一輪復(fù)習(xí)：直線與平面平行的性質(zhì)與判定

授課主題：直線與平面平行的性質(zhì)與判定教學(xué)目標(biāo).以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理..能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間中垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題..以立體幾何中相關(guān)的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理..能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間中的平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.教學(xué)內(nèi)容.直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理不在平面亙的一條直線與此平面包的-條直線平行，則該直線與此平面平行（簡(jiǎn)記為：線線平行0線面平行）/7『心口1仃匚a\=>l/faIJM性質(zhì)定理?xiàng)l直線與個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行（簡(jiǎn)記為：線面平行f線線平行）q/aj■-=>a//b.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號(hào)語在3.必記結(jié)論判定定理性質(zhì)定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直文字語言圖形語言符號(hào)語在3.必記結(jié)論判定定理性質(zhì)定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行.則這兩個(gè)平面平行(■簡(jiǎn)記為：線面中行戶面面平行)如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行aCly=?-di/b⑴兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面.(2)夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段長(zhǎng)度相等.⑶經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.(4)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.(5)如果兩個(gè)平面分別和第三個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面互相平行.題型一平行關(guān)系命題的真假判定例1、(2018-豫西五校聯(lián)考)已知m,n,11,12表示不同直線，a,B表示不同平面，若mua,nua,11u0,12c0,11n12=M,則a〃B的一個(gè)充分條件是()A.m〃B且11〃a B.m〃B且n〃BC.m〃B且n〃12 D.m〃11且n〃12方法點(diǎn)撥：排除法.答案D解析對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)m〃B且11〃a時(shí)，a,B可能平行也可能相交，故A不是a〃B的充分條件；對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)m〃B且n〃B時(shí)，若m〃n,則a,B可能平行也可能相交，故B不是a〃B的充分條件；對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)m〃B且n〃12時(shí)，a,B可能平行也可能相交，故C不是a〃B的充分條件；對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)m〃11,n〃/2時(shí)，由線面平行的判定定理可得11〃a,12〃a，又11n12=M，由面面平行的判定定理可以得到a〃B，但a〃B時(shí)，m〃11且n//12不一定成立，故D是a〃B的一個(gè)充分條件.故選D.方法技巧解決平行關(guān)系命題真假判斷的一般思路.判斷與平行關(guān)系相關(guān)命題的真假，必須熟悉線、面平行關(guān)系的各個(gè)定義、定理，無論是單項(xiàng)選擇還是含選擇項(xiàng)的填空題，都可以從中先選出最熟悉最容易判斷的選項(xiàng)先確定或排除，再逐步判斷其余選項(xiàng)..(1)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷.(2)特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情況，通過舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確..結(jié)合實(shí)物進(jìn)行空間想象，比較判斷.【沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練】(2017?山西長(zhǎng)治二模)已知m,n是兩條不同的直線，a,萬，?是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是()A.若a±y，a±B，則y〃BB.若m〃n,mua,nu0，貝|a〃BC.若m〃n,m_La,n_L0，則a〃0D.若m〃n,m〃a,n〃0，則a〃0答案C解析對(duì)于A,墻角的三個(gè)墻面a,0,y滿足條伴，但y與0相交，故A錯(cuò)誤；mua,nu0，且m,n平行于a,0的交線時(shí)符合B中條件，但a與0相交，故B錯(cuò)誤；由m〃n,mLa可推出nLa，結(jié)合nL0可推出a〃0，故C正確；由D中的條件得a與0可能平行也可能相交，故D錯(cuò)誤.所以選C.