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第二節(jié)換元積分法一、第一類換元法二、第二類換元法三、小結(jié)思考題問題?解決方法利用復(fù)合函數(shù),設(shè)置中間變量.過程令一、第一類換元法在一般情況下:設(shè)則如果(可微)由此可得換元法定理(第一類換元公式:湊微分法)定理1
公式(1)的目的是將左邊的積分在變量代換
u=(x)下,轉(zhuǎn)化為右邊的積分來計(jì)算。
如何用公式(1)來求不定積分?關(guān)鍵是尋找適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Qu=(x),這要根據(jù)具體問題具體分析。
在積分式中dx
可以看作是對(duì)積分變量x
的微分。例1
求解(一)解(二)解(三)例2
求解一般地例3
求解例4
求解例5
求解例6
求解一:解二:例6
求思考題:為什么兩種方法所得結(jié)果不一樣?解一:例7
求解說明當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí),拆開奇次項(xiàng)去湊微分.例8
求解例9
求解:類似地可推出例10
求解(一)(使用了三角函數(shù)恒等變形)類似地可推出解(二)例10
求例11求解:例12積分公式問題解決方法改變中間變量的設(shè)置方法.過程令(應(yīng)用“湊微分”即可求出結(jié)果)二、第二類換元法注意:上面所用的變量代換形式為:一般地,設(shè)所求積分為令x=(t)則d
x=(t)dt,得換元公式然后計(jì)算出右邊的積分,設(shè)為x=(t)要單調(diào)可導(dǎo)
第一類換元公式
第二類換元公式兩類換元公式的比較例13
求解令例14
求解令例14求解令說明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下:當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令例15求解:倒代換令所以例15求解:倒代換令當(dāng)x<0時(shí)有相同的計(jì)算結(jié)果所以
積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換并不是絕對(duì)的,需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定.說明(2)例16求解一:令解二:令例16求例17
求解:令說明(3)當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時(shí),可采用令(其中為各根指數(shù)的最小公倍數(shù))例18
求解令三、小結(jié)
第一類換元公式
第二類換元公式
積分公式表(2)
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