連續(xù)時間信號與系統(tǒng)頻域分析

第3章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的頻域分析3.1信號的正交分解3.4連續(xù)時間信號傅立葉變換的性質(zhì)及其應(yīng)用3.3非周期信號的的傅立葉變換3.2周期信號的的傅立葉級數(shù)3.5周期信號的傅立葉變換3.6調(diào)制與解調(diào)3.7線性時不變系統(tǒng)的頻域分析方法3.8無失真?zhèn)鬏?.9理想低通濾波器3.10佩利－維納準(zhǔn)則和實(shí)際濾波器§3.1 信號的正交分解3.1.1矢量的正交分解1.正交矢量

兩個矢量V1和V2正交的條件是兩個矢量的點(diǎn)積為零。

圖3.1-1兩個矢量正交

矢量分解上述矢量分解的概念可以推廣到n維空間。由n個相互正交的矢量組成一個n維的矢量空間，而正交矢量集{V1,V2,…，Vn}為n維空間的完備正交矢量集。n維空間的任一矢量V，可以精確地表示為這n個正交矢量的線性合即式中，Vi·Vj=0(i≠j)。第i個分量的系數(shù)3.1.2信號的正交分解設(shè)g1(t),g2(t)是定義在區(qū)間(t1,t2)的兩個實(shí)函數(shù)且滿足則這兩個函數(shù)在區(qū)間(t1,t2)正交，或它們是區(qū)間(t1,t2)正交函數(shù)。有一個定義在區(qū)間(t1,t2)實(shí)函數(shù)集{g1(t),g2(t)，…，gn(t)}在該集合中所有的函數(shù)滿足則這個集合為區(qū)間(t1,t2)上的正交函數(shù)集。3.1.3用正交函數(shù)集表示信號若在區(qū)間(t1,t2)找到一個完備的正交函數(shù){g1(t),g2(t)，…，gn(t)},在此區(qū)間的信號可以精確地用它們地線性組合來表示各分量的標(biāo)量系數(shù)為

如果用不完備的正交函數(shù)集來表示任意函數(shù)，則必然出現(xiàn)誤差。近似為顯然，應(yīng)選擇各系數(shù)使實(shí)際函數(shù)與近似函數(shù)之間的誤差在區(qū)間內(nèi)最小。這里所說的“誤差最小”不是指平均誤差最小，因?yàn)橛锌赡苷`差和負(fù)誤差在平均過程中相互抵消，以至不能正確反映兩函數(shù)的近似程度。通常選擇誤差的均方值最小?！?.2 周期信號的的傅立葉級數(shù)

3.2.1周期信號的傅里葉級數(shù)不難證明三角函數(shù)集在區(qū)間內(nèi)是一個完備的正交函數(shù)集，此函數(shù)集包括無窮多項(xiàng)。這樣我們就可以將一個周期為T的周期信號表示為這個正交函數(shù)集中各函數(shù)的線性組合。需要指出，這種表示對周期信號有一定要求，即周期信號應(yīng)滿足狄里赫利條件：(1)在一周內(nèi)連續(xù)或有有限個第一類間斷點(diǎn)；(2)一周內(nèi)函數(shù)的極值點(diǎn)是有限的；(3)一周內(nèi)函數(shù)是絕對可積的，即

對于任何一個周期為T的周期信號，都可以將它表示為三角函數(shù)集中各函數(shù)的線性組合，即：

上式稱為的三角形式傅里葉級數(shù)展開式

稱為基波角頻率

稱為基波頻率

是加權(quán)系數(shù)，稱為傅里葉系數(shù)

是加權(quán)系數(shù)，稱為傅里葉系數(shù)

