【高考數(shù)學(xué)】2022-2023學(xué)年福建省南平市專項(xiàng)提升仿真模擬試題（一模二模）含解析

第頁(yè)碼64頁(yè)/總NUMPAGES總頁(yè)數(shù)64頁(yè)【高考數(shù)學(xué)】2022-2023學(xué)年福建省南平市專項(xiàng)提升仿真模擬試題（一模）一?單項(xiàng)選一選：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.2.設(shè)集合，集合，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.3.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，下列與“至少一枚硬幣正面朝上”互為對(duì)立的是（）A.至多一枚硬幣正面朝上 B.只有一枚硬幣正面朝上C.兩枚硬幣反面朝上 D.兩枚硬幣正面朝上4.《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖，在正方體中，當(dāng)分別與，，，重合時(shí)，所形成的四面體中鱉臑共有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)5.在單位圓中，已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，現(xiàn)將角的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記此時(shí)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.6.在中，若，則（）A. B. C. D.7.若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為6，則（）A.1 B.2 C.3 D.48.對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A B. C. D.二?多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.支氣管炎患者會(huì)咳嗽失眠，給患者日常生活帶來(lái)嚴(yán)重的影響.某醫(yī)院老年患者率為20%，中年患者率為30%，青年患者率為40%.該醫(yī)院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，則（）A.若從該醫(yī)院所有患者中抽取容量為30的樣本，老年患者應(yīng)抽取12人B.該醫(yī)院青年患者所占的頻率為C.該醫(yī)院的平均率為28.7%D.該醫(yī)院的平均率為31.3%10.已知函數(shù)的任意兩條對(duì)稱軸間的最小距離為，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則（）A.函數(shù)在單調(diào)遞減B.，C.把的圖象向右平移個(gè)單位即可得到的圖象D.若在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍為11.已知雙曲線的方程為，，分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過(guò)且與x軸垂直的直線交雙曲線于M，N兩點(diǎn)，又，則（）A.雙曲線的漸近線方程為B.雙曲線的頂點(diǎn)到兩漸近線距離的積的5倍等于焦點(diǎn)到漸近線距離的平方C.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)?虛軸長(zhǎng)?焦距成等比數(shù)列D.雙曲線上存點(diǎn)，滿足12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中一系列格點(diǎn)，其中且.記，如記為，記為，記為，以此類推；設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.則（）

A. B. C. D.三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.計(jì)算：___________.14.已知為圓：上任意一點(diǎn)，則的值為_(kāi)__________.15.已知函數(shù)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)___________.16.四面體中，，，，且異面直線與所成的角為.若四面體的外接球半徑為，則四面體的體積的值為_(kāi)__________.四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答問(wèn)題.在中，角A?B?C所對(duì)的邊分別是a?b?c，___________.（1）求角A；（2）若，，點(diǎn)D在線段AB上，且與的面積比為3：5，求CD的長(zhǎng).（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按個(gè)解答內(nèi)容計(jì)分）19.已知數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若滿足，.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求.21.南平市于2018年成功獲得2022年第十七屆福建省運(yùn)會(huì)承辦權(quán).為進(jìn)一步提升第十七屆福建省運(yùn)會(huì)志愿者綜合素質(zhì)，提高志愿者服務(wù)能力，南平市啟動(dòng)首批志愿者通識(shí)培訓(xùn)，并于培訓(xùn)后對(duì)參訓(xùn)志愿者進(jìn)行了測(cè)試，通過(guò)隨機(jī)抽樣，得到100名參訓(xùn)志愿者測(cè)試成績(jī)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，此次測(cè)試成績(jī)近似于服從正態(tài)分布，近似為這100人測(cè)試成績(jī)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），①求的值；②利用該正態(tài)分布，求；（2）在（1）的條件下，主辦單位為此次參加測(cè)試的志愿者制定如下獎(jiǎng)勵(lì)：①測(cè)試成績(jī)沒(méi)有低于的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，測(cè)試成績(jī)低于的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi)；②每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為：奉送話費(fèi)的金額（元）1030概率今在此次參加測(cè)試的志愿者中隨機(jī)抽取一名，記該志愿者獲贈(zèng)的話費(fèi)為（單位：元），試根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)與公式：若，則，，.23.