吉林省長春市市第六十二中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

吉林省長春市市第六十二中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.由直線與曲線所圍成的封閉圖形的面積為（

）A． B． C． D．參考答案：D略2.設(shè)向量a，b均為單位向量，且|a＋b|，則a與b夾角為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.若函數(shù)f(x)是周期為4的奇函數(shù)，且f(1)=3，則f(3)=（

）A.－2 B.2 C.－3 D.3參考答案：C【分析】根據(jù)周期可知，再根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是周期為4的奇函數(shù)，所以.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的周期性及奇函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.4.下列圖象表示的函數(shù)中能用二分法求零點(diǎn)的是

（

）

參考答案：答案：C5.在中，已知則的值為

A.

B.

C.

D.

參考答案：A略6.全集，集合，，則等于（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略7.為調(diào)查某校學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例，采用如下調(diào)查方法：（1）在該校中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，并編號為1,2,3，……,100；（2）在箱內(nèi)放置兩個(gè)白球和三個(gè)紅球，讓抽取的100名學(xué)生分別從箱中隨機(jī)摸出一球，記住其顏色并放回；（3）請下列兩類學(xué)生舉手：（?。┟桨浊蚯姨枖?shù)為偶數(shù)的學(xué)生；（ⅱ）摸到紅球且不喜歡數(shù)學(xué)課的學(xué)生.如果總共有26名學(xué)生舉手，那么用概率與統(tǒng)計(jì)的知識估計(jì)，該校學(xué)生中喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例大約是（

）A.88%

B.90%

C.92%

D.94%參考答案：B略8.七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，是由七塊板組成的．而這七塊板可拼成許多圖形，例如：三角形、不規(guī)則多邊形、各種人物、動物、建筑物等，清陸以湉《冷廬雜識》寫道：近又有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其變化之式多至千余．在18世紀(jì)，七巧板流傳到了國外，至今英國劍橋大學(xué)的圖書館里還珍藏著一部《七巧新譜》．若用七巧板拼成一只雄雞，在雄雞平面圖形上隨機(jī)取一點(diǎn)，則恰好取自雄雞雞尾（陰影部分）的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】設(shè)包含7塊板的正方形邊長為4，其面積為16，計(jì)算雄雞的雞尾面積為2，利用幾何概型概率計(jì)算公式得解．【詳解】設(shè)包含7塊板的正方形邊長為4，其面積為則雄雞的雞尾面積為標(biāo)號為6的板塊，其面積為所以在雄雞平面圖形上隨機(jī)取一點(diǎn)，則恰好取自雄雞雞尾（陰影部分）的概率為.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概型概率計(jì)算，考查觀察能力，屬于基礎(chǔ)題．9.已知過定點(diǎn)P（2，0）的直線l與曲線y=相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)S△AOB=1時(shí)，直線l的傾斜角為（）A．150° B．135° C．120° D．不存在參考答案：A【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】判斷曲線的形狀，利用三角形的面積求出∠AOB，推出原點(diǎn)到直線的距離，建立方程求出直線的斜率，然后求解傾斜角．【解答】解：曲線y=，表示的圖形是以原點(diǎn)為圓心半徑為的上半個(gè)圓，過定點(diǎn)P（2，0）的直線l設(shè)為：y=k（x﹣2）．（k＜0）即kx﹣y﹣2k=0．S△AOB=1．∴，可得∠AOB=90°，三角形AOB是等腰直角三角形，原點(diǎn)到直線的距離為：1．∴1=，解得k=，∵k＜0．∴k=，∴直線的傾斜角為150°．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查直線與曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．10.（5分）（2015?濟(jì)寧一模）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=，則|z﹣2|=（）A．2B．2C．D．1參考答案：C【考點(diǎn)】：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【專題】：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】：利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，然后利用復(fù)數(shù)模的公式求模．解：∵z﹣2=﹣2=，∴|z﹣2|=．故選：C．【點(diǎn)評】：本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在正三角形ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AB=3,BD=1，

。參考答案：略12.若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則__________．參考答案：由題意可知雙曲線的漸近線方程為，∵其中一條漸近線的傾斜是，∴，故．13.執(zhí)行如下圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果n=

．參考答案：9模擬程序的運(yùn)行，可得，，第一次執(zhí)行循環(huán)，，，不滿足，則返回繼續(xù)循環(huán)；，，不滿足，則返回繼續(xù)循環(huán)；，，不滿足，則返回繼續(xù)循環(huán)；當(dāng)時(shí)，，則，，最小值為，此時(shí).故答案為.

