2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（藝考）第04講 隨機(jī)事件、頻率與概率高頻考點(diǎn)（解析版）

文檔來(lái)源網(wǎng)絡(luò)僅供參考侵權(quán)刪除第04講隨機(jī)事件、頻率與概率(精講）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：典型例題剖析題型一：隨機(jī)事件題型二：隨機(jī)事件之間關(guān)系的判斷題型三：隨機(jī)事件的頻率與概率題型四：互斥事件與對(duì)立事件及其概率第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：概率與頻率一般地,隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大,頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小,即事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件發(fā)生的概率.我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此,我們可以用頻率來(lái)估計(jì)概率.

知識(shí)點(diǎn)二：事件的運(yùn)算定義符號(hào)表示圖示并事件事件與事件至少一個(gè)發(fā)生，稱這個(gè)事件為事件與事件的并事件（或和事件）或者交事件事件與事件同時(shí)發(fā)生，稱這個(gè)事件為事件與事件的交事件（或積事件）或者知識(shí)點(diǎn)三：事件的關(guān)系定義符號(hào)表示圖示包含關(guān)系一般地，若事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，稱事件包含事件(或事件包含于事件)(或)互斥事件一般地，如果事件與事件不能同時(shí)發(fā)生，也就是說(shuō)是一個(gè)不可能事件，即，則稱事件與事件互斥(或互不相容)對(duì)立事件一般地，如果事件和事件在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生，即，且，那么稱事件與事件互為對(duì)立，事件的對(duì)立事件記為，且.第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析題型一：隨機(jī)事件典型例題例題1．（2022·甘肅·張家川回族自治縣第二高級(jí)中學(xué)高一期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．某事件發(fā)生的頻率為B．不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1C．小概率事件就是不可能發(fā)生的事件，大概率事件就是必然要發(fā)生的事件D．某事件發(fā)生的概率是隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化的【答案】B【詳解】解：對(duì)于A，事件發(fā)生的頻率為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1，故B正確；對(duì)于C，小概率事件是指發(fā)生可能性極小的事件，是可能發(fā)生的，并不是不可能發(fā)生的事件，大概率事件就是發(fā)生可能性很大的事件，也可能不發(fā)生，并不是必然要發(fā)生的事件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，概率是穩(wěn)定值，是頻率的理想值，并不會(huì)隨著頻率變化而變化，故與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)，故D錯(cuò)誤.故選：B.例題2．（2022·浙江·三門啟超中學(xué)高二階段練習(xí)）下面四個(gè)選項(xiàng)中，是隨機(jī)現(xiàn)象的是（

）A．守株待兔 B．水中撈月 C．流水不腐 D．戶樞不蠹【答案】A【詳解】A為隨機(jī)現(xiàn)象，B為不可能現(xiàn)象，CD為必然現(xiàn)象.故選：A例題3．（2022·陜西渭南·高一期末）下列事件中，是隨機(jī)事件的是（

）①經(jīng)過(guò)有交通信號(hào)燈的路口，剛好是紅燈；②投擲2顆質(zhì)地均勻的骰子，點(diǎn)數(shù)之和為14；③拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，字朝上；④13個(gè)人中至少有2個(gè)人的生日在同一個(gè)月.A．①③ B．③④ C．①④ D．②③【答案】A【詳解】解：由題可知，①③可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，是隨機(jī)事件；對(duì)于②，骰子最大的點(diǎn)數(shù)為6，2顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和不可能為14，故②是不可能事件；對(duì)于④，每年有12個(gè)月，13個(gè)人中至少有2個(gè)人的生日在同一個(gè)月，故④是必然事件.故選：A.例題4．（2022·黑龍江·海林市朝鮮族中學(xué)高二階段練習(xí)）以下事件是隨機(jī)事件的是（