如圖，四棱錐底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，.（1）證明：平面；（2）若M為棱PD上的點(diǎn)，，且二面角的余弦值為，求直線PC與平面ACM所成角的正弦值.25.已知橢圓：，，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，焦距為4.過(guò)右焦點(diǎn)且與坐標(biāo)軸沒(méi)有垂直的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，已知的周長(zhǎng)為，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P，直線PN交x軸于點(diǎn)Q.（1）求橢圓的方程；（2）求四邊形面積的值.27.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且.【高考數(shù)學(xué)】2022-2023學(xué)年福建省南平市專項(xiàng)提升仿真模擬試題（一模）一?單項(xiàng)選一選：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【1題答案】【正確答案】A【分析】先由復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出，再求出虛部即可.【詳解】，故虛部為.故選：A.2.設(shè)集合，集合，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【2題答案】【正確答案】D【分析】直接由求解即可.【詳解】由可得.故選：D.3.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，下列與“至少一枚硬幣正面朝上”互為對(duì)立的是（）A.至多一枚硬幣正面朝上 B.只有一枚硬幣正面朝上C.兩枚硬幣反面朝上 D.兩枚硬幣正面朝上【3題答案】【正確答案】C【分析】由對(duì)立的概念直接判斷即可.【詳解】由對(duì)立的概念知：“至少一枚硬幣正面朝上”的對(duì)立為“兩枚硬幣反面朝上”.故選：C.4.《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖，在正方體中，當(dāng)分別與，，，重合時(shí)，所形成的四面體中鱉臑共有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【4題答案】【正確答案】B【分析】當(dāng)與，重合時(shí)，由為等邊三角形即可判斷四面體沒(méi)有是鱉臑；當(dāng)與，重合時(shí)，證明四個(gè)面均為直角三角形即可.【詳解】如圖，當(dāng)與重合時(shí)，易得，故為等邊三角形，此時(shí)四面體沒(méi)有是鱉臑；當(dāng)與重合時(shí)，易得為直角三角形，又面，面，故，故為直角三角形，同理為直角三角形，此時(shí)四面體是鱉臑；當(dāng)與重合時(shí)，易得，故為等邊三角形，此時(shí)四面體沒(méi)有是鱉臑；當(dāng)與重合時(shí)，易得為直角三角形，又面，面，故，故為直角三角形，同理為直角三角形，此時(shí)四面體是鱉臑；故共有2個(gè).故選：B.5.在單位圓中，已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，現(xiàn)將角的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記此時(shí)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【5題答案】【正確答案】B【分析】先由三角函數(shù)的定義求得，再由正余弦和角公式求得，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】由三角函數(shù)定義知：，將角的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，此時(shí)角變?yōu)?，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B.6.在中，若，則（）A. B. C. D.【6題答案】【正確答案】A【分析】由，利用正切的二倍角公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故選：A7.若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為6，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【7題答案】【正確答案】D【分析】先由點(diǎn)在拋物線上得，再拋物線定義及到拋物線焦點(diǎn)的距離即可解出.【詳解】由題意知：，解得，拋物線的準(zhǔn)線為，由拋物線的定義知，點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為，解得.故選：D.8.對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【8題答案】【正確答案】C【分析】化簡(jiǎn)沒(méi)有等式后構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題求解【詳解】，即，令，由題意得在上單調(diào)遞減，故，即在上恒成立，則，故選：C二?多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.支氣管炎患者會(huì)咳嗽失眠，給患者日常生活帶來(lái)嚴(yán)重的影響.某醫(yī)院老年患者率為20%，中年患者率為30%，青年患者率為40%.該醫(yī)院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，則（）A.若從該醫(yī)院所有患者中抽取容量為30的樣本，老年患者應(yīng)抽取12人B.該醫(yī)院青年患者所占的頻率為C.該醫(yī)院的平均率為28.7%D.該醫(yī)院的平均率為31.3%【9題答案】【正確答案】ABC【分析】由分層抽樣即可判斷A選項(xiàng)；直接計(jì)算頻率即可判斷B選項(xiàng)；直接計(jì)算平均率即可判斷C、D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，由分層抽樣可得，老年患者應(yīng)抽取人，正確；對(duì)于B，青年患者所占的頻率為，正確；對(duì)于C，平均率為，正確；對(duì)于D，由C知錯(cuò)誤.故選：ABC.10.已知函數(shù)的任意兩條對(duì)稱軸間的最小距離為，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則（）A.函數(shù)在單調(diào)遞減B.，C.把的圖象向右平移個(gè)單位即可得到的圖象D.