2023年上海高考數(shù)學(xué)試題(理科)-解析

2023年上海市秋季高考理科數(shù)學(xué)一、填空題1．計(jì)算：【解答】根據(jù)極限運(yùn)算法那么，．2．設(shè)，是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，那么【解答】．3．假設(shè)，那么【解答】．4．△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)應(yīng)邊分別為a、b、c，假設(shè)，那么角C的大小是_______________〔結(jié)果用反三角函數(shù)值表示〕【解答】，故．5．設(shè)常數(shù)，假設(shè)的二項(xiàng)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為，那么【解答】，故．6．方程的實(shí)數(shù)解為_(kāi)_______【解答】原方程整理后變?yōu)椋?．在極坐標(biāo)系中，曲線與的公共點(diǎn)到極點(diǎn)的距離為_(kāi)_________【解答】聯(lián)立方程組得，又，故所求為．8．盒子中裝有編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8，9的九個(gè)球，從中任意取出兩個(gè)，那么這兩個(gè)球的編號(hào)之積為偶數(shù)的概率是___________〔結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示〕【解答】9個(gè)數(shù)5個(gè)奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)，根據(jù)題意所求概率為．9．設(shè)AB是橢圓的長(zhǎng)軸，點(diǎn)C在上，且，假設(shè)AB=4，，那么的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為_(kāi)_______【解答】不妨設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，于是可算得，得．10．設(shè)非零常數(shù)d是等差數(shù)列的公差，隨機(jī)變量等可能地取值，那么方差【解答】，．11．假設(shè)，那么【解答】，，故．12．設(shè)為實(shí)常數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，假設(shè)對(duì)一切成立，那么的取值范圍為_(kāi)_______【解答】，故；當(dāng)時(shí)，即，又，故．13．在平面上，將兩個(gè)半圓弧和、兩條直線和圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影局部．記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為，過(guò)作的水平截面，所得截面面積為，試?yán)米鏁溤?、一個(gè)平放的圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體，得出的體積值為_(kāi)_________【解答】根據(jù)提示，一個(gè)半徑為1，高為的圓柱平放，一個(gè)高為2，底面面積的長(zhǎng)方體，這兩個(gè)幾何體與放在一起，根據(jù)祖暅原理，每個(gè)平行水平面的截面面積都相等，故它們的體積相等，即的體積值為．14．對(duì)區(qū)間I上有定義的函數(shù)，記，定義域?yàn)榈暮瘮?shù)有反函數(shù)，且，假設(shè)方程有解，那么【解答】根據(jù)反函數(shù)定義，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，而的定義域?yàn)?，故?dāng)時(shí)，的取值應(yīng)在集合，故假設(shè)，只有．二、選擇題15．設(shè)常數(shù)，集合，假設(shè)，那么的取值范圍為〔〕(A)(B)(C)(D)【解答】集合A討論后利用數(shù)軸可知，或，解答選項(xiàng)為B．16．錢大姐常說(shuō)“廉價(jià)沒(méi)好貨〞，她這句話的意思是：“不廉價(jià)〞是“好貨〞的〔〕(A)充分條件(B)必要條件(C)充分必要條件(D)既非充分也非必要條件【解答】根據(jù)等價(jià)命題，廉價(jià)沒(méi)好貨，等價(jià)于，好貨不廉價(jià)，應(yīng)選B．17．在數(shù)列中，，假設(shè)一個(gè)7行12列的矩陣的第i行第j列的元素，〔〕那么該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個(gè)數(shù)為〔〕(A)18(B)28(C)48(D)63【解答】，而，故不同數(shù)值個(gè)數(shù)為18個(gè)，選A．18．在邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF中，記以A為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為；以D為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為.假設(shè)分別為的最小值、最大值，其中,,那么滿足〔〕.(A)(B)(C)(D)【解答】作圖知，只有，其余均有，應(yīng)選D．三、解答題19.〔此題總分值12分〕如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，證明直線BC1平行于平面DA1C，并求直線BC1到平面D1AC的距離.【解答】因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1為長(zhǎng)方體，故，故ABC1D1為平行四邊形，故，顯然B不在平面D1AC上，于是直線BC1平行于平面DA1C；直線BC1到平面D1AC的距離即為點(diǎn)B到平面D1AC的距離設(shè)為考慮三棱錐ABCD1的體積，以ABC為底面，可得而中，，故所以，，即直線BC1到平面D1AC的距離為．20．〔6分+8分〕甲廠以x千克/小時(shí)的速度運(yùn)輸生產(chǎn)某種產(chǎn)品〔生產(chǎn)條件要求〕，每小時(shí)可獲得利潤(rùn)是元.(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3000元，求x的取值范圍；(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)最大，問(wèn)：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤(rùn).