）A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到，必會(huì)沸騰 B．走到十字路口，遇到紅燈C．長(zhǎng)和寬分別為的矩形，其面積為 D．實(shí)系數(shù)一元一次方程必有一實(shí)根【答案】B【詳解】解：A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100℃必會(huì)沸騰，是必然事件；故本選項(xiàng)不符合題意；B．走到十字路口，遇到紅燈，是隨機(jī)事件；故本選項(xiàng)符合題意；C．長(zhǎng)和寬分別為的矩形，其面積為是必然事件；故本選項(xiàng)不符合題意；D．實(shí)系數(shù)一元一次方程必有一實(shí)根，是必然事件．故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．例題5．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）甲?乙兩名飛行員進(jìn)行飛機(jī)著陸訓(xùn)練，表示事件“甲降落至指定地點(diǎn)”，表示“乙降落至指定地點(diǎn)”.試用，的運(yùn)算表示下列隨機(jī)事件：(1)甲或乙降落至指定地點(diǎn)；(2)甲和乙都降落至指定地點(diǎn)；(3)甲降落至指定地點(diǎn)，但乙沒(méi)有降落至指定地點(diǎn)；(4)甲?乙兩人都沒(méi)有降落至指定地點(diǎn)；(5)甲?乙至少有一人降落至指定地點(diǎn).【答案】(1)(2)AB(3)(4)(5)（1）解：甲或乙降落至指定地點(diǎn)即事件或事件發(fā)生，故可表示為.（2）解：甲和乙都降落至指定地點(diǎn)即事件，同時(shí)發(fā)生，故可表示為.（3）解：甲降落至指定地點(diǎn)，但乙沒(méi)有降落至指定地點(diǎn)即事件發(fā)生，事件不發(fā)生，故可表示為.（4）解：甲?乙兩人都沒(méi)有降落至指定地點(diǎn)即事件，同時(shí)不發(fā)生，故可表為.（5）解：甲?乙至少有一人降落至指定地點(diǎn)即事件不發(fā)生，事件發(fā)生或事件發(fā)生，事件不發(fā)生或事件，同時(shí)發(fā)生，故可表示為.同類題型歸類練1．（2022·湖北·武昌首義學(xué)院附屬高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知袋中有大小、形狀完全相同的4個(gè)紅色、3個(gè)白色的乒乓球，從中任取4個(gè)，則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．事件“都是紅色球”是隨機(jī)事件B．事件“都是白色球”是不可能事件C．事件“至少有一個(gè)白色球”是必然事件D．事件“有3個(gè)紅色球和1個(gè)白色球”是隨機(jī)事件【答案】C【詳解】因?yàn)榇杏写笮?、形狀完全相同?個(gè)紅色、3個(gè)白色的乒乓球，所以從中任取4個(gè)球共有：3白1紅，2白2紅，1白3紅，4紅四種情況.故事件“都是紅色球”是隨機(jī)事件，故A正確；事件“都是白色球”是不可能事件，故B正確；事件“至少有一個(gè)白色球”是隨機(jī)事件，故C錯(cuò)誤；事件“有3個(gè)紅色球和1個(gè)白色球”是隨機(jī)事件，故D正確．故選：C2．（2022·廣東·佛山市超盈實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）下列事件中，是隨機(jī)事件的是（

）A．守株待兔 B．甕中捉鱉 C．水中撈月 D．水滴石穿【答案】A【詳解】守株待兔是隨機(jī)事件，故A選項(xiàng)正確；甕中捉鱉是必然事件，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；水中撈月是不可能事件，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；水滴石穿是必然事件，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A.3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列事件屬于隨機(jī)事件的是（

）A．函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)B．馬龍和張繼科打乒乓球，馬龍勝利C．998名學(xué)生中至少有3名學(xué)生的生日相同D．在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，河流在20℃時(shí)結(jié)冰【答案】B【詳解】對(duì)于A，函數(shù)應(yīng)為單調(diào)減函數(shù)，說(shuō)法不正確，故為不可能事件；對(duì)于B，可能馬龍勝利也可能張繼科打勝利，故為隨機(jī)事件；對(duì)于C，998大于365的兩倍，說(shuō)法正確，故為必然事件；對(duì)于D，說(shuō)法不正確，故為不可能事件.故選：B.4．（2022·陜西·寶雞市渭濱區(qū)教研室高一期末）有下列事件：①籃球運(yùn)動(dòng)員罰球命中；②在自然數(shù)集中任取一個(gè)數(shù)為質(zhì)數(shù)；③在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在100℃時(shí)沸騰；④任意兩個(gè)偶函數(shù)之和在公共定義域上必為偶函數(shù).上述事件中為隨機(jī)事件的有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【詳解】①籃球運(yùn)動(dòng)員罰球命中,是隨機(jī)事件；②在自然數(shù)集中任取一個(gè)數(shù)可能為質(zhì)數(shù)，也可能不是質(zhì)數(shù)，故屬于隨機(jī)事件；③在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在100℃時(shí)一定沸騰，是必然現(xiàn)象，故為必然事件；④設(shè)為偶函數(shù)，它們的公共定義域?yàn)榧螹,當(dāng)時(shí)，，則，即任意兩個(gè)偶函數(shù)之和在公共定義域上必為偶函數(shù)，為必然事件，故隨機(jī)事件有2個(gè)，故選：C5．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列事件中，隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)為（

