大一上-高數(shù)二課堂

二若x1是函數(shù)fx)

x3ax(xc

則a ;b ;c

f(x) x3ax(xc xc

所以，c由于x1是函數(shù)f(x) x3axb的可去間斷點(diǎn)(x1)2 lim x3axb存在x (x1)x必有l(wèi)im( axb)x x 1 ab ab1

lim x

ax18x(xx而lim x

a(x1)x(xxx x3a(x1) x3a(x1)x

a(x1)8)(x16(x3)(a(x1) x1

x3a(x1)8)(x(x1)(1616aa2(x x1

x3a(x1)8)(x xx3a(x1)8)(x

1616aa2(x

也存所以1616a0,即a1.所以b 即a1,b7,c 若k0證明直線ykxh與曲線ysinx證明：設(shè)f(x)kxhsin 則f(x)在(,)上連續(xù)取

hk

和x

2k則f(x)k(h2)hsin ＝h2hsin

2sin

f(x)k(2h)hsin ＝2hhsin

2sin

在x1x2上應(yīng)用零值定f(0.也就是，直線ykxhysinx至少有一個(gè)交點(diǎn) 十二設(shè)函數(shù)f(x)在[0,6]上連續(xù)，且f(0) f(6),證明存在[0,3使得f(f(存在[0,4使得f(f(存在[0,5使得f(f((1)設(shè)Fxfxfx則F(0) f(0) f(3F(3) f(3)f(6 f(3)f(0若f(0)f(3)＝0若f(0)f(3)F(0)F(3)[f(0f(3)]2由零值定理，存在(0,3),使得F()0,即f() f( (2)設(shè)F(x) f(x)f(x2)則(2)設(shè)F(x) f(x)f(x2)F(2) f(2)f(4 F(4) f(4)f(6

F(0)F(2)F(4)若F(0),F(2),F(4)中有一個(gè)為零，結(jié)論 若F(0),F(2),F(4)中無一個(gè)為零，則至 另一個(gè)為負(fù)，不妨設(shè)F(0F(4)一個(gè)為正，一個(gè)為負(fù)，必有F(0)F(4)0故存在(0,4使得F(0,即f(f(綜合以上討論，知結(jié)論成立。 設(shè)f(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，對(duì)

任意的正數(shù)

fxLfx) 容易看出若方程f(xL)f(x)有一個(gè)根，就有無窮 個(gè) 由于f(x)是以T為周期的連續(xù)函則fx)在[0T] 的最大最小值 設(shè)在[T,0]上在a處取到最小 m在[0T]b處取到最大值M在[ab]上，F(xiàn)xfxLfx)連續(xù)，且F(a)f(aLf(a)0F(b)f(bL)f(b)若F(a)0或F(b)0中有一個(gè)成立，則結(jié)論已經(jīng)成立；否則F(a)F(b0由零值定理，存在(ab)使得F(即為方程f(xL)f(x)的解。 例1. f 在x2處連續(xù),且limf(x)x2x求f(2)解 f(2)limf(x)lim[(x2) f(x)]

(xf(2)limf(x)f xlimf(x)x2x f(x)

x例2

x

且連續(xù)函數(shù)x)滿(0(00求f f(0)limf(x)f

(x)coslim x

lim(x)(0)cos1 x 1e例 f(x)

x0討論fx)的連續(xù)性。x02 2 當(dāng)x0時(shí)，f(x)

2x2ex1exf(0)x0

f(x)fx

1e2x22

(x2x f(x)

2x2e

1ex2

x x當(dāng)x0時(shí)，fx)連續(xù) lim

(x)

2x2ex1ex2elim(2e2e

x

1) x1ffx)在x0fx) 例4.

