自動(dòng)控制理論-chapt

第五節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系

頻率特性法是通過(guò)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性和閉環(huán)頻率特性的頻域性能指標(biāo)間接地表征系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的性能。一、開(kāi)環(huán)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系二、閉環(huán)頻率特性與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系第五章頻率特性法

常將開(kāi)環(huán)頻率特性分成低、中、高三個(gè)頻段。一、開(kāi)環(huán)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系L(ω)/dBω-40dB/dec-40dB/dec-20dB/decωcω2ω1低頻段高頻段中頻段0第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系—低頻段的斜率1．低頻段

低頻段開(kāi)環(huán)增益K

越大，積分環(huán)節(jié)數(shù)越多，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能越好。低頻段反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。G(s)=sνKG(jω)=(jω)νK低頻段由積分環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)構(gòu)成：

ν—低頻段的高度K第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系低頻段的對(duì)數(shù)頻率特性為：L(ω)=20lgA(ω)=20lgωvK=20lgK-v·20lgωωL(ω)/dB0KKνK對(duì)數(shù)幅頻特性曲線ν=0ν=1ν=2-20ν

對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的位置越高，開(kāi)環(huán)增益K越大，斜率越負(fù)，積分環(huán)節(jié)數(shù)越多。系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能越好。第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系2.中頻段

穿越頻率ωc附近的區(qū)段為中頻段。它反映了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的平穩(wěn)性和快速性。（1）穿越頻率ωc與動(dòng)態(tài)性能的關(guān)系

設(shè)系統(tǒng)中頻段斜率為20dB/dec且中頻段比較寬，如圖所示?？山普J(rèn)為整個(gè)曲線是一條斜率為-20dB/dec的直線。第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系中頻段對(duì)數(shù)幅頻特性曲線0+20-20dB/decωcωL(ω)/dB-20開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：

G(s)≈=SKSωc閉環(huán)傳遞函數(shù)為：==SωcSωc11+S+1ωc1Φ(s)=G(s)1+G(s)相當(dāng)于一階系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間：ωcts≈3T=3

在一定條件下，ωc越大，ts就越小，系統(tǒng)響應(yīng)也越快。此時(shí)，穿越頻率ωc

反映了系統(tǒng)響應(yīng)的快速性。第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系（2）中頻段的斜率與動(dòng)態(tài)性能的關(guān)系

設(shè)系統(tǒng)中頻段斜率為-40dB/dec，且中頻段較寬，可近似認(rèn)為整個(gè)曲線是一條斜率為-40dB/dec的直線。0ωL(ω)/dB-40dB/dec+20-20ωc第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系

G(s)≈=S2KS2ωc2開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：S2ωc2

Φ(s)=G(s)1+G(s)=S2ωc2

1+ωc2S2+ωc2

=系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

中頻段斜率為-40dB/dec，所占頻率區(qū)間不能過(guò)寬，否則系統(tǒng)平穩(wěn)性難以滿足要求。通常，取中頻段斜率為-40dB/dec。第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系例最小相位系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線如圖,試分析中頻段與系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性的關(guān)系。L(ω)/dBωω1-20dB/dec0ω2-40dB/decω3ωc-40dB/dec解：(1)曲線如圖G(jω)=K(1+jωω2)jω(1+jωω1)ωω3)(1+j對(duì)應(yīng)的頻率特性:φ(ωc)=-90o-tg-1cωω1cωω3+tg-1cωω2-tg-1設(shè)：cωω==33cωω2tg-1cωω2-tg-13=72otg-1cωω3-tg-113=18oω1的變化范圍0～ω2,可求得:γ=72o～54oφ(ωc)=-108o～-126o第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系L(ω)/dBωω1-20dB/dec0ω2-60dB/decω3ωc-20dB/dec(2)曲線如圖-40dB/dec對(duì)應(yīng)的頻率特性:2G(jω)=K(1+jωω2)jω(1+jωω1)ωω2)(1+j2同樣的方法可得:γ=72o～36oφ(ωc)=-108o～-144o第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系(3)曲線如圖L(ω)/dBωω1-20dB/dec0ω2-60dB/decωc-40dB/dec對(duì)應(yīng)的頻率特性:G(jω)=K(1+jωω2)jω(1+jωω1)2同樣的方法可得:γ=18o～-18oφ(ωc)=-162o～-198o3．高頻段

高頻段反映了系統(tǒng)對(duì)高頻干擾信號(hào)的抑制能力。高頻段的分貝值越低，系統(tǒng)的抗干擾能力越強(qiáng)。高頻段對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的小時(shí)間常數(shù)，對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能影響不大。L(ω)=20lg|G(jω)|<<0|G(jω)|<<1≈|G(jω)||1+G(jω)||G(jω)||Φ(jω)|=一般即第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系4．二階系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性與動(dòng)態(tài)性能的關(guān)系開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：G(s)=ωn2S(S+2ζωn)G(jω)=ωn2jω(jω+2ζωn)A(ω)=ωn2ωω2+(2ζωn)2φ(ω)=-90o-tg-1ω2ζωn第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系時(shí)域法中：頻域法中：二階系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線σ%—系統(tǒng)的平穩(wěn)性ts

—系統(tǒng)的快速性

γωcγωc-1800ωωΦ(ω)L(ω)/dB-20dB/dec-40dB/dec-900ξωn2—系統(tǒng)的快速性—系統(tǒng)的平穩(wěn)性第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系（1）相位裕量γ和超調(diào)量σ%之間的關(guān)系得A(ωc)==1ωn2ωcωc2+(2ζωn)2ωc4+4ζ2ωn2ωc2-ωn4=0ωc=ωn4ζ4+1-2ζ2γ=180o+φ(ωc)=180o-90o-tg-1ωc2ζωn