題型二直線與平面平行的判定與性質(zhì)［多角探究］角度1直線與平面平行的判定與性質(zhì)例2、 (2017-保定期中)如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，E是PD的中點(diǎn).(1)求證：PB〃平面EAC；(2)若M是CD上異于C、D的點(diǎn)，連接PM交CE于G,連接BM交AC于H，求證：GH//PB.方法點(diǎn)撥：利用中位線證線線平行從而證線面平行，利用線面平行證線線平行.證明(1)連接BD，交AC于0,連接E0,則O是BD的中點(diǎn).又E是PD的中點(diǎn)，??PB/E0.??PB仁平面EAC,E0u平面EAC,??PB〃平面EAC.(2)由(1)知PB〃平面EAC,又平面PBMC平面EAC=GH,??根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得GH/PB.角度2直線與平面平行的探索性問題例3、（2018?包河月考）在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中，/ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=ga，點(diǎn)E在PD上，且PE:ED=2：1,平面PABA平面PCD=l.（1）證明：l〃CD；（2）在棱PC上是否存在一點(diǎn)尸，使BF〃平面AEC?證明你的結(jié)論.方法點(diǎn)撥：通過證明面面平行來證明線面平行.證明（1）二?菱形ABCD,：.AB//CD，又AB仁平面PCD,CDu平面PCD,r???AB〃平面PCD，又ABu平面PAB,平面PABA平面PCD=l, ；：：〈一二；〉：.AB/1,*?AB/CD,；.l/CD. :上；：.、...……:.……:二》‘二（2）當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí)，BF〃平面AEC.證明如下，如圖取PE的中點(diǎn)M，連接FM，由于M為PE中點(diǎn)，F(xiàn)為PC中點(diǎn)，所以FM/CE.①由M為PE中點(diǎn)，得EM=1PE=ED，知E是MD的中點(diǎn)，2連接BM,BD，設(shè)BDAAC=0,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，則O為BD的中點(diǎn)， /；\\由于E是MD的中點(diǎn)，0是BD的中點(diǎn)， :、所以BM/0E② ：「二；=\由①FM/CE②BM/0E知，平面BFM〃平面AEC,又BFu平面BFM,所以BF〃平面AEC.方法技巧線面平行問題的證明策略.證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)，或者構(gòu)造平行四邊形等證明兩直線平行.注意說明已知的直線不在平面內(nèi)..判斷或證明線面平行的方法：①線面平行的定義（反證法）；②線面平行的判定定理；③面面平行的性質(zhì)定理..線面平行的探究性問題解決探究性問題一般先假設(shè)求解的結(jié)果存在，從這個(gè)結(jié)果出發(fā)，尋找使這個(gè)結(jié)論成立的充分條件，如果找到了使結(jié)論成立的充分條件，則存在；如果找不到使結(jié)論成立的充分條件（出現(xiàn)矛盾），則不存在，而對(duì)于探求點(diǎn)的問題，一般是先探求點(diǎn)的位置，多為線段的中點(diǎn)或某個(gè)三等分點(diǎn)，然后給出符合要求的證明.【沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練】（2017?濟(jì)南一模）如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是菱形，AB=2,ZDAB=60°,EF/AC,EF=\巧.求證：FC〃平面BDE.證明設(shè)ACABD=0,連接EO.4

??FC仁平面BDE,EOu平面BDE,??FC〃平面BDE.題型三平面與平面平行的判定與性質(zhì)［多維探究］例4、如圖所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B,ChHgG四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1〃平面BCHG.證明(1)：G,H分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn)，??GH是八A1B1C1的中位線，則GH〃B1C1.又：B1C1〃BC,???GH〃BC,?.B,C,H,G四點(diǎn)共面.VE,F分別為AB,AC的中點(diǎn)，?'?EF〃BC??EF仁平面BCHG,BCu平面BCHG,??EF〃平面BCHG.又G,E分別為A1B1,AB的中點(diǎn)，A1B1〃AB,??A1G〃EB.??四邊形A1EBG是平行四邊形，???A1E〃GB.A1E仁平面BCHG,GBu平面BCHG,??A1E〃平面BCHG*：A1EAEF=E,??平面EFA1〃平面BCHG.［條件探究］在典例中，若將條件'E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點(diǎn)”變?yōu)椤包c(diǎn)D,D1分別是AC,A1C1AD上的點(diǎn)，且平面BC1D〃平面AB1D1”，試求—的值.解連接A1B交AB1于O,連接OD1.由平面BC1D〃平面AB1D1,且平面A1BC1n平面BC1D=BC1,平面A1BC1n平面AB1D1=D1O.ADAO所以BC<DO,則k71=k=1.1 D1C1OB同理可證AD1〃DC1,則D1D4=DD，,DD=1,即DD=1.1 D1C1ADAD DC方法技巧.判定面面平行的方法(1)利用面面平行的判定定理，轉(zhuǎn)化為證明線面平行.(2)證明兩平面垂直于同一條直線.(3)證明兩平面與第三個(gè)平面平行..面面平行條件的應(yīng)用(1)兩平面平行，分析構(gòu)造與之相交的第三個(gè)平面，交線平行.(2)兩平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線與另一個(gè)平面平行.

