云南省昆明市師范專科學(xué)校附屬中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

云南省昆明市師范專科學(xué)校附屬中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)，則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C略2.已知函數(shù)f（x）=x3+2bx2+cx+1有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2，且x1∈[﹣2，﹣1]，x2∈[1，2]，則f（﹣1）的取值范圍是（）A．，3] B．，6] C．[3，12] D．，12]參考答案：C【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃；函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．【專題】計(jì)算題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合．【分析】根據(jù)極值的意義可知，極值點(diǎn)x1、x2是導(dǎo)函數(shù)等于零的兩個(gè)根，根據(jù)根的分布建立不等關(guān)系，畫出滿足條件的區(qū)域即可；利用參數(shù)表示出f（﹣1）的值域，設(shè)z=2b﹣c，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=x+3y過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)A時(shí)，從而得到z=x+3y的最大值即可．【解答】解：f'（x）=3x2+4bx+c，依題意知，方程f'（x）=0有兩個(gè)根x1、x2，且x1∈[﹣2，﹣1]，x2∈[1，2]等價(jià)于f'（﹣2）≥0，f'（﹣1）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．由此得b，c滿足的約束條件為滿足這些條件的點(diǎn)（b，c）的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分．由題設(shè)知f（﹣1）=2b﹣c，由z=2b﹣c，將z的值轉(zhuǎn)化為直線z=2b﹣c在y軸上的截距，當(dāng)直線z=2b﹣c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，﹣3）時(shí)，z最小，最小值為：3．當(dāng)直線z=2b﹣c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，﹣12）時(shí)，z最大，最大值為：12．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及二元一次不等式（組）與平面區(qū)域和不等式的證明，屬于基礎(chǔ)題．3.設(shè)x，y滿足約束條件，則下列不等式恒成立的是（）A．x≥3 B．y≥4 C．x+2y﹣8≥0 D．2x﹣y+1≥0參考答案：C【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：則C（2，3），B（2，5），則x≥3，y≥4不成立，作出直線x+2y﹣8=0，和2x﹣y+1=0，由圖象可知2x﹣y+1≥0不成立，恒成立的是x+2y﹣8≥0，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．4.已知點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足，設(shè)z為在上的投影，則z的取值范圍是(

) A． B．[﹣3，3] C． D．參考答案：B考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．專題：常規(guī)題型．分析：先根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)z=x+y，再利用z的幾何意義求范圍，只需求出向量和的夾角的余弦值的取值范圍即可，從而得到z值即可．解答： 解：==，∵，∴當(dāng)時(shí)，=3，當(dāng)時(shí)，=﹣3，∴z的取值范圍是[﹣3，3]．∴故選B．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．巧妙識(shí)別目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是我們研究規(guī)劃問(wèn)題的基礎(chǔ)，縱觀目標(biāo)函數(shù)包括線性的與非線性，非線性問(wèn)題的介入是線性規(guī)劃問(wèn)題的拓展與延伸，使得規(guī)劃問(wèn)題得以深化．5.在中,角的對(duì)邊分別為,且.則

A． B． C． D．參考答案：A6.A.

B.

C.