若在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍為【10題答案】【正確答案】BD【分析】由題意先解出，再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】由題意得的周期為，故，，又的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為奇函數(shù)，而，可得，即，，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，正弦函數(shù)性質(zhì)知在沒(méi)有單調(diào)，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，，故B正確對(duì)于C，的圖象向右平移個(gè)單位得函數(shù)，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，若在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則，解得，故D正確故選；BD11.已知雙曲線的方程為，，分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過(guò)且與x軸垂直的直線交雙曲線于M，N兩點(diǎn)，又，則（）A.雙曲線的漸近線方程為B.雙曲線的頂點(diǎn)到兩漸近線距離的積的5倍等于焦點(diǎn)到漸近線距離的平方C.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)?虛軸長(zhǎng)?焦距成等比數(shù)列D.雙曲線上存在點(diǎn)，滿足【11題答案】【正確答案】AB【分析】先由求得，即可求出漸近線判斷A選項(xiàng)，由點(diǎn)到直線的距離公式即可判斷B選項(xiàng)，由實(shí)軸長(zhǎng)?虛軸長(zhǎng)?焦距等比中項(xiàng)即可判斷C選項(xiàng)，由雙曲線定義的范圍即可判斷D選項(xiàng).【詳解】易知雙曲線的方程為，令得，故，解得，雙曲線的漸近線方程為，即，故A正確；雙曲線的漸近線方程為，由雙曲線的對(duì)稱性，沒(méi)有妨取右頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)到兩漸近線距離的積為，焦點(diǎn)到漸近線距離的平方為，又，，故，B正確；，，顯然，C錯(cuò)誤；若，又由雙曲線定義，解得，故沒(méi)有存在點(diǎn)，滿足，D錯(cuò)誤.故選：AB.12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的一系列格點(diǎn)，其中且.記，如記為，記為，記為，以此類推；設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.則（）

A. B. C. D.【12題答案】【正確答案】ABD【分析】由圖觀察可知第圈的個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的這項(xiàng)的和為0，則，同時(shí)第圈的一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為，設(shè)在第圈，則圈共有個(gè)數(shù)，可判斷前圈共有個(gè)數(shù)，所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，向前推導(dǎo)，則可判斷A，B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，即可判斷C選項(xiàng)；借助與圖可知，即項(xiàng)之和，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，…，，即可求解判斷D選項(xiàng).【詳解】由題，圈從點(diǎn)到點(diǎn)共8個(gè)點(diǎn)，由對(duì)稱性可知；第二圈從點(diǎn)到點(diǎn)共16個(gè)點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，即，以此類推，可得第圈個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的這項(xiàng)的和為0，即，設(shè)在第圈，則，由此可知前圈共有個(gè)數(shù)，故，則，所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，故A正確；，故B正確；所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，故C錯(cuò)誤；，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，…，，所以，故D正確.故選：ABD關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：觀察圖形，利用對(duì)稱性求解問(wèn)題，對(duì)D選項(xiàng)，考慮已知的前項(xiàng)和與所求的關(guān)系，圖形，可適當(dāng)先列舉找到規(guī)律，再求解.三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.計(jì)算：___________.【13題答案】【正確答案】##【分析】直接由角的三角函數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算求解即可.【詳解】.故答案為.14.已知為圓：上任意一點(diǎn)，則的值為_(kāi)__________.【14題答案】【正確答案】【分析】將轉(zhuǎn)化為點(diǎn)和連線的斜率，由圖像可知當(dāng)直線與圓相切時(shí)取得值，由解出斜率即可.【詳解】由于，故表示和連線的斜率，設(shè)，如圖所示，當(dāng)與圓相切時(shí)，取得值，設(shè)此時(shí)，即，又圓心，半徑為1，故，解得，故的值為.故答案為.15.已知函數(shù)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)___________.【15題答案】【正確答案】【分析】先由基本沒(méi)有等式求得，再由二次函數(shù)求得，要使函數(shù)有零點(diǎn)，必須同時(shí)取等，即，，解方程即可.【詳解】由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等.要使函數(shù)有零點(diǎn)，則且，化簡(jiǎn)得，解得.故答案為.16.四面體中，，，，且異面直線與所成的角為.若四面體的外接球半徑為，則四面體的體積的值為_(kāi)__________.【16題答案】【正確答案】【分析】構(gòu)建直三棱柱，找出球心及底面外心，正弦定理求得，由表示出體積，再余弦定理及基本沒(méi)有等式求出值.【詳解】由，，，且異面直線與所成的角為構(gòu)建直三棱柱，由得，易得四面體外接球即為直三棱柱的外接球，取的外心，易得的中點(diǎn)即為球心，又，則，由正弦定理得，又，又由余弦定理得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故的值為3，四面體的體積的值為.