三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的另外一種形式

稱為的基波分量

稱為二次諧波分量

稱為n次諧波分量

兩種三角形式系數(shù)的關(guān)系為

例已知周期信號畫出其頻譜圖將x(t)整理為標(biāo)準(zhǔn)形式(a)振幅圖；(b)相位圖利用歐拉公式可將三角形式的傅里葉級數(shù)表示為復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)可將上式簡寫為這樣x(t)的指數(shù)形式為該式稱為周期信號x(t)的指數(shù)型傅立葉級數(shù)，其中稱為傅立葉系數(shù)，簡寫為一般來說Xn是復(fù)常數(shù)可以表示成模和幅角的形式指數(shù)形式與三角形式系數(shù)之間的關(guān)系為3.2.2周期信號的功率譜周期信號的能量是無限的，而其平均功率是有界的，因而周期信號是功率信號。為了方便，往往將周期信號在1Ω電阻上消耗的平均功率定義為周期信號的功率。顯然，對于周期信號,無論它是電壓信號還是電流信號，其平均功率均為將x(t)表示成傅里葉級數(shù)并代入上式可得上式反映了周期信號的平均功率與離散譜之間的關(guān)系，稱為功率信號的帕塞瓦爾關(guān)系式。它表明：周期信號的平均功率等于直流、基波及各次諧波分量有效值的平方和；也就是說，時域和頻域的能量是守恒的。信號的幅頻特性決定了信號的平均功率分布規(guī)律，顯然，周期信號的功率譜也是離散譜。從周期信號的功率譜中可以直觀的看到平均功率在各頻率分量上的分布情況。信號波形相對于縱軸是對稱的3.2.3傅立葉級數(shù)系數(shù)與函數(shù)對稱的關(guān)系1、偶函數(shù)于是偶函數(shù)的傅立葉級數(shù)不含正弦項(xiàng)，只含余弦項(xiàng)和直流項(xiàng)。

2、奇函數(shù)信號波形相對于縱軸是反對稱的奇函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開式不含直流項(xiàng)和余弦項(xiàng)，只含正弦項(xiàng)。

3、半波像對稱函數(shù)如果函數(shù)波形沿時間軸平移半個周期并上下翻轉(zhuǎn)后得到的波形于原波形重合，

將代入第一個積分中，有

所以同理可得

可以看出，在其傅立葉級數(shù)展開式中只含奇次諧波而不含偶次諧波項(xiàng)。故半波像對稱函數(shù)又稱為奇諧數(shù)。另外還有所謂半波對稱函數(shù)，就是其波形平移半個周期后得到的波形于原波形重合的函數(shù)。3.2.4周期信號傅立葉級數(shù)的近似與傅立葉級數(shù)的收斂性

這一節(jié)來研究用傅氏級數(shù)表示周期信號的普遍性問題，即滿足什么條件的周期信號可以表示為傅里葉級數(shù)。1、最小均方近似一般來說，任意周期函數(shù)表示為傅立葉級數(shù)時需要無限多項(xiàng)才能完全逼近原函數(shù)。但在實(shí)際應(yīng)中，經(jīng)常采用有限項(xiàng)級數(shù)來代替無限項(xiàng)級數(shù)。顯然，選取有限項(xiàng)級數(shù)是一種近似的方法，所選項(xiàng)數(shù)越多，有限項(xiàng)級數(shù)越逼近原函數(shù)，也就是說，其方均誤差越小。誤差函數(shù)方均誤差取傅立葉級數(shù)的前項(xiàng)來逼近周期信號2、傅立葉級數(shù)的收斂條件周期信號展開傅立葉級數(shù)，必須滿足狄利克雷（Dirichlet）條件：條件1：在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個。條件2：在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個。條件3:在一周期內(nèi)，信號絕對可積3.2.5周期矩形脈沖信號的頻譜將x(t)展開成指數(shù)形式傅里葉級數(shù)

周期矩形脈沖信號的頻譜

周期信號頻譜具有以下幾個特點(diǎn)：第一為離散性，此頻譜由不連續(xù)的譜線組成，每一條譜線代表一個正弦分量，所以此譜稱為不連續(xù)譜或離散譜。第二為諧波性，此頻譜的每一條譜線只能出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍頻率上。第三為收斂性，此頻譜的各次諧波分量的振幅雖然隨的變化有起伏變化，但總的趨勢是隨著的增大而減小，當(dāng)時，。

不同τ值時周期矩形信號的頻譜(a)τ=T/5;(b)τ=T/10

不同T值時周期矩形信號的頻譜(a)T=5τ;(b)T=10τ

§3.3 非周期信號的的傅立葉變換

在時域可以看到，如果一個周期信號的周期趨于無窮，則周期信號將演變成一個非周期信號；反過來，任何非周期信號如果進(jìn)行周期性延拓，就一定能形成一個周期信號。我們把非周期信號看成是周期信號在周期趨于無窮時的極限，從而考查連續(xù)時間傅立葉級數(shù)在T趨于無窮時的變化，就應(yīng)該能夠得到對非周期信號的頻域表示方法。：周期信號非周期信號連續(xù)譜，幅度無限??；離散譜對非周期信號，不能再采用傅立葉級數(shù)的復(fù)振幅來表示其頻譜，而必須引入一個新的量－頻譜密度函數(shù)。下面我們由周期信號的傅立葉級數(shù)推導(dǎo)處傅立葉變換，從而引出頻譜密度函數(shù)的概念。03.3.1非周期信號傅立葉變換表示式的導(dǎo)出3.3.2典型非周期信號付立葉變換1、矩形脈沖信號幅度頻譜和相位頻譜為別為