D.參考答案：B7.已知全集U=R，集合A={x|1＜x＜3}，B={x|x＞2}，則A∩?UB等于（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|1＜x≤2} C．{x|2＜x＜3} D．{x|x≤2}參考答案：B【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【分析】根據(jù)補(bǔ)集、交集的定義及運(yùn)算求解即可．【解答】解：?UB={x|x≤2}；∴A∩?UB={x|1＜x≤2}；故選B．8.如圖程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”，執(zhí)行該程序框圖，若輸入a，b分別為9，15，則輸出的a=（）A．1 B．2 C．3 D．15參考答案：C【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】由循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，先判斷，再執(zhí)行，分別計(jì)算出當(dāng)前的a，b的值，即可得到結(jié)論．【解答】解：由a=9，b=15，不滿足a＞b，則b變?yōu)?5﹣9=6，由b＜a，則a變?yōu)?﹣6=3，不滿足a＞b，則b變?yōu)?﹣3=3，由a=b=3，則輸出的a=3．故選：C．9.在△ABC中，若sinA=2sinBcosC，sin2A=sin2B+sin2C，則△ABC的形狀是（）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形參考答案：D【考點(diǎn)】三角形的形狀判斷．【分析】通過(guò)正弦定理判斷出三角形是直角三角形，通過(guò)sinA=2sinBcosC，利用正弦定理與余弦定理，推出三角形是等腰三角形，得到結(jié)果．【解答】解：因?yàn)閟in2A=sin2B+sin2C，由正弦定理可知，a2=b2+c2，三角形是直角三角形．又sinA=2sinBcosC，所以a=2b，解得b=c，三角形是等腰三角形，所以三角形為等腰直角三角形．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的形狀的判斷，正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，令，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A. B.C. D.參考答案：D分析：先根據(jù)程序框圖得解析式，再根據(jù)分段函數(shù)解三個(gè)不等式組，求并集得結(jié)果.詳解：因?yàn)椋杂傻盟砸虼诉xD.點(diǎn)睛：算法與流程圖的考查，側(cè)重于對(duì)流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過(guò)循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題，是求和還是求項(xiàng).二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在區(qū)間[﹣π，π]內(nèi)隨即取一個(gè)數(shù)記為x，則使得sinx≥的概率為．參考答案：考點(diǎn)： 幾何概型．專題： 概率與統(tǒng)計(jì)．分析： 由于在區(qū)間[﹣π，π]內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，故基本事件是無(wú)限的，而且是等可能的，屬于幾何概型，求出滿足sinx≥的區(qū)間長(zhǎng)度，即可求得概率．解答： 解：本題考查幾何概型，其測(cè)度為長(zhǎng)度∵sinx≥，x∈[﹣π，π]，∴x∈[]∴在區(qū)間[﹣π，π]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，滿足sinx≥的概率P=；故答案為：．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了幾何概型的運(yùn)用；關(guān)鍵是找到sinx≥，x∈[﹣π，π]，的x的范圍，利用區(qū)間長(zhǎng)度的比，得到所求概率．12.已知且若恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________．參考答案：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為4，所以要使恒成立，所以。13.△ABC的周長(zhǎng)是20，面積是10，A＝60°，則BC邊的長(zhǎng)等于________．參考答案：714.設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），給出以下四個(gè)論斷：①它的周期為π；②它的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱；③它的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱；④在區(qū)間（﹣，0）上是增函數(shù)，以其中兩個(gè)論斷為條件，另兩個(gè)論斷作結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題，條件結(jié)論

．（注：填上你認(rèn)為正確的一種答案即可）參考答案：①②，③④另：①③?②④也正確．

【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】若①f（x）的周期為π，則函數(shù)f（x）=sin（2x+φ），若再由②，可得φ=，f（x）=sin（2x+），顯然能推出③④成立．【解答】解：若①f（x）的周期為π，則ω=2，函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）．若再由②f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，則sin（2×+φ）取最值，又∵﹣＜φ＜，∴2×+φ=，∴φ=．此時(shí)，f（x）=sin（2x+），③④成立，故由①②可以推出③④成立．故答案為：①②，③④．另：①③?②④也正確．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦函數(shù)的對(duì)稱性，三角函數(shù)的周期性與求法，確定出函數(shù)的解析式，是解題的關(guān)鍵．15.黔東南州雷山西江千戶苗寨，是目前中國(guó)乃至全世界最大的苗族聚居村寨，每年來(lái)自世界各地的游客絡(luò)繹不絕．假設(shè)每天到西江苗寨的游客人數(shù)ξ是服從正態(tài)分布N的隨機(jī)變量．則每天到西江苗寨的游客人數(shù)超過(guò)2100的概率為

．（參考數(shù)據(jù)：若ξ服從N（μ，δ2），有P（μ﹣δ＜ξ≤μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜ξ≤μ+2δ）=0.9544，P（μ﹣3δ＜ξ≤μ+3δ）=0.9974）參考答案：0.1587【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．【分析】利用服從正態(tài)分布N（μ，σ2）的隨機(jī)變量在區(qū)間（μ﹣σ，μ+σ）內(nèi)取值的概率分別為0.6826即可得出結(jié)論．【解答】解：∵服從正態(tài)分布N（μ，σ2）的隨機(jī)變量在區(qū)間（μ﹣σ，μ+σ）內(nèi)取值的概率分別為0.6826，隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N，∴每天到西江苗寨的游客人數(shù)超過(guò)2100的概率為×（1﹣0.6826）=0.1587，故答案為0.1587．16.若命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．參考答案：∵命題“，”是假命題，則命題“，”是真命題，則，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為．17.如圖，在△ABC中，若AB=1，AC=3，?=，則BC=參考答案：考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題：平面向量及應(yīng)用．分析：根據(jù)數(shù)量積得出1×3cos∠BAC=，cos∠BAC=，運(yùn)用余弦定理得出BC即可．解答：解：∵在△ABC中，若AB=1，AC=3，?=，