故答案為.四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答問(wèn)題.在中，角A?B?C所對(duì)的邊分別是a?b?c，___________.（1）求角A；（2）若，，點(diǎn)D在線段AB上，且與的面積比為3：5，求CD的長(zhǎng).（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按個(gè)解答內(nèi)容計(jì)分）【17題答案】【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）若選①，由正弦定理，得，再由余弦定理即可求出角A；若選②，由正弦定理得，解得，即可求出角A；若選③，先由平方關(guān)系得，再由正弦定理得，再由余弦定理即可求出角A；（2）在中，由余弦定理求得，由與的面積比求得，再在中由余弦定理求得即可.【小問(wèn)1詳解】選①，由正弦定理，得，即，故，又，故；選②，由正弦定理，得，又，故，又，故，又，故；選③，由可得，即，由正弦定理得，故，又，故；【小問(wèn)2詳解】在中，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，解得或（舍），又與的面積比為3：5，即，所以，在中，由余弦定理得，即.19.已知數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若滿足，.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求.【19題答案】【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用累乘法即可求解；（2）由（1）代入可得，利用并項(xiàng)法求和即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，則，即，當(dāng)時(shí)，也成立，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1），，，則，則.21.南平市于2018年成功獲得2022年第十七屆福建省運(yùn)會(huì)承辦權(quán).為進(jìn)一步提升第十七屆福建省運(yùn)會(huì)志愿者綜合素質(zhì)，提高志愿者服務(wù)能力，南平市啟動(dòng)首批志愿者通識(shí)培訓(xùn)，并于培訓(xùn)后對(duì)參訓(xùn)志愿者進(jìn)行了測(cè)試，通過(guò)隨機(jī)抽樣，得到100名參訓(xùn)志愿者測(cè)試成績(jī)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，此次測(cè)試成績(jī)近似于服從正態(tài)分布，近似為這100人測(cè)試成績(jī)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），①求的值；②利用該正態(tài)分布，求；（2）在（1）的條件下，主辦單位為此次參加測(cè)試的志愿者制定如下獎(jiǎng)勵(lì)：①測(cè)試成績(jī)沒(méi)有低于的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，測(cè)試成績(jī)低于的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi)；②每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為：奉送話費(fèi)的金額（元）1030概率今在此次參加測(cè)試的志愿者中隨機(jī)抽取一名，記該志愿者獲贈(zèng)的話費(fèi)為（單位：元），試根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)與公式：若，則，，.【21題答案】【正確答案】（1）①；②（2）分布列見(jiàn)解析；【分析】（1）①利用平均值的公式求解即可；②利用正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求解；（2）由，所獲贈(zèng)話費(fèi)的可能取值為，，，，，表中數(shù)據(jù)，即可得到分布列，再利用期望公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題，，因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】由題，，所獲贈(zèng)話費(fèi)的可能取值為，，，，，，，，，，所以的分布列為：所以.23.如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，.（1）證明：平面；（2）若M為棱PD上的點(diǎn)，，且二面角的余弦值為，求直線PC與平面ACM所成角的正弦值.【23題答案】【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可知，易證≌，則，設(shè)，連接，等腰三角形性質(zhì)可知，即可得證；（2）取中點(diǎn)為，可知為二面角的平面角，易得≌，進(jìn)而可得平面，即，在中可得，，以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的法向量為，設(shè)所求的直線與平面所成角為，則，即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為的正方形，所以，由，，，則≌，所以，設(shè)，連接，所以，因?yàn)?，平面，平面，所以平?【小問(wèn)2詳解】取中點(diǎn)為，易得且，所以為二面角的平面角，則，因?yàn)?，，，所以≌，所以，即，又，所以平面，則，在中，，所以，則，以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，，所以，設(shè)所求的直線與平面所成角為，則，所以，所求的正弦值為.25.已知橢圓：，，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，焦距為4.過(guò)右焦點(diǎn)且與坐標(biāo)軸沒(méi)有垂直的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，已知的周長(zhǎng)為，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P，直線PN交x軸于點(diǎn)Q.（1）求橢圓方程；（2）求四邊形面積的值.【25題答案】【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）由的周長(zhǎng)求出，再由焦距求得，進(jìn)而求出，即得橢圓的方程；（2）設(shè)出直線的方程聯(lián)立橢圓方程求得，表示出直線的方程求出，由表示出面積，基本沒(méi)有等式求值即可.【小問(wèn)1詳解】的周長(zhǎng)為，由橢圓定義得，即.