相似三角形課件

第二十七章相似27.2.1相似三角形的判定（1）相似三角形

對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形.

ABCEDF相似的表示方法符號(hào)：∽讀作：相似于ABCA1B1C1∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，AB:A1B1=BC:B1C1=CD:C1D1=k當(dāng)時(shí)，則△ABC與△A1B1C1相似，記作△ABC∽△A1B1C1.

要把表示對(duì)應(yīng)角頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上.注意

相似比AB:A1B1=BC:B1C1=CD:C1D1

=k時(shí)，ABCA1B1C1則△ABC與△A1B1C1的相似比為

k

.或△A1B1C1與△ABC的相似比為.

想一想:如果k=1，這兩個(gè)三角形有怎樣的關(guān)系？

請(qǐng)分別度量l3,l4,l5.在l1上截得的兩條線段AB,

BC和在l2上截得的兩條線段DE,EF的長度,AB：BC與DE：EF相等嗎？任意平移l5

,再量度AB,BC,DE,EF的長度,它們的比值還相等嗎？

????猜想：ABCDEFl3l4l5

l1l2

除此之外，還有其他對(duì)應(yīng)線段成比例嗎？事實(shí)上，當(dāng)l3//l4//l5時(shí)，都可以得到，

還可以得到，，

等等.ABCDEFl3l4l5

l1l2

想一想：通過探究，你得到了什么規(guī)律呢？三條平行線截兩條直線,所得到的對(duì)應(yīng)線段的比相等.歸納平行線分線段成比例定理：思考如果把圖1中l(wèi)1

,l2兩條直線相交，交點(diǎn)A剛落到l3上，如圖2所得的對(duì)應(yīng)線段的比會(huì)相等嗎？依據(jù)是什么？

ABCEF

圖2（1）ABCDEFl3l4l5

l1l2（D）

圖1思考如果把圖1中l(wèi)1,l2兩條直線相交，交點(diǎn)A剛落到l4上，如圖2（2）所得的對(duì)應(yīng)線段的比會(huì)相等嗎？依據(jù)是什么？

ABCDEFl3l4l5

l1l2

ABCED

圖1

圖2（2）l2l3l1l3ll

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.ABCDEl2ABCDEl1ll

推論新知應(yīng)用例1如圖，在△ABC中，DE∥BC，AC=4，AB=3，EC=1.求AD和BD.

∴AE=3.

解∵AC=4，EC=1，

∵DE∥BC，

∴∴AD=2.25，

∴BD=0.75.新知應(yīng)用

例2如圖所示，如果D，E，F(xiàn)分別在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC．求證：OD∶OA＝OE∶OB

證明：DF∥AC，EF∥BC，一、平行線分線段成比例定理：

三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

（關(guān)鍵要能熟練地找出對(duì)應(yīng)線段）二、要熟悉該定理的幾種基本圖形ABCDEFABCDEF課堂小結(jié)三、注意該定理在三角形中的應(yīng)用拓展延伸，作業(yè)布置

如圖，ΔABC中，BC=a.(1)若AD1=AB，AE1=AC，則D1E1=

；(2)若D1D2=D1B，E1E2=E1C，則D2E2=

；D2B，E2E3=E2C，則D3E3=

；……Dn-1B，En-1En=En-1C，則DnEn=

.(3)若D2D3=(4)若Dn-1Dn=不經(jīng)歷風(fēng)雨，怎么見彩虹沒有人能隨隨便便成功!第二十七章相似27.2.1相似三角形的判定（2）三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段的比相等.平行線分線段成比例定理：l2l3l1l3ll

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對(duì)應(yīng)線段的比相等.ABCDEl2ABCDEl1ll

平行線分線段成比例定理的推論如果△ABC∽△ADE,那么你能找出哪些角的關(guān)系？∠A=∠A,∠B=∠ADE,∠C=∠AED.邊呢？ADEBC==DE∥BC理解如圖,在△ABC中，

DE//BC,DE分別交AB于D，交AC于E

，△ADE與△ABC有什么關(guān)系?說明理由.相似ABCDE證明:在△ADE與△ABC中，∠A=∠A.∵DE//BC，∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C，過E作EF//AB交BC于F，∵四邊形DBFE是平行四邊形，F(xiàn)∴DE=BF，∴△ADE∽△ABC.探索

平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.知識(shí)要點(diǎn)平行于三角形一邊的定理ABCDE即在△ABC中，如果DE∥BC，那么△ADE∽△ABCA型你還能畫出其他圖形嗎？歸納

平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與三角形相似.DEOCB延伸即如果DE∥BC，那么△ODE∽△OBC你能證明嗎？X型平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或延長線)相交,所得的三角形與原三角形________.相似“A”型“X”型（圖2）DEOBCABCDE（圖1）理解思考:有沒有其他簡單的辦法判斷兩個(gè)三角形相似?