f(x)

x2en(x

ax en(x1)試確定常數(shù)ab使f(x處處可導(dǎo),并求fx).解 f(x)

axb21(ab2

xxx2 xx1時(shí) f(x)a;x1，f(x)2x.利用fx在x1f(10)f(10)ff(1)

ab11(ab2 a2 f(x)

axb21(ab1)2x2

xxxx1時(shí),f(x)a x1時(shí)f(x) a2,b1, f(1)f(x)2

x2x2x判別

fx) 例4.x0時(shí)gx有定義且g(x)存在問怎樣選擇a,bc可使下述函數(shù)在x0處有二階導(dǎo)數(shù).ax2bxc xf(x)

g(x) x解由題設(shè)f(0)存在fx)在x0連續(xù)即f(00f(00f(0), c利用f(0) f(0)

g(x)

x

(0)x0

(ax2bxc)g(0)x

bf(x)c

ax2bxc xg(x) xb利用f(0) f(0)

x f(0)lim(2axb)b x0 a1g

x 二、導(dǎo)數(shù)（微分）的求

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法 逐次求導(dǎo)歸納間接求導(dǎo)法;利 公式 例5.

yesinxsinexf(arctan1其中f(x)x dy sinexd(esinx)esinxd(sinexx f(arctan1)d(arctan1 esinxcosexd(exf(arctan1) d(1 1 2x2esinx(cosxsinexexcosex) f(arctan1)1x ydyd 練習(xí)五/（1）設(shè)f(x)=|x|g(x)，g(x)在x=0連續(xù)，f(x)在x=0點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件是(A)g(x)在x0可導(dǎo)，且g(x) Bgx)在x0可導(dǎo)，且gx)不一定等于 (Cg(0),g(0)都存在，不一定相(D)g(0)f(0)

f(0x)f(0) |x|g(x)g(0) x

x0

f(0x)f(0)

|x|g(x)

一若函數(shù)f(x)可導(dǎo),F(x) f(x)(1sinx則f(0)0是F(x)在x0點(diǎn)可導(dǎo)的 A).充要條件B).充分條件但非必要條件(C).必要條件但非充分條件D)既非充分條件.也非必要條件分析:F(0) limF(x)Fx0 xlimf(x)f(0)f(x)(sinx)f(0)fx0 x F(0)limF(x)F xlimf(x)f(0)f(x)sinxf(0)fx0 x Fx)在x0F(0)f(0)f(0)f(0)ff(0) (3函數(shù)g(x)可導(dǎo),yg(x)和yf(x)的圖形對(duì)稱且已知f32,

g(2)

(x)g f2(3x3則(1) 3分析

QQf(3)1g(2)(反函數(shù)導(dǎo)數(shù)f(x) g(y'(x)g(2

f2(3x))

f2(3x) g( (3x))f(3x)f(3x)3'(x)

x

g(1f2(3))f(3)f(3)3

g(2)f(3)

g(2) 練xt(1t) 求曲線

在對(duì)t0處的切線 y1 t0時(shí)，對(duì)應(yīng)x ydx1

d dteyy10

tt求導(dǎo) y

dy

dy e

e1

tey1

dtt于是dy

t

e1 所以切線方程

y1e1

y1x 六求極坐六求極坐標(biāo)1上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處切y2

x1解

化為直角坐標(biāo)方程 則

1

y

cos

1sincos

sincos 切線方程 y22dx 2即xy 證明極坐標(biāo)系下曲線e上任一點(diǎn)P處切線PT與該點(diǎn)處的極徑OP夾定角.TOx證明設(shè)切線PT與OPTOx,則有 即tantan(xecosy sine化為直y sin

(esin cos 1 (ecos cos 1tantan(4 TOx則 tantan(TOxtantan1tantan() 1tan()4tan[()4tan4

即切PTOP夾定。。九九xya2a0xyx0)條坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為定2證明y2x2

求導(dǎo)

y2x22

Yy

(X曲線xya 在點(diǎn)(x,y)處切線方程為令X0得切線在y軸上的截距為

22Yy xx2令Y0得切x軸上的截距

X

則切線與兩條坐標(biāo)軸所圍成的三角形SS |X||Y|21 x2y2(x)(y ) 2xya1x2x2

為定值 十 證明曲線L:x2y2a2(a0)上任一點(diǎn)處的切線在兩條標(biāo)軸上截距之和為定 證明x2y2a2兩邊x求導(dǎo)

y yx解 y 曲線在 yx

,

)處的切線方y(tǒng)y0 (xx

所以