提醒：利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說明是在一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交直線.【沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練】（2018?西安模擬）如圖，四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)O是底面中心，A1O±底面ABCD,AB=AA1=立（1）證明：平面A1BD〃平面CD1B1；解（1）證明：由題設(shè)知BB1觸DD1,（2）求三棱柱解（1）證明：由題設(shè)知BB1觸DD1,??四邊形BB1D1D是平行四邊形，???BD〃B1D1.又BD仁平面CD1B1,B1D1u平面CD1B1,??BD〃平面CD1B1.??四邊形A1BCD1是平行四邊形，???A1B〃D1C.又A1B仁平面CD1B1,D1Cu平面CD1B1,??A1B〃平面CD1B1.又VBDCA1B=B,???平面A1BD〃平面CD1B1.(2)VA1O，平面ABCD,??A1O是三棱柱ABD-A1B1D1的高.又VAO=2AC=1,AA1=22,/.A1O=\：AA1—OA2=1.又「S△ABD=1xV2x-.；2=1,??VABD-A1B1D1=S△ABDxA1O=1.s真題模擬回關(guān)1.（2017-福建八校聯(lián)考1.（2017-福建八校聯(lián)考）在正方體ABCD—A1B1C1D1中,是（）M是棱CD上的動(dòng)點(diǎn)，則直線MC1與平面AA1B1B的位置關(guān)系A(chǔ).相交B.平行A.相交B.平行C.異面D.相交或平行答案B解析如圖，MC1u平面DD1C1c，而平面AA1B1B〃平面DD1cle，故MC1〃平面AA1B1B.HH（2016.全國(guó)卷H）a,B是兩個(gè)平面，m,n是兩條直線，有下列四個(gè)命題:①如果m.Ln①如果m.Lnm_La②如果mL②如果mLa那么mLn；③如果a/B③如果a/B,④如果m/n其中正確的命題有)■那么m/B；那么m與a所成的角和n與B所成的角相等..（填寫所有正確命題的編號(hào)）答案②③④解析對(duì)于①，由mLn,mLa可得n/a或n在a內(nèi)，當(dāng)n/B時(shí)，a與B可能相交，也可能平行，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，過直線n作平面與平面a交于直線c,由n/a可知n/c,：mLa,，mLc,，mLn，故②正確；對(duì)于③，由兩個(gè)平面平行的性質(zhì)可知正確；對(duì)于④，由線面所成角的定義和等角定理可知其正確，故正確的有②③④.（2018?河北唐山統(tǒng)考）在三棱錐P—ABC中，PB=6,AC=3,G為^PAC的重心，過點(diǎn)G作三棱錐的一個(gè)截面，使截面平行于PB和AC,則截面的周長(zhǎng)為答案解析過點(diǎn)G作EF〃AC，分別交PA，PC于點(diǎn)E，F(xiàn)，過E，F(xiàn)分別作EN〃PB，F(xiàn)M〃PB，分別交AB，BC于解析2 1連接MN,則四邊形EFMN是平行四邊形（面EFMN為所求截面），且EF=MN=3AC=2,FM=EN=3PB=2,所以截面的周長(zhǎng)為2x4=8.（2018-石家莊質(zhì)檢）如圖，四棱錐P—ABCD中，PAL底面ABCD,底面ABCD為梯形，AD/BC,CDLBC,AD=2,AB=BC=3,PA=4,M為AD的中點(diǎn)，N為PC上一點(diǎn)，且PC=3PN.（1）求證：MN〃平面PAB；（2）求點(diǎn)M到平面PAN的距離.解（1）證明：在平面PBC內(nèi)作NH/BC交PB于點(diǎn)H，連接AH，在△PBC中，NH/BC,且NH=；BC=1,AM=AD=1.IW