∴1×3cos∠BAC=，∴cos∠BAC=，∴在△△ABC中根據(jù)余弦定理得出BC2=1=7，∴BC=故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的數(shù)量積在求夾角中的應(yīng)用，余弦定理求解邊長(zhǎng)問(wèn)題，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分16分）因發(fā)生意外交通事故，一輛貨車上的某種液體泄漏到一漁塘中．為了治污，根據(jù)環(huán)保部門的建議，現(xiàn)決定在漁塘中投放一種可與污染液體發(fā)生化學(xué)反應(yīng)的藥劑．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）個(gè)單位的藥劑，它在水中釋放的濃度y（克/升）隨著時(shí)間x（天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y＝a·f（x），其中f（x）＝若多次投放，則某一時(shí)刻水中的藥劑濃度為每次投放的藥劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)水中藥劑的濃度不低于4（克/升）時(shí)，它才能起到有效治污的作用．（Ⅰ）若一次投放4個(gè)單位的藥劑，則有效治污時(shí)間可達(dá)幾天？（Ⅱ）若第一次只能投放2個(gè)單位的藥劑，6天后可再投放a個(gè)單位的藥劑，要使接下來(lái)的4天中能夠持續(xù)有效治污，試求a的最小值．參考答案：解：（Ⅰ）因?yàn)閍＝4，所以y＝

2分則當(dāng)0≤x≤4時(shí)，由－4≥4，解得x≥0，所以此時(shí)0≤x≤4.

4分當(dāng)4＜x≤10時(shí)，由20－2x≥4，解得x≤8，所以此時(shí)4＜x≤8.

6分綜合，得0≤x≤8，若一次投放4個(gè)單位的制劑，則有效治污時(shí)間可達(dá)8天．

8分（Ⅱ）當(dāng)6≤x≤10時(shí)，y＝2×(5－x)＋a

10分＝10－x＋－a＝(14－x)＋－a－4，因?yàn)?4－x∈[4,8]，而1≤a≤4，所以4∈[4,8]，故當(dāng)且僅當(dāng)14－x＝4時(shí)，y有最小值為8－a－4.

14分令8－a－4≥4，解得24－16≤a≤4，所以a的最小值為24－16.

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16分19.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F（1，0），M為橢圓的上頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△OMF是等腰直角三角形．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）是否存在直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且使點(diǎn)F為△PQM的垂心（即三角形三條高線的交點(diǎn)）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．【分析】（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得c=b=1，，即可得到橢圓方程；（Ⅱ）假設(shè)存在直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且F為△PQM的垂心，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），于是設(shè)直線l的方程為y=x+m，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合垂心的定義和向量垂直的條件，化簡(jiǎn)整理計(jì)算即可得到所求直線方程．【解答】解：（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得c=b=1，，故橢圓方程為．

（Ⅱ）假設(shè)存在直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且F為△PQM的垂心，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），因?yàn)镸（0，1），F(xiàn)（1，0），故kPQ=1．于是設(shè)直線l的方程為y=x+m，由得3x2+4mx+2m2﹣2=0．由△＞0，得m2＜3，且，．由題意應(yīng)有，又，故x1（x2﹣1）+y2（y1﹣1）=0，得x1（x2﹣1）+（x2+m）（x1+m﹣1）=0．即．整理得．解得或m=1．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)m=1時(shí)，△PQM不存在，故舍去m=1．當(dāng)時(shí)，所求直線l存在，且直線l的方程為．20.（本小題滿分14分）已知函數(shù)（Ⅰ）寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)，的最小值是，最大值是，求實(shí)數(shù)的值．參考答案：解：

……………3分

（1）

為所求……………6分

（2）

……………10分略21.（本小題滿分13分）已知函數(shù)（）.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對(duì),不等式恒成立，求的取值范圍．參考答案：解：（1）…2分當(dāng)時(shí)，0-0+遞增極大遞減極小遞增所以，在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減。當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增。當(dāng)時(shí)，+0-0+遞增極大遞減極小遞增所以，在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減。……………8分（2）法一、因?yàn)?，所以由得，即函?shù)對(duì)恒成立由（Ⅰ）可知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，則，成立，故<。當(dāng)，則在上單調(diào)遞增，恒成立，符合要求。當(dāng)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，則，即，。綜上所述，。

……………13分法二、當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由得，對(duì)