第一章 空間向量與立體幾何 單元檢測-高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

第一章空間向量與立體幾何單元檢測一、單選題1．下列關于空間向量的說法中錯誤的是（

）A．零向量與任意向量平行B．任意兩個空間向量一定共面C．零向量是任意向量的方向向量D．方向相同且模相等的兩個向量是相等向量2．已知三棱錐中，點M，N分別為AB，OC的中點，且，，，則（

）A． B． C． D．3．如圖所示，二面角的棱上有A，B兩點，直線，分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于．已知，，，，則該二面角的大小為（

）A． B． C． D．4．在長方體中，若，則向量在基底下的坐標是（

）A． B． C． D．5．如圖，在三棱錐中，點為底面的重心，點是線段上靠近點的三等分點，過點的平面分別交棱，，于點，，，若，，，則（

）A． B． C． D．6．已知空間向量，，，若，則（

）A．2 B． C．14 D．7．已知，，則取最小值時的值是（

）A． B． C． D．8．《九章算術》是我國古代的數(shù)學名著，書中將底面為矩形，且有一條側棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖，在陽馬中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點，點G在線段AP上，AC與BD交于點O，，若平面，則（

）A． B． C． D．1二、多選題9．給出下列命題,其中正確的有（

）A．已知向量,則B．若向量共線,則向量所在直線平行或重合C．已知向量,則向量與任何向量都不構成空間的一個基底D．為空間四點,若構成空間的一個基底,則共面10．已知空間向量，.則下列結論正確的是（

）A．與，共面 B．C．在上的投影向量的模長是 D．與夾角的余弦值為11．已知空間中三點，則下列結論正確的有（

）A．B．與共線的單位向量是C．與夾角的余弦值是D．平面ABC的一個法向量是12．如圖所示，三棱錐中，為等邊三角形，平面，，.點D在線段上，且，點E為線段SB的中點，以線段BC的中點為坐標原點，OA，OB所在直線分別為x，y軸，過點作SA的平行線為z軸，建立空間直角坐標系，則下列說法正確的是（

）A．直線CE的一個方向向量為 B．點D到直線CE的距離為C．平面ACE的一個法向量為 D．點D到平面ACE的距離為1三、填空題13．正方體的棱長為2，若動點在線段上運動，則的取值范圍是___________．14．己知平行六面體中，，，，，則的長度為________．15．如圖，圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，為中點，動點P在圓錐底面內（包括圓周），若，則與底面所成角的正弦值的取值范圍是______.16．在正三棱錐中，，為的中點，為上靠近的三等分點，在平面上，且滿足，在的邊界上運動，則直線與所成角的余弦值的取值范圍是___________.四、解答題17．如圖所示，在正方體中，化簡向量表達式：(1)；(2)；(3).18．如圖，三棱柱中，M，N分別是上的點，且．設，，．(1)試用，，表示向量；(2)若，求MN的長．19．已知．(1)若，求的值．(2)若，且，求的值．20．如圖，在直四棱柱中，側棱的長為3，底面是邊長為2的正方形，是棱的中點.(1)證明：平面；(2)求平面與平面的夾角的正切值；(3)求點到平面的距離.21．如圖,在四棱雉P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,平面ABCD,,(1)求證:平面平面PBC;(2)試問在線段PC上是否存在一點M,使得二面角的大小為,若存在求出的值;若不存在,請說明理由．22．如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，側面是等邊三角形，.(1)求與平面所成角的正弦值；(2)設為側棱上一點，四邊形是過兩點的截面，且平面，是否存在點，使得平面平面？若存在，求出點的位置；若不存在，說明理由.答案1．C2．D3．C4．C5．D6．C7．D8．C9．AB10．ACD11．AD12．ABD13．14．515．16．17．（1）（2）由圖知，所以（3）由圖知，所以由（2）可得18．（1）解：，∴；（2）解：，，，，，即MN的長為.19．（1），．，，解得（2）由，得，∴

，由，有，即，，解得20．（1）根據(jù)題意，建立以為原點，分別以的方向為軸，軸，軸正方向得空間直角坐標系，因為側棱的長為3，底面是邊長為2的正方形，所以，因為是棱的中點，所以，所以,設平面的一個法向量為，所以，得，令，得，所以，因為,所以，因為平面，所以平面.（2）由（1）得平面的一個法向量為，由題可設平面的一個法向量為，所以，所以，所以，所以平面與平面的夾角的正切值為.（3）由（1）得平面的一個法向量為，所以，所以點到平面的距離為.所以點到平面的距離為.21．（1）證明:,,,四邊行為平行四邊形,,又平面,,而,且BD,PD含于面PBD平面,又平面,平面平面;（2）由(1)知,,且平面ABCD,故以D為原點,分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示空間直角坐標系,則,假設在存在一點滿足條件,設,,,即,設為平面的法向量,則,即,即,令,可得,平面ABCD,不妨令平面的法向量為,由二面角的大小為,,或（舍去）,存在實數(shù),即,解得,使得二面角的大小為．22．（1）證明：取棱AB長的一半為單位長度.則在中，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，根據(jù)余弦定理，得得，故AB⊥AC.又PB⊥AC，PB∩AB=B，平面PAB，AB平面PAB，故AC⊥平面PAB.又平面ABCD，AC⊥平面PAB，則平面ABCD⊥平面PAB.取AB中點H，連接PH，CH.因是等邊三角形，則PH⊥AB，又PH平面PAB，平面ABCD平面PAB，平面ABCD⊥平面PAB，故PH⊥平面ABCD.得∠PCH是CP與平面ABCD所成的角.在直角三角形中，，，.故，即為所求.（2）假設存在點Q，使得平面BEQF⊥平面PAD.如圖，以A為原點，分別以為x，y軸的正方向建立空間直角坐標系A-xyz，則，，設是平面PAD的法向量，