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j!；：A又AD〃BC,???NH〃AM且NH=AM,??四邊形AMNH為平行四邊形，??MN//AH.又AHu平面PAB,MN仁平面PAB,??MN〃平面PAB.(2)連接AC,MC,PM，平面PAN即為平面PAC,設(shè)點(diǎn)M到平面PAC的距離為h.由題意可得CD=2\'2,AC=2%''3,??”陰廠1PA-AC=4\'3,"AMC=1AM?CD=--.；'2,△ 2 △ 2由V=V,M-PAC P-AMC，得3S△PAC.h=3"AMC.PA,即4立h=、&4,，h=羋/.點(diǎn)M到平面PAN的距離為了.一、選擇題1.（2018?南開模擬）下列命題正確的是（）A.若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行B.若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行C.若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D.若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行答案C解析若兩條直線和同一平面所成角相等，這兩條直線可能平行，也可能為異面直線，也可能相交，所以A錯(cuò)誤;一個(gè)平面內(nèi)不共線且在另一個(gè)平面同側(cè)的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行，故B錯(cuò)誤；若兩個(gè)平面垂直同一個(gè)平面，兩平面可以平行，也可以相交，故D錯(cuò)誤；故選C.2.下列命題中，錯(cuò)誤的是（）A.三角形的兩條邊平行于一個(gè)平面，則第三邊也平行于這個(gè)平面B.平面a〃平面B,aua，過B內(nèi)的一點(diǎn)B有唯一的一條直線b，使b/aC.a/B,y//3,a,B,y,3的交線為a,b,c,d,則a/b/c//dD.一條直線與兩個(gè)平面成等角是這兩個(gè)平面平行的充要條件答案Dti百個(gè)平面成等角，這兩個(gè)解析D錯(cuò)誤，當(dāng)兩平面平行時(shí)，則該直線與兩個(gè)平面成等角；反之，如果一條直線百個(gè)平面成等角，這兩個(gè)平面可能是相交平面，如圖，a±B，直線AB與a,萬都成45°角，但加萬=l.故選D.B,Y表示不同的平面，給出下列四個(gè)命題:（2018-福建聯(lián)考）設(shè)l,m,nB,Y表示不同的平面，給出下列四個(gè)命題:①若m〃l,且m_La，貝Ul_La；②若m_Ll,m_La，則l〃a；③若aAB=l,BAy=m,yAa=n，則l//m〃n；④若aAB=m,BAY=l，YAa=n,且n/B，則l/m.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.4答案B解析對(duì)①，兩條平行線中有一條與一平面垂直，則另一條也與這個(gè)平面垂直，故①正確；對(duì)②，直線l可能在平面a內(nèi)，故②錯(cuò)誤；對(duì)③，三條交線除了平行，還可能相交于同一點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；對(duì)④，結(jié)合線面平行的判定定理和性質(zhì)定理可判斷其正確.綜上①④正確.故選B.（2018?昆明七校模擬）一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體直觀圖的示意圖如圖所示，在正方體中，設(shè)BC的中點(diǎn)為M,GH的中點(diǎn)為N,則MN與平面BDH的關(guān)系是（ ）A.MNA平面BDH=MC.MN〃平面BDH答案解析連接BD，設(shè)OA.MNA平面BDH=MC.MN〃平面BDH答案解析連接BD，設(shè)O為BD的中點(diǎn)N分別是BC,GH的中點(diǎn)，?