）①三角形內(nèi)角和為；②三角形中大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊；③三角形中兩個(gè)內(nèi)角和小于90°；④三角形中任意兩邊的和大于第三邊A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【詳解】①三角形內(nèi)角和為是必然事件，②三角形中大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊是必然事件，③三角形中兩個(gè)內(nèi)角和可能小于，可能等于，可能大于，是隨機(jī)事件，④三角形中任意兩邊的和大于第三邊是必然事件，所以隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)為，故選：A.題型二：隨機(jī)事件之間關(guān)系的判斷典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高一期末）拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{沒(méi)有硬幣正面朝上}，則下列正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】記事件{1枚硬幣正面朝上}，{2枚硬幣正面朝上}，{3枚硬幣正面朝上}，則，，顯然，，，C不含于A.故選：D例題2．（2022·貴州遵義·高一期末）若事件與相互獨(dú)立，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵事件與相互獨(dú)立，且，，∴.故選：D.例題3．（多選）（2022·安徽蕪湖·高一期末）從個(gè)女生和個(gè)男生中任選兩個(gè)人參加某項(xiàng)活動(dòng)，有如下隨機(jī)事件：“至少有一個(gè)是女生”，“至少有一個(gè)男生”，“恰有一個(gè)男生”，“兩個(gè)都是女生”，“恰有一個(gè)女生”.下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．，【答案】AD【詳解】對(duì)于A，事件均為：“選出的兩個(gè)人是個(gè)男生和個(gè)女生”，則，A正確；對(duì)于B，事件：“選出的兩個(gè)人是個(gè)男生和個(gè)女生或者個(gè)女生”，事件：“選出的兩個(gè)人是個(gè)男生和個(gè)女生或者個(gè)男生”，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，事件包含的樣本點(diǎn)都不相同，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，事件包含的樣本點(diǎn)都不相同，則；事件：“選出的兩個(gè)人是個(gè)男生和個(gè)女生或者個(gè)男生”；事件：“選出的兩個(gè)人是個(gè)女生”，則包含了樣本空間中所有的樣本點(diǎn)，，D正確.故選：AD.例題4．（2022·浙江·三門啟超中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，，，則______．【答案】0.2【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：0.2.例題5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在擲骰子試驗(yàn)中，由向上的點(diǎn)數(shù)可以定義事件：={出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1}，={出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)3或4}，={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)}，={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)}．(1)說(shuō)明以上4個(gè)事件的關(guān)系；(2)求，，，，，．【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析.(1)在擲骰子的試驗(yàn)中，向上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有1、2、3、4、5、6共6個(gè)可能的結(jié)果，記作{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)}（其中）．則，，，．事件A與事件B互斥，但不對(duì)立；事件A包含于事件C；事件A與D互斥，但不對(duì)立；事件B與C不是互斥事件；事件B與D也不是互斥事件；事件C與D是互斥事件，也是對(duì)立事件．(2)={出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1}，{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)4}，，{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或3或4}，{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或3或4或5}，{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或2或3或4或5或6}．同類題型歸類練1．（2022·山東·蘭陵四中高二階段練習(xí)）已知，，若，則（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【答案】A【詳解】由于，所以.故選：A2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)“兩次都擊中飛機(jī)”，“兩次都沒(méi)擊中飛機(jī)”，“恰有一次擊中飛機(jī)”，“至少有一次擊中飛機(jī)”，下列關(guān)系不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】A：事件A包含于事件D，正確．B：由事件B，D不能同時(shí)發(fā)生，所以，正確．C：事件指至少有一次擊中飛機(jī)，即事件D，正確．D：由至少有一次擊中飛機(jī)，不是必然事件；而為必然事件，所以，不正確．故選：D．3．（多選）（2022·貴州貴陽(yáng)·高一期末）拋擲一枚質(zhì)地均勻的股子，定義以下事件：“點(diǎn)數(shù)大于2”，“點(diǎn)數(shù)不大于2”，“點(diǎn)數(shù)大于3”，“點(diǎn)數(shù)為4”，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，“點(diǎn)數(shù)大于3”，“點(diǎn)數(shù)大于2”，顯然，A正確；對(duì)于B，“點(diǎn)數(shù)為4”，“點(diǎn)數(shù)大于3”，，B正確；對(duì)于C，由A選項(xiàng)知，，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，“點(diǎn)數(shù)大于2”，“點(diǎn)數(shù)不大于2”，顯然不能同時(shí)發(fā)生，則，D正確.故選：ABD.4．（2022·廣東·佛山市超盈實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）假設(shè)，，且與相互獨(dú)立，則_____．【答案】【詳解】∵事件與相互獨(dú)立，則，由并事件的概率公式.故答案為：.5．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）擲一個(gè)骰子，下列事件：，，，，．求：(1)，；(2)，；(3)記是事件的對(duì)立事件，求，，，．【答案】(1)，.(2)，．(3)，，，．（1），，，，.（2），，，，．（3），，，，.，，，，，．題型三：隨機(jī)事件的頻率與概率典型例題例題1．（2022·青?！ず|市教育研究室高一期末）50名同學(xué)的體重情況如下表所示：分組（）頻數(shù)6815183則這50名同學(xué)體重小于的頻率為（