任意畫一個(gè)三角形，再畫一個(gè)三角形，使它的各邊長都是原來三角形各邊長的k倍，度量這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角，它們相等嗎？這兩個(gè)三角形相似嗎？與同桌交流一下，看看是否有同樣的結(jié)論.探究2思考

是否有△ABC∽△A′B′C′？ABCC′B′A′三邊對(duì)應(yīng)成比例求證:△.∽△ABCDE∴又∴同理

∴∴∥∽∽∴∽∽

如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似.知識(shí)要點(diǎn)判定三角形相似的定理之一△ABC∽△A′B′C′.即：如果那么A′B′C′ABC

三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似.邊邊邊SSS√歸納改變k和∠A的值的大小,是否有同樣的結(jié)論？探究3邊角邊SAS探究3已知：△ABC∽△A′B′C′.A′B′C′ABC求證：∠A=∠A′

.你能證明嗎？求證:△∽△ABCDE∴又∴∴∴∥∽∽∴∽∽

如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.知識(shí)要點(diǎn)判定三角形相似的定理之二兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等，兩三角形相似.邊角邊SAS√A1B1C1ABC△ABC∽△A1B1C1.即：如果∠B=∠B1，那么歸納不會(huì)，因?yàn)椴荒茏C明構(gòu)造的三角形和原三角形全等.

A

B

C思考如果這兩個(gè)三角形一定會(huì)相似嗎？應(yīng)用

解：（1）∽兩個(gè)三角形的相似比是多少？應(yīng)用

解：（2）與的三組對(duì)應(yīng)邊的比不等，它們不相似.

要使兩個(gè)三角形相似，不改變AC的長，A′C′的長應(yīng)改為多少？

例2已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的長.

解:AB=6，BC=4，AC=5，CD=

又∠B=∠ACD，△ABC∽△DCA，AD=應(yīng)用相似三角形的判定方法有幾種？1.定義判定法3.邊邊邊判定法（SSS）4.邊角邊判定法（SAS）2.平行判定法比較復(fù)雜，煩瑣只能在特定的圖形里面使用小結(jié)27.2.1相似三角形的判定（3）

平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或延長線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.

三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩三角形相似.相似三角形的判定方法

兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似.這兩個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小有什么關(guān)系？三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形一定相似嗎？三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等.觀察你與老師的直角三角尺(30o與60o),會(huì)相似嗎？思考相似探究4

與同伴合作,一人先畫△ABC,另一人再畫△A′B′C′，使得∠A=∠A′，∠B=∠B′.比較你們所畫的兩個(gè)三角形，∠C=∠C′嗎？對(duì)應(yīng)邊之比

相等嗎？這樣的兩個(gè)三角形相似嗎？

改變這兩個(gè)三角形邊的大小，而不改它們角的大小呢？

如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.知識(shí)要點(diǎn)判定三角形相似的定理之三兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似.角角AAA′B′C′ABC△ABC∽△A′B′C′.即如果那么√∠A=∠A′

，∠B=∠B′

，在△ABC和△A′B′C′中，角邊角ASA角角邊AAS角角AAA1B1C1ABC已知：△ABC∽△A1B1C1.求證：∠A=∠A1，∠B=∠B1.你能證明嗎？思考已知：△ABC∽△A1B1C1.求證：你能證明嗎？可要仔細(xì)喲！HLABCA1B1C1Rt△ABC和

Rt△A1B1C1，

如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似.判定三角形相似的定理之四HLABC△ABC∽△A1B1C1.即如果那么√A1B1C1Rt△ABC

和Rt△A1B1C1.例1.弦AB和CD相交于⊙O內(nèi)一點(diǎn)P.求證:PA·PB=PC·PD.ABCDPO證明:連接AC、BD.∵∠A、∠D都是CB所對(duì)的圓周角,⌒∴∠A=∠D.同理:∠C=∠B.∴△PAC∽△PDB.即PA·PB=PC·PD.新知應(yīng)用解：∵∠A=∠A,∠ABD=∠C,∴△ABD∽△ACB,∴AB:AC=AD:AB,∴AB2=AD·AC.∵AD=2,AC=8,∴AB=4.例2.已知:如圖,∠ABD=∠C，AD=2,AC=8，求AB.新知應(yīng)用拓展延伸在Rt△ABC的斜邊AB上有一點(diǎn)P(點(diǎn)P與點(diǎn)A，B不重合），過點(diǎn)P作直線截得的三角形與△ABC相似，想一想滿足條件的直線共有多少條？試畫出圖形并簡要說明理由.思考：若三角形為任意三角形，點(diǎn)P為三角形任意一邊上的點(diǎn)，則這樣的直線有幾條？

我們來試一試…課堂小結(jié)

相似圖形三角形的判定方法：

通過定義平行于三角形一邊的直線三邊對(duì)應(yīng)成比兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等兩角對(duì)應(yīng)相等兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例（三邊對(duì)應(yīng)成比例，三角相等）（SSS）（AA）（SAS）（HL）27.2.2相似三角形應(yīng)用舉例走進(jìn)生活!探索自然!