，?OM/CD，且OM=2CD,NH/CD，且NH=2CD,naB.MN平面BDHD.連接OM,MNL平面BDHOH,AC,BH,MN,如圖所示.???OM/NH,OM=NH,則四邊形MNHO是平行四邊形，???MN〃OH,又MN仁平面BDH,OHu平面BDH,???MN〃平面BDH.故選C.5.如圖所示，P是三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，平面a〃平面ABC,a分別交線段PA,PB,PC于A',B',C,若PA，：AA三2：3,則4A'B'。與^ABC面積的比為（ ）2：53：84：94：25答案D解析二?平面a〃平面ABC,平面PABAa=A'B'，平面PABA平面ABC=AB,.\A'B力AB.又TPA:AA』2：3,???A'B'：AB=PA'：PA=2：5.同理B'C：BC=A'C：AC=2：5.AAA'B'C&AABC相似； :;???"abc：S△abc=4：25,故選D.6.在正方體ABCD—A1B1clD1中，棱長(zhǎng)為a,M,N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，若A1M=AN=?,則MN與平面BB1c1c的位置關(guān)系是（）A.相交 B.平行C.垂直 D.不能確定答案B2a解析連接CD1,在CD1上取點(diǎn)P,使D1P=y,???MP//BC,PN//AD1.???MP〃平面BB1C1C,PN〃平面AA1D1D.???平面MNP〃平面BB1C1C,???MN〃平面BB1C1C.故選B.（2018-宜昌一模）如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AM=2MA1,BN=2NB1,過MN作一平面交底面三角形ABC的邊BC,AC于點(diǎn)E,方，則（ ）A.MF//NEB.四邊形MNEF為梯形C.四邊形MNEF為平行四邊形D.A1B1〃NE答案B/ 盤 7解析在平行四邊形AA1B1B中，AM=2MA1,BN=2NB「所以AM觸BN,所以MN觸AB,又MN仁平面ABC,ABu平面ABC,所以MN〃平面ABC.又MNu平面MNEF,平面MNEFA平面ABC=EF,所以MN〃EF,所以EF〃AB,顯然在△ABC中，EF〃MN,EF*MN,所以四邊形MNEF為梯形.故選B.（2017-安徽阜陽一中模擬）過平行六面體ABCD—A1B1C1D1任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面DBB1D1平行的直線共有（）10

A.4條C.8條B.6條B.6條D.12條解析如圖所示，在平行六面體ABCD—A1B1clq中，E,F,G,H,M,N,P,Q分別為相應(yīng)棱的中點(diǎn)，容易證明平面EFGH，平面MNPQ均與平面BDD1B1平行，平面EFGH和平面MNPQ中分別有6條直線（相應(yīng)四邊形的四條邊和兩條對(duì)角線）滿足要求，故共有12條直線符合要求.故選D.（2018?河南三市聯(lián)考）如圖所示，側(cè)棱與底面垂直，且底面為正方形的四棱柱ABCD—A1B1c1D1中，AA1=2,AB=1,M,N分別在AD1,BC上移動(dòng)，始終保持MN〃平面DCC1D『設(shè)BN=%,MN=y,則函數(shù)y=f（x）的圖象大致是（ ）解析過M作MQ//DD〃交AD于Q，連接QN：：MN〃平面DCC1D15MQ〃平面DCC1D1?MNAMQ=M,，平面MNQ〃平面DCC1D］，又平面ABCD與平面MNQ和DCC1D1分別交于QN和DC,??.NQ/DC,可得QN=CD=AB=1,AQ=BN=x.,:aq=A5t=2，「?MQ=2x.在RtAMQN中，MN2=MQ2+QN2,即y2=4x2+1,/.y2—4x2=1（x>0,y>1）,二函數(shù)y=f（x）的圖象為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線上支的一部分.故選C.（2018-昆明模擬）在三棱錐S—ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形，SA=SB=SC=15,平面DEFH分別與AB,BC,SC,SA交于D,E,F,H.D,E分別是AB,BC的中點(diǎn)，如果直線SB〃平面DEFH，那么四邊形DEFH的面積

