第四章第二節(jié)換元公式

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第二節(jié)換元積分法一、第一類換元法二、第二類換元法三、小結(jié)思考題問題？解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過程令一、第一類換元法在一般情況下：設(shè)則如果（可微）由此可得換元法定理(第一類換元公式:湊微分法）定理1

公式（1）的目的是將左邊的積分在變量代換

u=(x)下，轉(zhuǎn)化為右邊的積分來計算。

如何用公式（1）來求不定積分？關(guān)鍵是尋找適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Qu=(x),這要根據(jù)具體問題具體分析。

在積分式中dx

可以看作是對積分變量x

的微分。例1

求解（一）解（二）解（三）例2

求解一般地例3

求解例4

求解例5

求解例6

求解一：解二：例6

求思考題：為什么兩種方法所得結(jié)果不一樣？解一：例7

求解說明當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，拆開奇次項去湊微分.例8

求解例9

求解：類似地可推出例10

求解（一）（使用了三角函數(shù)恒等變形）類似地可推出解（二）例10

求例11求解：例12積分公式問題解決方法改變中間變量的設(shè)置方法.過程令（應(yīng)用“湊微分”即可求出結(jié)果）二、第二類換元法注意：上面所用的變量代換形式為：一般地，設(shè)所求積分為令x=(t)則d

x=(t)dt，得換元公式然后計算出右邊的積分，設(shè)為x=(t)要單調(diào)可導(dǎo)

第一類換元公式

第二類換元公式兩類換元公式的比較例13

求解令例14

求解令例14求解令說明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令例15求解：倒代換令所以例15求解：倒代換令當(dāng)x<0時有相同的計算結(jié)果所以

積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定.說明(2)例16求解一：令解二：令例16求例17

求解：令說明(3)當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時，可采用令（其中為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）例18

求解令三、小結(jié)

第一類換元公式

第二類換元公式

積分公式表（2）

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