2、單邊指數(shù)信號幅度頻譜：相位頻譜：3、雙邊指數(shù)函數(shù)從頻譜函數(shù)的定義式出發(fā)雙邊指數(shù)信號及其頻譜4、符號函數(shù)我們可用以下極限形式表示函數(shù)

另則，所以符號函數(shù)的頻譜為5、沖激函數(shù)6、直流信號

比照單位沖激函數(shù)的傅立葉變換，由傅立葉逆變換容易求得所以7、階躍函數(shù)§3.4連續(xù)時間信號傅立葉變換的性質(zhì)及其應(yīng)用

3.4.1線性性質(zhì)若則3.4.2尺度變換性質(zhì)意義(1)

0<a<1時域擴(kuò)展，頻帶壓縮。(2)a>1時域壓縮，頻域擴(kuò)展a倍。

證明見下頁尺度變換性質(zhì)證明綜合上述兩種情況因?yàn)?.4.3奇偶虛實(shí)性實(shí)際存在的信號都是實(shí)信號,虛信號是我們?yōu)榱藬?shù)學(xué)運(yùn)算上的方便而引入的?，F(xiàn)在研究時間函數(shù)與其頻譜之間的奇偶虛實(shí)關(guān)系。由傅立葉變換的定義有根據(jù)歐拉公式得設(shè)則顯然1、是實(shí)函數(shù)顯然

偶函數(shù)

此時可見，若是實(shí)偶函數(shù)，必為的實(shí)偶函數(shù)。

奇函數(shù)

此時可見，若是實(shí)奇函數(shù)，必為的虛奇函數(shù)。

1、是虛函數(shù)顯然在這種情況下，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，而仍是偶函數(shù)，仍是奇函數(shù)。此外，無論是實(shí)函數(shù)還是復(fù)函數(shù)，都具有以下性質(zhì)3.4.4時移特性若

則

證明：因?yàn)樗约?.4.5頻移特性若

則

證明：令所以同理則

3.4.6對偶性質(zhì)證明：

將變量t與ω互換，得到則所以3.4.7時域微分特性若

則

證明：已知兩邊分別對求微分，得交換微分和積分的順序，可得所以此性質(zhì)可推廣到高階導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換3.4.8時域積分特性若

則特別地，當(dāng)

時，

3.4.9頻域微分特性若

，則一般頻域微分特性的實(shí)用形式為3.4.10頻域積分特性，則若3.4.11時域卷積特性，則若兩個時間函數(shù)卷積的頻譜等于各個時間函數(shù)頻譜的乘積，即在時域中兩信號的卷積等效于在頻域中頻譜相乘。時域卷積定理的證明因此所以卷積定義交換積分次序時移性質(zhì)3.4.12頻域卷積特性，則若

兩時間函數(shù)頻譜的卷積等效于兩函數(shù)的乘積，或者說兩個時間信號乘機(jī)的頻譜等于兩個信號頻譜函數(shù)的卷積乘以。顯然時域與頻域卷積定理是對稱的，這由傅立葉變換的對偶特性所決定。頻域卷積定理有時也稱為時域相乘定理。

3.4.13帕塞瓦爾定理，則若

它表明周期信號在時域中的功率等于該信號在頻域中各分量功率之和，即信號在時域和在頻域的功率是守恒的。一般來說，非周期信號不是功率信號，其平均功率為零，但其能量為有限量，因而是一個能量信號。

§3.5周期信號的傅立葉變換由歐拉公式由頻移性質(zhì)3.5.1正弦信號的傅里葉變換同理已知余弦信號的頻譜

由傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式出發(fā)：其傅氏變換(用定義)3.5.2一般周期信號的傅里葉變換周期信號的頻譜由無限多個沖激函數(shù)組成，各沖激函數(shù)位于周期信號的各次諧波處，且沖激強(qiáng)度為的倍tt假設(shè)單脈沖信號