）A．0.28 B．0.58 C．0.42 D．0.94【答案】B【詳解】這50名同學(xué)體重小于的頻率為故選：B.例題2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）一個(gè)容量為20的數(shù)據(jù)樣本，分組和頻數(shù)為，2個(gè)、，3個(gè)、，4個(gè)、，5個(gè)、，4個(gè)、，2個(gè)，則樣本數(shù)據(jù)在區(qū)間的可能性為（

）A．5% B．25% C．50% D．70%【答案】D【詳解】由題意，在區(qū)間中樣本個(gè)數(shù)為個(gè)，所以樣本數(shù)據(jù)在區(qū)間的可能性為.故選：D.例題3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）擲一枚均勻的硬幣100次，其中54次出現(xiàn)正面，則出現(xiàn)正面的頻率是______．【答案】0.54【詳解】由頻率=頻數(shù)÷總數(shù)可知，出現(xiàn)正面的頻率=.故答案為：0.54例題4．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生到之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定、、、表示命中，、、、、9、0表示不命中，再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下組隨機(jī)數(shù)：

據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為________.【答案】##【詳解】組隨機(jī)數(shù)中表示三次投籃恰好有兩次命中的是、、、、，其頻率為，以此估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為.故答案為：例題5．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某市統(tǒng)計(jì)近幾年新生兒出生數(shù)及其中的男嬰數(shù)（單位：人）如下：時(shí)間2017201820192020出生嬰兒數(shù)21840230702009419982出生男嬰數(shù)11453120311029710242(1)試計(jì)算男嬰各年出生的頻率（精確到0.001）；(2)該市男嬰出生的概率約為多少？（精確到0.01）【答案】(1)0.524，0.521，0.512，0.513(2)0.52（1），，，.（2）由（1）中數(shù)據(jù)，該市男嬰出生的概率.同類題型歸類練1．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）某人將一枚硬幣連拋20次，正面朝上的情況出現(xiàn)了12次.若用A表示事件“正面向上”，則A的（

）A．頻率為 B．概率為 C．頻率為 D．概率接近【答案】A【詳解】依題意可知，事件的頻率為，概率為.所以A選項(xiàng)正確，BCD選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某同學(xué)做立定投籃訓(xùn)練，共3組，每組投籃次數(shù)和命中的次數(shù)如下表：第一組第二組第三組合計(jì)投籃次數(shù)100200300600命中的次數(shù)68125176369命中的頻率0.680.6250.5870.615根據(jù)表中的數(shù)據(jù)信息，用頻率估計(jì)一次投籃命中的概率，那么誤差較小的可能性的估計(jì)是（

）A．0.68 B．0.625 C．0.587 D．0.615【答案】D【詳解】解：由題可知，試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率越接近概率，對(duì)可能性的估計(jì)誤差越?。蔬x：D．3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若隨機(jī)事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生了m次，則當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，可以用事件A發(fā)生的頻率來(lái)估計(jì)事件A的概率，即___________．【答案】【詳解】在相同的條件下，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率會(huì)在隨機(jī)事件發(fā)生的概率附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定，這個(gè)性質(zhì)成為頻率的穩(wěn)定性.因此，可以用事件A發(fā)生的頻率來(lái)估計(jì)事件A的概率，即.故答案為：4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）一家藥物公司試驗(yàn)一種新藥，在500個(gè)病人中試驗(yàn)，其中307人有明顯療效，120人有療效但療效一般，剩余的人無(wú)療效，則沒(méi)有明顯療效的頻率是______．【答案】0.386##【詳解】解：由題意可得沒(méi)有明顯療效的人數(shù)為，所以沒(méi)有明顯療效的頻率為，故答案為：0.3865．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽取了25根棉花纖維的長(zhǎng)度（棉花纖維的長(zhǎng)度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)）（單位：mm），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間中，具體數(shù)據(jù)如下：12