14.從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，則兩個(gè)數(shù)的和是奇數(shù)的概率為________．參考答案：略15.等差數(shù)列前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和．若，則k=________．參考答案：法1：有題意知,即，所以，又，所以。法2：利用方程組法求解。16.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，我們用錯(cuò)位相減法求其前項(xiàng)和：由得兩式項(xiàng)減得：，求得。類比推廣以上方法，若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則其前項(xiàng)和

。參考答案：略17.若函數(shù)在處有極值，則函數(shù)的圖象在處的切線的斜率為

。參考答案：-5略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）記函數(shù)f（x）的最小值為g（a），證明：．參考答案：（1）顯然的定義域?yàn)椋?，，∴若，，此時(shí)，在上單調(diào)遞減；若，，此時(shí)，在上單調(diào)遞增；綜上所述：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由（1）知：，即．要證，即證明，即證明，令，則只需證明，∵，且，∴當(dāng)，，此時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)，，此時(shí)，在上單調(diào)遞增，∴．∴．∴．19.已知函數(shù)（其中常數(shù)），(是圓周率).（I）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)是奇函數(shù)，求的極值點(diǎn)；（II）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（III）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值，并探索：是否存在滿足條件的實(shí)數(shù)，使得對任意的，恒成立。參考答案：解：（Ⅰ）函數(shù)是奇函數(shù)，對，成立，得(利用奇函數(shù),得也給1分)得從得

經(jīng)檢驗(yàn)是函數(shù)的極值點(diǎn).（II）因?yàn)?，由得，?dāng)a＞0時(shí)，方程的判別式△=，其兩根為，則單調(diào)遞增區(qū)間為當(dāng)a＜0時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為和；（III）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，令得，當(dāng)x變化時(shí)，與g(x)的變化情況如下表：所以函數(shù)g(x)在[0，a]上的最小值為g(0)與g(a)的較小者，因?yàn)間(0)=0，，所以h(a)=g(a)=,因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，且，所以x＞0時(shí)，，當(dāng)x=1時(shí)取得最大值，x=0時(shí)，f(0)=0，x＜0時(shí)，，所以函數(shù)f(x)的最小值為，要使對任意x∈R，f(x)＞h(a)恒成立，則h(a)＜，所以，即不等式在上有解，因?yàn)閍=π符合上述不等式，所以存在滿足條件的實(shí)數(shù)，使得對任意的，恒成立.略20.在等差數(shù)列{an}中，，在正項(xiàng)等比數(shù)列{bn}中，．（1）求{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn．參考答案：（1）；（2）【分析】（1）利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出；（2）利用錯(cuò)位相減法和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和求和公式即可求出?！驹斀狻浚?）等差數(shù)列的公差設(shè)為，可得，即；在正項(xiàng)等比數(shù)列的公比設(shè)為，，可得，即；（2），，，兩式相減可得，化簡可得．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“錯(cuò)位相減法”和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和求和公式。熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵。21.在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).（1）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；（2）若點(diǎn),直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)且成等比數(shù)列,求a值.參考答案：1）；直線l過點(diǎn)，斜率為1，所以直線l的普通方程為....................5分（2）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程得：化簡得：設(shè)A點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)為，B點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)為，則............7分因?yàn)樗?，所?..........................10分。22.如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，PA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是BC，PD的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：直線EF∥平面PAB；（Ⅱ）設(shè)二面角為30°，且，，求四棱錐P-ABCD