是從周期脈沖信號

中提取出的一個周期在

內(nèi)，

和相同，所以

周期信號的傅里葉級數(shù)的系數(shù)等于單脈沖信號的傅里葉變換在頻率點(diǎn)的值乘以

。所以可利用單脈沖的傅里葉變換方便求出周期性信號的傅里葉級數(shù)的系數(shù)。

§3.6調(diào)制與解調(diào)3.6.1調(diào)制的性質(zhì)無線電通信系統(tǒng)是利用空間輻射方式把信號從發(fā)送端傳送到接收端。根據(jù)電磁波理論，發(fā)射天線尺寸為被發(fā)射信號波長的十分之一或更大些，信號才能有效地被發(fā)射出去。例如，要發(fā)射一個300KH的音頻信號（其波長為103km那么就必須要用100km長的天線，實(shí)際上這是無法實(shí)現(xiàn)的。另外，大氣層對音頻信號迅速衰減，對較高頻率的信號則能傳播很遠(yuǎn)的距離。因此，要通過大氣層遠(yuǎn)距離傳送語音信號，就需要用極高頻率的載波信號來攜帶被傳送的語音信號，這就是調(diào)制。從另一方面講，如果不進(jìn)行調(diào)制就把被傳送的信號直接輻射出去，那么各電臺所發(fā)出的信號由于頻率相同而混在一起，接收端將無法選擇要接收的信號。調(diào)制作用的實(shí)質(zhì)就是把各種信號的頻譜搬移，它們互不重疊地占據(jù)不同的頻率范圍，從而實(shí)現(xiàn)在同一信道內(nèi)同時傳送多路信號的多路復(fù)用。3.6.2連續(xù)時間正弦幅度調(diào)制及其應(yīng)用幅度調(diào)制頻移性質(zhì)將已調(diào)信號恢復(fù)成原來的調(diào)制信號的過程。本地載波，與發(fā)送端載波同頻同相調(diào)制信號載波信號抑制載波調(diào)幅調(diào)幅解調(diào)§3.7線性時不變系統(tǒng)的頻域

分析方法則依卷積定理有3.7.1系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)令所以1用微分方程表征的系統(tǒng)對上式兩端同時求傅立葉變換，由時域微分性質(zhì)，可得

所以例已知描述線性時不變系統(tǒng)的常系數(shù)微分方程為求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。

對方程兩端同時求傅立葉變換，可以得到所以2單位沖激響應(yīng)函數(shù)描述的系統(tǒng)

這種情況下先求出系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，然后對單位沖激響應(yīng)求傅里葉變換。

例設(shè)某線性時不變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為

求該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)

根據(jù)傅立葉變換的定義有則依卷積定理有3.7.2系統(tǒng)的頻域分析令所以例已知系統(tǒng)函數(shù)求該系統(tǒng)在激勵

下的零狀態(tài)響應(yīng)

解：激勵的傅立葉變換所以§3.8無失真?zhèn)鬏斠活愂蔷€性失真，它包括兩方面。一是振幅失真：系統(tǒng)對信號中各頻率分量的幅度產(chǎn)生不同程度的衰減（放大），使各頻率分量之間的相對振幅關(guān)系發(fā)生了變化。二是相位失真：系統(tǒng)對信號中各頻率分量產(chǎn)生的相移與頻率不成正比，使各頻率分量在時間軸上的相對位置發(fā)生了變化。這兩種失真都不會使信號產(chǎn)生新的頻率分量。另一類是非線性失真，是由信號通過非線性系統(tǒng)產(chǎn)生的，特點(diǎn)是信號通過系統(tǒng)后產(chǎn)生了新的頻率分量。所謂無失真?zhèn)鬏斒侵疙憫?yīng)信號與激勵信號相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時間的先后不同，而沒有波形上的變化幾點(diǎn)認(rèn)識：●要求幅度為與頻率無關(guān)的常數(shù)K，系統(tǒng)的通頻帶為無限寬?！裣辔惶匦耘c成正比，是一條過原點(diǎn)的負(fù)斜率直線?！癫皇д娴木€性系統(tǒng)其沖激響應(yīng)也是沖激函數(shù)。例§3.9理想低通濾波器●的低頻段內(nèi)，傳輸信號無失真()?！駷榻刂诡l率，稱為理想低通濾波器的通頻帶，簡稱頻帶。

即3.9.1理想低通濾波器的頻率特性和沖激響應(yīng)由對稱性可以從矩形脈沖的傅氏變換式得到同樣的結(jié)果。激勵響應(yīng)3.9.2理想低通濾波器的階躍響應(yīng)1.下限為0；2.奇偶性：奇函數(shù)。3.最大值出現(xiàn)在最小值出現(xiàn)在

正弦積分2．階躍響應(yīng)的上升時間tr

與網(wǎng)絡(luò)的截止頻率