例1

已知左、右并排的兩棵大樹的高分別是AB=8m和CD=12m,兩樹的根部相距BD=5m.一個(gè)身高1.6m的人沿著正對(duì)這兩棵樹的一條水平直路m從左向右前進(jìn)，當(dāng)他與左邊較低的樹的距離小于多少時(shí)，就不能看到右邊較高的樹的頂端點(diǎn)C?FABCDmFABCDmEEGKH

李巍同學(xué)在回家的

路上發(fā)現(xiàn)了如圖兩根電線桿AB、CD，分別在高10m的A處和15m的C處有兩根鋼索將兩桿固定,求鋼索AD與鋼索BC的交點(diǎn)M離地面的高度MH.H自主練習(xí)Q8

例2

如圖，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，動(dòng)點(diǎn)P以2米/秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以1米/秒的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，設(shè)P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)t秒（0<t<5)后,四邊形ABQP的面積為S平方米。①求出面積S與時(shí)間t的關(guān)系式BCDPA6H┑Q8

例2

如圖，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，動(dòng)點(diǎn)P以2米/秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以1米/秒的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，設(shè)P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)t秒（0<t<5)后,四邊形ABQP的面積為S平方米。①求出面積S與時(shí)間t的關(guān)系式BCDPA6E┓

②探究:在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)的過程中，四邊形ABQP與△CPQ的面積能否相等？若能，求出此時(shí)點(diǎn)P的位置；若不能，請(qǐng)說明理由。QBACPD③探究:在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)的過程中，△CPQ與△ABC能否相似？若能，求出此時(shí)點(diǎn)P的位置；若不能，請(qǐng)說明理由。通過本堂課的學(xué)習(xí)和探索，你學(xué)到了什么?

課堂小結(jié)老師的小結(jié)：1、“數(shù)學(xué)建?！苯鉀Q實(shí)際問題：構(gòu)造相似三角形解決實(shí)際生活中求線段長問題2、“數(shù)學(xué)思想”解決綜合題“方程思想”“分類討論思想”1.作業(yè)本（1）P13---14

今天作業(yè)2.課時(shí)作業(yè)本P54---55

作業(yè)分析

馬戲團(tuán)讓獅子和公雞表演蹺蹺板節(jié)目。蹺蹺板的支柱AB的高度為1.2m.（1）若吊環(huán)高度為2m，支點(diǎn)A為蹺蹺板PQ的中點(diǎn)，則獅子能否將公雞送到吊環(huán)上？為什么？（2）若吊環(huán)高度為3.6m，在不改變其他條件的前提下移動(dòng)支柱，當(dāng)支點(diǎn)A移到蹺蹺板PQ什么位置時(shí)，獅子剛好將公雞送到吊環(huán)上？

2、已知在△ABC中，∠C=90o,AC=8cm,BC=6cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC以3cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA以4cm/s的速度向點(diǎn)A移動(dòng)。

如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，移動(dòng)時(shí)間為ts(0<t<2.5)。

當(dāng)t為何值時(shí)，以Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？ACBPQQACBPACBPQ自主練習(xí)回顧舊知相似三角形有哪些性質(zhì)？A1B1C1ABC（1）相似三角形對(duì)應(yīng)角相等。（2）相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例。（3）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比。（4）相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比。（5）相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比。相似三角形的性質(zhì)kA1B1C1ABC相似三角形的周長有什么關(guān)系？A1B1C1ABC相似三角形的面積有什么關(guān)系？27.2.3相似三角形的周長與面積

理解并掌握相似三角形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方，并能用來解決簡單的問題。知識(shí)與能力

探索相似多邊形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方，體驗(yàn)化歸思想。過程與方法經(jīng)歷探索相似三角形性質(zhì)的過程，并在探究過程中發(fā)展學(xué)生積極的情感、態(tài)度、價(jià)值觀，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性。

情感態(tài)度與價(jià)值觀教學(xué)重難點(diǎn)

理解并掌握相似三角形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方。

探索相似多邊形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方。A1B1C1ABC（等比性質(zhì)）C△ABC=AB+BC+CA周長：C△A1B1C1

=A1B1+B1C1+C1A1∵∴∴相似三角形周長的比等于相似比。六邊形ABCDEF∽六邊形A1B1C1D1E1