又焦距，得，則，所以橢圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，設(shè)，則，點(diǎn)，直線的方程為，令得，即，又，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)即時(shí)等號(hào)成立，所以四邊形面積的值為.27.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且.【27題答案】【正確答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）直接求導(dǎo)，分和討論單調(diào)性即可；（2）先討論當(dāng)時(shí)無(wú)零點(diǎn)，再討論時(shí)，通過(guò)同構(gòu)得到，即，確定在上的零點(diǎn)，即可證明有兩個(gè)零點(diǎn)；由相減得，換元令，進(jìn)而得到，通過(guò)放縮構(gòu)造函數(shù)即可求證.【小問(wèn)1詳解】定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，無(wú)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，由，得，即，設(shè)，則有，因?yàn)樵谏铣闪ⅲ栽谏蠁握{(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以等價(jià)于，即，所以的零點(diǎn)與在上的零點(diǎn)相同.若，由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上有兩個(gè)零點(diǎn).沒(méi)有妨設(shè)，則，相減得，設(shè)，則，代入上式，解得，所以，因?yàn)椋?，因此要證，只需證，即證，設(shè)，則，所以在遞增，，即，因?yàn)椋钥苫?，又因?yàn)?，所?本題關(guān)鍵點(diǎn)在于通過(guò)同構(gòu)得到，進(jìn)而將的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為在上的零點(diǎn)，再由得到，換元令，進(jìn)行放縮得到，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)證明即可.【高考數(shù)學(xué)】2022-2023學(xué)年福建省南平市專項(xiàng)提升仿真模擬試題（二模）考生注意：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選一選時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選一選時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回一、選一選：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.2.已知集合M，N滿足，則（）A. B. C. D.3.已知拋物線的準(zhǔn)線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則（）A.1 B. C.2 D.44.已知平面，直線滿足，，，，則（）A. B. C. D.5.已知，且，則（）A. B. C. D.6.我們將服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量稱為二項(xiàng)隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量稱為正態(tài)隨機(jī)變量．概率論中有一個(gè)重要的結(jié)論是棣莫弗一拉普拉斯極限定理，它表明，若隨機(jī)變量，當(dāng)n充分大時(shí)，二項(xiàng)隨機(jī)變量Y可以由正態(tài)隨機(jī)變量X來(lái)近似，且正態(tài)隨機(jī)變量X的期望和方差與二項(xiàng)隨機(jī)變量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年證明了的情形，1812年，拉普拉斯對(duì)一般的p進(jìn)行了證明．現(xiàn)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，則利用正態(tài)分布近似估算硬幣正面向上次數(shù)超過(guò)60次的概率為（）（附：若，則，，）A.0.1587 B.0.0228 C.0.0027 D.0.00147.已知為單位向量，滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.8.已知，則（）A B. C. D.二、選一選：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.為推動(dòng)學(xué)校體育運(yùn)動(dòng)發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生積極參與體育鍛煉，增強(qiáng)健康管理意識(shí)，某校根據(jù)性別比例采用分層抽樣方法隨機(jī)抽取了120名男生和80名女生，并分別繪制出男、女生每天在校平均體育時(shí)間的頻率分布直方圖（如圖所示），則（）A.B.該校男生每天在校平均體育時(shí)間中位數(shù)估計(jì)值為75C.估計(jì)該校至少有一半學(xué)生每天在校平均體育時(shí)間超過(guò)一小時(shí)D.估計(jì)該校每天在校平均體育時(shí)間沒(méi)有低于80分鐘的學(xué)生中男、女生人數(shù)比例為10.已知正方形邊長(zhǎng)為1，以為折痕把折起，得到四面體，則（）A. B.四面體體積的值為C.可以為等邊三角形 D.可以為直角三角形11.已知F為雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線l與圓相切于點(diǎn)M，l與C及其漸近線在第二象限的交點(diǎn)分別為P，Q，則（）A. B.直線與C相交C.若，則C的漸近線方程為 D.若，則C的離心率為12.已知函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù) B.圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.有一個(gè)零點(diǎn) D.沒(méi)有等式的解集為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于直線上，則________．14.已知函數(shù)，寫出一個(gè)同時(shí)滿足以下條件的的值___________．①；②是偶函數(shù)；③在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)．15.為提升市民的藝術(shù)修養(yǎng)，豐富文化生活，市圖書館開(kāi)設(shè)了工藝、繪畫、雕塑等公益講座，講座海報(bào)如圖所示．某人計(jì)劃用三天時(shí)間參加三場(chǎng)沒(méi)有同類型講座，則共有_______種選擇．