【解答】(1)根據(jù)題意，又，可解得(2)設(shè)利潤(rùn)為元，那么故時(shí)，元．21．〔6分+8分〕函數(shù)，其中常數(shù)；〔1〕假設(shè)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；〔2〕令，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，區(qū)間〔且〕滿足：在上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，在所有滿足上述條件的中，求的最小值．【解答】(1)因?yàn)?，根?jù)題意有(2)，或，即的零點(diǎn)相離間隔依次為和，故假設(shè)在上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，那么的最小值為．22．〔3分+5分+8分〕如圖，曲線，曲線，P是平面上一點(diǎn)，假設(shè)存在過(guò)點(diǎn)P的直線與都有公共點(diǎn)，那么稱P為“C1—C2型點(diǎn)〞．(1)在正確證明的左焦點(diǎn)是“C1—C2型點(diǎn)〞時(shí)，要使用一條過(guò)該焦點(diǎn)的直線，試寫(xiě)出一條這樣的直線的方程〔不要求驗(yàn)證〕；(2)設(shè)直線與有公共點(diǎn)，求證，進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1—C2型點(diǎn)〞；(3)求證：圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1—C2型點(diǎn)〞．【解答】：〔1〕C1的左焦點(diǎn)為，過(guò)F的直線與C1交于，與C2交于，故C1的左焦點(diǎn)為“C1-C2型點(diǎn)〞，且直線可以為；〔2〕直線與C2有交點(diǎn)，那么，假設(shè)方程組有解，那么必須；直線與C2有交點(diǎn)，那么，假設(shè)方程組有解，那么必須故直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點(diǎn)，即原點(diǎn)不是“C1-C2型點(diǎn)〞?！?〕顯然過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的直線假設(shè)與曲線C1有交點(diǎn)，那么斜率必存在；根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)直線斜率存在且與曲線C2交于點(diǎn)，那么直線與圓內(nèi)部有交點(diǎn)，故化簡(jiǎn)得，。。。。。。。。。。。。①假設(shè)直線與曲線C1有交點(diǎn)，那么化簡(jiǎn)得，。。。。。②由①②得，但此時(shí)，因?yàn)?，即①式不成立；?dāng)時(shí)，①式也不成立綜上，直線假設(shè)與圓內(nèi)有交點(diǎn)，那么不可能同時(shí)與曲線C1和C2有交點(diǎn)，即圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1-C2型點(diǎn)〞．23．〔3分+6分+9分〕給定常數(shù)，定義函數(shù)，數(shù)列滿足.〔1〕假設(shè)，求及；〔2〕求證：對(duì)任意，；〔3〕是否存在，使得成等差數(shù)列？假設(shè)存在，求出所有這樣的，假設(shè)不存在，說(shuō)明理由.【解答】：〔1〕因?yàn)椋?，故，?〕要證明原命題，只需證明對(duì)任意都成立，即只需證明假設(shè)，顯然有成立；假設(shè)，那么顯然成立綜上，恒成立，即對(duì)任意的，〔3〕由〔2〕知，假設(shè)為等差數(shù)列，那么公差，故n無(wú)限增大時(shí)，總有此時(shí)，即故，即，當(dāng)時(shí)，等式成立，且時(shí)，，此時(shí)為等差數(shù)列，滿足題意；假設(shè)，那么，此時(shí)，也滿足題意；綜上，滿足題意的的取值范圍是．22．〔此題總分值16分〕此題共有3個(gè)小題．第1小題總分值6分，第2小題總分值5分，第3小題總分值8分．如圖，雙曲線：，曲線：．是平面內(nèi)一點(diǎn)，假設(shè)存在過(guò)點(diǎn)的直線與、都有公共點(diǎn)，那么稱為“型點(diǎn)〞．〔1〕在正確證明的左焦點(diǎn)是“型點(diǎn)〞時(shí)，要使用一條過(guò)該焦點(diǎn)的直線，試寫(xiě)出一條這樣的直線的方程〔不要求驗(yàn)證〕；〔2〕設(shè)直線與有公共點(diǎn)，求證，進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“型點(diǎn)；〔3〕求證：圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“型點(diǎn)〞．22．解：〔1〕C1的左焦點(diǎn)為，過(guò)F的直線與C1交于，與C2交于，故C1的左焦點(diǎn)為“C1-C2型點(diǎn)〞，且直線可以為；〔2〕直線與C2有交點(diǎn)，那么，假設(shè)方程組有解，那么必須；直線與C2有交點(diǎn)，那么，假設(shè)方程組有解，那么必須故直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點(diǎn)，即原點(diǎn)不是“C1-C2型點(diǎn)〞。〔3〕顯然過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的直線假設(shè)與曲線C1有交點(diǎn)，那么斜率必存在；根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)直線斜率存在且與曲線C2交于點(diǎn)，那么直線與圓內(nèi)部有交點(diǎn)，故化簡(jiǎn)得，。。。。。。。。。。。。①假設(shè)直線與曲線C1有交點(diǎn)，那么化簡(jiǎn)得，。。。。。②由①②得，但此時(shí)，因?yàn)?，即①式不成立；?dāng)時(shí)，①式也不成立綜上，直線假設(shè)與圓內(nèi)有交點(diǎn)，那么不可能同時(shí)與曲線C1和C2有交點(diǎn)，即圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1-C2型點(diǎn)〞。23．〔此題總分值18分〕此題共有3個(gè)小題．第1小題總分值3分，第2小題總分值6分，第3小題總分值9分．給定常數(shù)，定義函數(shù)．?dāng)?shù)列，，，…滿足．〔1〕假設(shè)，求及；〔2〕求證：對(duì)任意，；〔3〕是否存在，使得，，，…，…成等差數(shù)列？假設(shè)存在，求出所有這樣的；假設(shè)不存在