為（A為（A45A.24545V3答案A解析取AC的中點(diǎn)G,連接SG,BG.易知SG±AC,BG±AC,故AC，平面SG5,所以AC±SB.因?yàn)镾B〃平面DEFH,SBu平面SAB，平面SABA平面DEFH=HD,則SB/HD.同理SB/FE.又D,E分別為AB,BC的中點(diǎn)，則H,F也為AS,SC的中點(diǎn)，從而得HF〃2AC//DE，所以四邊形DEFH為平行四邊形.又AC±SB,SB/HD,DE/AC,故選A.所以DE±HD，所以四邊形DEFH為矩形，其面積S=HF-HD故選A.二、填空題11.如圖，四邊形ABDC是梯形，AB二、填空題11.如圖，四邊形ABDC是梯形，AB/CD,且AB〃平面a,M是AC的中點(diǎn)BD與平面a交于點(diǎn)N,AB=4,CD=6則MN=答案5/）?，?AB答案5/）?，?AB/MN又M是AC的中點(diǎn)，解析?「AB〃平面a,ABu平面ABDC,平面ABDCA平面a=MN,?，?MN是梯形ABDC的中位線，故MN=2（AB+CD）=5..如圖所示，在四面體ABCD中,M，N分別是△ACD,△BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是答案平面ABC、平面ABD1212解析連接AM并延長(zhǎng)，交CD于E，連接5M并延長(zhǎng)交CD于F，由重心性質(zhì)可知，E,F重合為一點(diǎn)，且該點(diǎn)為CD的中點(diǎn)E，連接MM由EM=整=1,得MN//A5,因此，MN〃平面ABC且MN〃平面ABD.MANB2.正方體ABCD—A]B1clD1的棱長(zhǎng)為1cm,過AC作平行于對(duì)角線BD1的截面，則截面面積為cm2.解析如圖所示，截面ACE/BD1，平面BDD1n平面ACE=EF，其中F為AC與BD的交點(diǎn)，，E為DD1的中點(diǎn),(cm2)(cm2).**S△aceHN/BD,*HN/BD,*平面FHN〃平面B1BDD1,只要M￡FH，貝1MNu平面15.（2018-石家莊質(zhì)檢二）如圖，在三棱柱ABC—DEF中，側(cè)面ABED是邊長(zhǎng)為2的菱形，n且/ABE=3,\.'21BC=1.如圖，在正四棱柱A1c中，E,F,G,H分別是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M只需滿足條件時(shí)，就有MN〃平面B1BDD1.（注：請(qǐng)?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個(gè)條件即可，不必考慮全部可能情況）西FG答案M位于線段FH上（答案不唯一）解析連接HN,FH,FN,則FH//DD1,FHN,*MN〃平面B1BDD1.三、解答題點(diǎn)F在平面ABED內(nèi)的正投影為G,且點(diǎn)G在AE上，F(xiàn)G=\'3,點(diǎn)M在線段CF上，且CM=1CF.（1）證明：直線GM〃平面DEF；（2）求三棱錐M—DEF的體積.解（1）證明：?.?點(diǎn)F在平面ABED內(nèi)的正投影為G,*FG，平面ABED,*FG±GE.13