（用數(shù)字作答）16.已知數(shù)列與數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，則_________；若對(duì)于恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c．已．（1）求A；（2）D為的中點(diǎn)，，垂足為E，，垂足為F．若，求面積的值．18.如圖，點(diǎn)是正方形的，，，，．（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成角的正切值為，求二面角的余弦值．19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）記，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．20.中，，線段上的點(diǎn)M滿足．（1）記M的軌跡為，求的方程；（2）過(guò)B的直線l與交于P，Q兩點(diǎn)，且，判斷點(diǎn)C和以為直徑的圓的位置關(guān)系．21.某工廠采購(gòu)了一批新的生產(chǎn)設(shè)備．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，設(shè)備正常狀態(tài)下，生產(chǎn)的產(chǎn)品率為0.98．為監(jiān)控設(shè)備生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品，并檢測(cè)質(zhì)量．規(guī)定：抽檢的10件產(chǎn)品中，若至少出現(xiàn)2件次品，則認(rèn)為設(shè)備生產(chǎn)過(guò)程出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)設(shè)備進(jìn)行檢測(cè)及修理．（1）假設(shè)設(shè)備正常狀態(tài)，記X表示內(nèi)抽取的10件產(chǎn)品中的次品件數(shù)，求，并說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程規(guī)定的合理性；（2）該設(shè)備由甲、乙兩個(gè)部件構(gòu)成，若兩個(gè)部件同時(shí)出現(xiàn)故障，則設(shè)備停止運(yùn)轉(zhuǎn)；若只有一個(gè)部件出現(xiàn)故障，則設(shè)備出現(xiàn)異常．已知設(shè)備出現(xiàn)異常是由甲部件故障造成的概率為p，由乙部件故障造成的概率為．若設(shè)備出現(xiàn)異常，需先檢測(cè)其中一個(gè)部件，如果確認(rèn)該部件出現(xiàn)故障，則進(jìn)行修理，否則，繼續(xù)對(duì)另一部件進(jìn)行檢測(cè)及修理．已知甲部件的檢測(cè)費(fèi)用1000元，修理費(fèi)用5000元，乙部件的檢測(cè)費(fèi)用2000元，修理費(fèi)用4000元．當(dāng)設(shè)備出現(xiàn)異常時(shí)，僅考慮檢測(cè)和修理總費(fèi)用，應(yīng)先檢測(cè)甲部件還是乙部件，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考數(shù)據(jù)：．22.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【高考數(shù)學(xué)】2022-2023學(xué)年福建省南平市專項(xiàng)提升仿真模擬試題（二模）考生注意：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選一選時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選一選時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回一、選一選：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】求得后，代入解析式即可得到結(jié)果.【詳解】，.故選：D2.已知集合M，N滿足，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)交集的定義即可求解.【詳解】解：因?yàn)榧螹，N滿足，所以根據(jù)交集的定義可得，故選：C.3.已知拋物線的準(zhǔn)線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則（）A.1 B. C.2 D.4【正確答案】C【分析】有幾何關(guān)系，圓與拋物線交點(diǎn)的坐標(biāo)與圓半徑滿足勾股定理，可求得準(zhǔn)線，即可求得p【詳解】由題，圓與拋物線都關(guān)于x軸對(duì)稱，故所截得的弦AB與x軸垂直，圓心為原點(diǎn)，圓半徑為2，則有，解得，故，得，故選：C4.已知平面，直線滿足，，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由線面平行、線面垂直和面面垂直判定與性質(zhì)依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，，，或，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，與可能平行、相交或，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，與可能平行或異面，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，又，，D正確.故選：D.5.已知，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用二倍角公式化簡(jiǎn)已知等式可求得，并確定所在象限；根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系可求得，利用兩角和差余弦公式可求得結(jié)果.【詳解】，，，，，，，，，，.故選：C.6.我們將服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量稱為二項(xiàng)隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量稱為正態(tài)隨機(jī)變量．概率論中有一個(gè)重要的結(jié)論是棣莫弗一拉普拉斯極限定理，它表明，若隨機(jī)變量，當(dāng)n充分大時(shí)，二項(xiàng)隨機(jī)變量Y可以由正態(tài)隨機(jī)變量X來(lái)近似，且正態(tài)隨機(jī)變量X的期望和方差與二項(xiàng)隨機(jī)變量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年證明了的情形，1812年，拉普拉斯對(duì)一般的p進(jìn)行了證明．