=tg-14ζ4+1-2ζ22ζωc2ζωn=tg-1

當(dāng)0<ζ<0.707時(shí)，可近似地視為ζ每增加0.1,γ增加10oγ(ωc)=100ζσ%=e1-ζ2-ζπ/100%

相位裕量γ越大，超調(diào)量σ%越小；反之亦然。第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系ξσ%γ0.20.40.60.81.002040608010012014001020304050607080ζ與γ、ζ與σ%之間的關(guān)系曲線第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系（2）ωc、γ與ts之間的關(guān)系根據(jù)：

調(diào)節(jié)時(shí)間ts與ωc以及γ有關(guān)。γ不變時(shí)，穿越頻率ωc

越大，調(diào)節(jié)時(shí)間越短。整理得ts=ζωn3ts·ωc=

4ζ4+1-2ζ2ζ3ts·ωc=tgγ6第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系例采用頻率法分析隨動(dòng)系統(tǒng)的性能，求出系統(tǒng)的頻域指標(biāo)ωc、γ和時(shí)域指標(biāo)

σ%、ts。S(0.5S+1)20θr(s)θc(s)–第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系解：（1）隨動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)如圖可得：對(duì)數(shù)頻率特性曲線

系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)S(0.5S+1)20G(s)=第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系ωc≈6.3≈10.5ωc220γ=180o+φ(ωc)=180o-90o-tg-10.5×6.3=90o-72.38o=17.62ots=ωctgγ6=3s6.3L(ω)/dBω2-20dB/dec-40dB/decω0204026-900-180Φ(ω)γξ=γ/100=0.176σ%=e1-ζ2-ζπ/100%=57%4-2=6.5ωcωn=ζ2ζ4+1第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系（2）在前向通道中加入比例微分環(huán)節(jié)1)τ=0.01系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)S(0.5S+1)20(0.01S+1)G(s)=S(0.5S+1)20θr(s)θc(s)–τs+1對(duì)數(shù)頻率特性曲線可得：ωc≈6.3≈10.5ωc220γ=180o-90o-tg-10.5×6.3+tg-10.01×6.3=90o-72.38o+3.6o=21.22oξ=γ/100=0.214-2=6.59ωcωn=ζ2ζ4+1σ%=51%ts=2.4s

加入比例微分環(huán)節(jié)后,系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間有所縮短,超調(diào)量減小。穩(wěn)定裕量增加,但穿越頻率變化不大.L(ω)/dBω2-20dB/dec-40dB/decω0204026-900-180Φ(ω)100-20dB/dec6.3γ第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系2)τ=0.2系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)S(0.5S+1)20(0.2S+1)G(s)=對(duì)數(shù)頻率特性曲線ωc≈8≈10.5ωc220×0.2ωcγ=180o-90o=90o-75.96o+58o=72o-tg-10.5×8+tg-10.2×8由于ξ＞0.7γ＞70o只能通過(guò)閉環(huán)傳遞函數(shù)求性能指標(biāo):S2+10S+4040(0.2S+1)φ(s)=ξ=0.79σ%=1.7%ts=ωn1(6.45ξ-1.7)=0.54sL(ω)/dBω2-20dB/dec-40dB/decω0204026-900-180Φ(ω)5-20dB/dec6.3γ系統(tǒng)響應(yīng)加快,穩(wěn)定裕量增加。二、閉環(huán)頻率特性與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系

根據(jù)開(kāi)環(huán)頻率特性來(lái)分析系統(tǒng)的性能是控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的一種主要方法，它的特點(diǎn)是簡(jiǎn)便實(shí)用。但在工程實(shí)際中，有時(shí)也需了解閉環(huán)頻率特性的基本概念和二階系統(tǒng)中閉環(huán)頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系。第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系

已知G(jω)曲線上的一點(diǎn)，便可求得Φ(jω)曲線上的一點(diǎn)，用這種方法逐點(diǎn)繪制出閉頻率特性曲線。

閉環(huán)頻率特性及頻域指標(biāo)閉環(huán)傳遞函數(shù)為Φ(s)=G(s)1+G(s)G(jω)1+G(jω)Φ(jω)==M(ω)ejαω閉環(huán)頻率特性：第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系（1）零頻幅值Moω=0的閉環(huán)幅值Mo=1時(shí)，輸出與輸入相等，沒(méi)有誤差。系統(tǒng)的閉環(huán)頻率指標(biāo)主要有：Mo=M(ω)=M(0)ωM(ω)MmM00.707M(0)0ωrωb

閉環(huán)幅頻特性曲線（2）諧振峰值MrMγ=MmMo幅頻最大值與零頻幅值之比。諧振峰值反映了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性（3）諧振頻率ωr

閉環(huán)峰值出現(xiàn)時(shí)的頻率。在一定的程度上反映了系統(tǒng)的快速性。（4）帶寬頻率ωb

幅頻值降到0.707M0時(shí)的頻率。M(ωb)=0.707M0第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系2．二階系統(tǒng)閉環(huán)頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)式閉環(huán)頻率特性Φ(jω)=(jω)2+2ζωn(jω)+ωn2ωn2s2+2ζωns+ωn2ωn2Φ(s)=C(s)R(s)==1ωn2ω2ωωn)+j2ζ