2-7(x2+2x)-8(19)x2(a-b)+16(b-a)(20)(x2+9y2)2-36x2y