現(xiàn)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，則利用正態(tài)分布近似估算硬幣正面向上次數(shù)超過(guò)60次的概率為（）（附：若，則，，）A.0.1587 B.0.0228 C.0.0027 D.0.0014【正確答案】B【分析】由題意，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望與方差公式分別求出和，然后再利用正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求解.【詳解】解：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，設(shè)硬幣正面向上次數(shù)為，則，所以，，由題意，，且，，因?yàn)?，所以利用正態(tài)分布近似估算硬幣正面向上次數(shù)超過(guò)60次的概率為，故選：B.7.已知為單位向量，滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】設(shè)，以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，，可得.【詳解】設(shè)，則，所以為等邊三角形，以為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，則，所以在以為圓心，1為半徑的圓上，因?yàn)?，所?故選：A.8.已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由換底公式得出，則同號(hào)，討論和兩種情況比較可得.【詳解】由題可得且，可得，則同號(hào)，若，則，則由可得，即，由可得，即，所以；若，則，則由可得，即，由可得，即，所以；綜上，.故選：B.二、選一選：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.為推動(dòng)學(xué)校體育運(yùn)動(dòng)發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生積極參與體育鍛煉，增強(qiáng)健康管理意識(shí)，某校根據(jù)性別比例采用分層抽樣方法隨機(jī)抽取了120名男生和80名女生，并分別繪制出男、女生每天在校平均體育時(shí)間的頻率分布直方圖（如圖所示），則（）A.B.該校男生每天在校平均體育時(shí)間中位數(shù)的估計(jì)值為75C.估計(jì)該校至少有一半學(xué)生每天在校平均體育時(shí)間超過(guò)一小時(shí)D.估計(jì)該校每天在校平均體育時(shí)間沒(méi)有低于80分鐘的學(xué)生中男、女生人數(shù)比例為【正確答案】ACD【分析】根據(jù)頻率分布直方圖及男女學(xué)生的比例一一計(jì)算可得；【詳解】解：，解得，故A正確；因?yàn)?，，故設(shè)中位數(shù)為，則，故B錯(cuò)誤；樣本中男生在校平均體育時(shí)間超過(guò)一小時(shí)的占，女生在校平均體育時(shí)間超過(guò)一小時(shí)的占，所以該校每天在校平均體育時(shí)間超過(guò)一小時(shí)的頻率為，故C正確；男生中每天在校平均體育時(shí)間沒(méi)有低于80分鐘的頻率為，女生中每天在校平均體育時(shí)間沒(méi)有低于80分鐘頻率為，所以該校每天在校平均體育時(shí)間沒(méi)有低于80分鐘的學(xué)生中男、女生人數(shù)比例為，故D正確；故選：ACD10.已知正方形的邊長(zhǎng)為1，以為折痕把折起，得到四面體，則（）A. B.四面體體積的值為C.可以為等邊三角形 D.可以為直角三角形【正確答案】AC【分析】取BD得中點(diǎn)為O，連接，可得平面，可判斷選項(xiàng)A；當(dāng)平面時(shí)，四面體體積的，且體積為，可判斷選項(xiàng)B；當(dāng)平面時(shí)，，所以，從而即可判斷；若為直角三角形，又，則，由可判斷選項(xiàng)D.【詳解】解：取BD得中點(diǎn)為O，連接，由題意，，，且，所以平面，所以，故選項(xiàng)A正確；當(dāng)平面時(shí)，四面體體積的，且體積為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)平面時(shí)，，所以，又，所以此時(shí)為等邊三角形，故選項(xiàng)C正確；若為直角三角形，又，則，所以，此時(shí)，沒(méi)有滿足三角形任意兩邊之和大于第三邊，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知F為雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線l與圓相切于點(diǎn)M，l與C及其漸近線在第二象限的交點(diǎn)分別為P，Q，則（）A. B.直線與C相交C.若，則C的漸近線方程為 D.若，則C的離心率為【正確答案】AD【分析】根據(jù)給定條件，計(jì)算切線長(zhǎng)判斷A；由直線斜率與的大小說(shuō)明判斷B；求出出點(diǎn)Q，P的坐標(biāo)計(jì)算判斷C，D作答.【詳解】令雙曲線的半焦距為c，有，，依題意，，如圖，對(duì)于A，，A正確；直線的斜率，直線是雙曲線C過(guò)三象限的漸近線，直線與C沒(méi)有相交，B沒(méi)有正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)A可得點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，依題意，，即，解得，即，又點(diǎn)Q在直線上，則有，解得，有，C的漸近線方程為，C沒(méi)有正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C同理得點(diǎn)，因此，即，解得，D正確.故選：AD12.已知函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù) B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.有一個(gè)零點(diǎn) D.沒(méi)有等式的解集為【正確答案】BCD【分析】求解的定義域，可知定義域沒(méi)有關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，知A錯(cuò)誤；根據(jù)解析式驗(yàn)證可知，則知B正確；當(dāng)時(shí)，由單調(diào)性的性質(zhì)可確定在上單調(diào)遞減，值域的求法可求得；對(duì)稱性可知在上單調(diào)遞減；利用零點(diǎn)存在定理可說(shuō)明在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，知C正確；C的結(jié)論可說(shuō)明時(shí)，時(shí)，；利用單調(diào)性，分別討論和在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)、兩個(gè)沒(méi)有同單調(diào)區(qū)間內(nèi)的情況，解沒(méi)有等式組可求得結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，由得：，即定義域?yàn)?