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34試估計(jì)這批棉花中長(zhǎng)度小于20mm的棉花纖維的占比．【答案】．【詳解】由題，樣本中棉花中長(zhǎng)度小于20mm的棉花纖維有6根，則占比為，由樣本估計(jì)總體，故估計(jì)這批棉花中長(zhǎng)度小于20mm的棉花纖維的占比為．題型四：互斥事件與對(duì)立事件及其概率典型例題例題1．（2022·新疆·塔城市第三中學(xué)高二階段練習(xí)）年某省新高考將實(shí)行“”模式，即語(yǔ)文?數(shù)學(xué)?外語(yǔ)必選，物理?歷史二選一，政治?地理?化學(xué)?生物四選二，共有種選課模式.某同學(xué)已選了物理，記事件“他選擇政治和地理”，事件“他選擇化學(xué)和地理”，則事件與事件（

）A．是互斥事件，不是對(duì)立事件 B．既是互斥事件，也是對(duì)立事件C．既不是對(duì)立事件，也不是互斥事件 D．無(wú)法判斷【答案】A【詳解】事件和事件不能同時(shí)發(fā)生，事件和事件是互斥事件；該同學(xué)還有政治和化學(xué)、政治和生物等不同選擇，事件和事件不是對(duì)立事件；綜上所述：事件和事件是互斥事件，不是對(duì)立事件.故選：A.例題2．（2022·山東·微山縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）從裝有兩個(gè)紅球和三個(gè)黑球的口袋里任取兩個(gè)球，那么不互斥的兩個(gè)事件是（

）A．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”C．“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”D．“至多有一個(gè)黑球”與“至少有兩個(gè)黑球”【答案】A【詳解】“至少有一個(gè)黑球”中包含“都是黑球”，A正確；“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”不可能同時(shí)發(fā)生，B不正確；“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”不可能同時(shí)發(fā)生，C不正確；“至多有一個(gè)黑球”與“至少有兩個(gè)黑球”不可能同時(shí)發(fā)生，D不正確．故選:A.例題3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級(jí)，其中乙、丙均屬于次品，生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級(jí)品的概率為0.03，丙級(jí)品的概率為0.01．若從中抽查一件，則恰好得正品的概率為（

）A．0.09 B．0.96 C．0.97 D．0.98【答案】B【詳解】記事件A={甲級(jí)品}，B={乙級(jí)品}，C={丙級(jí)品}，則A與是對(duì)立事件，所以．故選：B.例題4．（多選）（2022·浙江臺(tái)州·高二期中）設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件，若，，下列命題中，正確的是（

）A．若設(shè)，為互斥事件，B．C．若，則設(shè)，為相互獨(dú)立事件D．若設(shè)，為相互獨(dú)立事件，則【答案】AC【詳解】若A，B為互斥事件，，所以選項(xiàng)A正確；若時(shí)，，所以選項(xiàng)B不正確；因?yàn)?，所以選項(xiàng)C正確；若A，B為相互獨(dú)立事件，，所以選項(xiàng)D不正確，故選：AC例題5．（2022·江蘇·南京市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）為慶祝建校115周年，某校舉行了校史知識(shí)競(jìng)賽．在必答題環(huán)節(jié)，甲、乙兩位選手分別從3道選擇題、2道填空題中隨機(jī)抽取2道題作答．已知甲每道題答對(duì)的概率為，乙每道題答對(duì)的概率為，且甲乙答對(duì)與否互不影響，各題的結(jié)果也互不影響.(1)求甲恰好抽到1道填空題的概率；(2)求甲比乙恰好多答對(duì)1道題的概率.【答案】(1)(2)【詳解】（1）記3道選擇題的題號(hào)為1，2，3，2道填空題的題號(hào)為4，5，則試驗(yàn)的樣本空間，，，，，，，，，，共有10個(gè)樣本點(diǎn)，且每個(gè)樣本點(diǎn)是等可能發(fā)生的，所以這是一個(gè)古典概型，記事件“甲恰好抽到1道填空題”，則，故，因此甲恰好抽到1道填空題的概率為.（2）設(shè)事件，分別表示甲答對(duì)1道題，2道題，事件，分別表示乙答對(duì)0道題，1道題，根據(jù)事件的獨(dú)立性得，，，，記事件“甲比乙恰好多答對(duì)1道題”，則，且，兩兩互斥，與，與分別相互獨(dú)立，所以，，所以，故甲比乙恰好多答對(duì)1道題的概率為.同類題型歸類練1．（2022·山東·梁山縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊三次，與事件“至多有兩次中靶”互斥的事件是（

）A．至少有兩次中靶 B．三次都不中靶C．只有一次中靶 D．三次都中靶【答案】D【詳解】由題意可知一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊三次，事件“至多有兩次中靶”與“三次都中靶”不可能同時(shí)發(fā)生，所以事件“至多有兩次中靶”的互斥事件為“三次都中