一\J21 - 3又BC=F=EF,FG=■■■.;3,???GE=2?n,四邊形ABED是邊長(zhǎng)為2的菱形，且NABE=3,???AE=2,???AG=2.如圖，過點(diǎn)G作GH〃AD交DE于點(diǎn)H，連接FH.gGHGE. 3, 1/日3則,=',??GH=彳，由CM=CCF得MF=彳=GH.ADAE 2 4 2易證GH〃AD〃MF,???四邊形GHFM為平行四邊形，MG〃FH.又GM仁平面DEF,???GM〃平面DEF.(2)由(1)知GM〃平面DEF,連接GD，則有VM_DEF=VG_DEFVMl-DEF34.又VG-DEF=VF-DEG=3FG,S△DEG=3FG0△DAEVMl-DEF34.（2018?鄭州質(zhì)檢二）如圖，高為1的等腰梯形ABCD中，AM=CD=3AB=1,M為AB的三等分點(diǎn)，現(xiàn)將△AMD沿MD折起，使平面AMD，平面MBCD,連接AB,AC.⑴在AB邊上是否存在點(diǎn)P，使AD〃平面MPC?（2）當(dāng)點(diǎn)P為AB邊的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)B到平面MPC的距離.解（1）當(dāng)AP=1AB時(shí)，有AD〃平面MPC.理由如下:連接BD交MC于點(diǎn)N,連接NP.在梯形MBCD在梯形MBCD中，DC〃MB,DNDC1NB=MB=2',AP1 .?「△ADB中， =",???AD〃PN.PB2,?AD仁平面MPC,PNu平面MPC,???AD〃平面MPC.(2)\?平面AMD，平面MBCD，平面AMDA平面MBCD=DM,平面AMD中AM±DM,.\AM，平面MBCD.. 1AM11 11VP-MBC=3XS△MBCXT=3x2x2x1x2=6-在^MPC中，MP==*，MC=''2,14S△MPC4(2018?簡(jiǎn)陽市模擬)如圖，已知四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點(diǎn)M,N,Q分別是PA,BD,PD的中點(diǎn).(1)求證：MN//PC；(2)求證：平面MNQ〃平面PBC.證明(1)由題意：P—ABCD是四棱錐，底面ABCD為平行四邊形，點(diǎn)M,N,Q分別是PA,BD,PD的中點(diǎn)，連接AC,二N是AC的中點(diǎn).??MN是三角形ACP的中位線，??MN/PC.(2)由(1)可得MN/PC.:M,Q分別是PA,PD的中點(diǎn)，??MQ是三角形ADP的中位線，??MQ/AD.又由AD/BC,???MQ/BC.由MQ/BC,MN/PC,BC<=平面PBC,PC<=平面PBC,BCHPC=C,同理MQu平面MNQ,MNu平面MNQ,MQAMN=M.??平面MNQ〃平面PBC.(2018-德州模擬)如圖，幾何體E—ABCD是四棱錐，△ABD為正三角形，CB=CD,CE±BD.(1)求證：BE=DE；(2)若NBCD=120°,M為線段AE的中點(diǎn)，求證：DM〃平面BEC.證明(1)如圖，取BD中點(diǎn)為0,連接OC,OE，則由BC=CD，知CO±BD.又CE±BD,ECACO=C,CO,ECu平面EOC,所以BD，平面EOC,所以BD±OE.又因?yàn)镺是BD中點(diǎn)，所以BE=DE.(2)如圖，取AB的中點(diǎn)N,連接DM,DN,MN,因?yàn)镸是AE的中點(diǎn)，所以MN/BE.又MN仁平面BEC,BEu平面BEC,所以MN〃平面BEC.15

又因?yàn)椤鰽BD為正三角形，所以NBDN=30°,又CB=CD,NBCD=120°,因此/CBD=30°.所以DN〃BC.又DN仁平面BEC,BCu平面BEC,所以DN〃平面BEC.又MNADN=N,故平面DMN〃平面BEC,又DMu平面DMN,所以DM〃平面BEC.必記結(jié)論⑴兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面.(2)夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段長(zhǎng)度相等.⑶經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.(4)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.(5)如果兩個(gè)平面分別和第三個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面互相平行..