，沒(méi)有關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為非奇非偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞減；由知：圖象關(guān)于對(duì)稱，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，，在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，，使得，則在上有零點(diǎn)；綜上所述：有一個(gè)零點(diǎn)，C正確；對(duì)于D，由C知：在和上單調(diào)遞減，又時(shí)，；時(shí)，；①當(dāng)，即時(shí)，由得：，解得：（舍）或；②當(dāng)時(shí)，沒(méi)有等式組無(wú)解，沒(méi)有合題意；③當(dāng)，即時(shí)，，，滿足題意；④當(dāng)，即時(shí)，，，沒(méi)有合題意；綜上所述：的解集為：，D正確.故選：BCD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，涉及到函數(shù)奇偶性的判斷、對(duì)稱性的判斷、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的求解、利用函數(shù)單調(diào)性解沒(méi)有等式；利用單調(diào)性解沒(méi)有等式的關(guān)鍵是能夠確定函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)單調(diào)性將函數(shù)值大小關(guān)系的比較轉(zhuǎn)化為自變量大小關(guān)系的比較問(wèn)題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于直線上，則________．【正確答案】【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，即可得到在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到方程，解得即可；【詳解】解：因?yàn)?，所以在?fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，又復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于直線上，所以，解得；故14.已知函數(shù)，寫出一個(gè)同時(shí)滿足以下條件的的值___________．①；②是偶函數(shù)；③在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)．【正確答案】4（答案沒(méi)有）【分析】根據(jù)函數(shù)要滿足的三個(gè)條件正余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】根據(jù)是偶函數(shù)且，則取，又的極值點(diǎn)即為其最值點(diǎn)，又因?yàn)樵谏锨∮袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，故，故函數(shù)，一個(gè)同時(shí)滿足三個(gè)條件的的值可取為4，證，符合題意，故415.為提升市民的藝術(shù)修養(yǎng)，豐富文化生活，市圖書館開(kāi)設(shè)了工藝、繪畫、雕塑等公益講座，講座海報(bào)如圖所示．某人計(jì)劃用三天時(shí)間參加三場(chǎng)沒(méi)有同類型講座，則共有_______種選擇．（用數(shù)字作答）【正確答案】8【分析】按分步乘法計(jì)數(shù)原理可計(jì)算得出.【詳解】由講座海報(bào)可知，先選擇參加繪畫講座的有2種，再選擇參加雕塑講座，有2種，再在剩下的2天里選擇參見(jiàn)工藝講座，有2種，所以一共有種選擇.故8.16.已知數(shù)列與數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，則_________；若對(duì)于恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．【正確答案】①.②.【分析】設(shè)，，可得出，由裂項(xiàng)相消法可求出，沒(méi)有等式可化為恒成立，求出的最小值即可.【詳解】設(shè)，，則，所以，所以，由，得，即對(duì)于恒成立，設(shè)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，又，且，則，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故；.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c．已．（1）求A；（2）D為的中點(diǎn)，，垂足為E，，垂足為F．若，求面積的值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由正弦定理化簡(jiǎn)得，借助輔助角公式化簡(jiǎn)求解.（2）設(shè)，則，進(jìn)而得，，所以，由差角的正弦公式及輔助角公式及倍角公式化簡(jiǎn)得，進(jìn)而求出面積值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，，化?jiǎn)得，，由輔助角公式得，，所以，A為的內(nèi)角，所以，所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，設(shè)，則，因?yàn)镈為的中點(diǎn)，，且，所以直角中，，同理，四邊形中，，，，所以，所以，所以，即時(shí)面積為.18.如圖，點(diǎn)是正方形的，，，，．（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成角的正切值為，求二面角的余弦值．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）由正方形性質(zhì)和線面垂直判定可知平面，由此可得；，由線面垂直的判定可得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角定義可求得，利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】四邊形正方形，，又，，平面，平面；平面，；又，，平面，平面.【小問(wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，平面，直線與平面所成角為，，解得：；，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；，二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）記，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）當(dāng)時(shí)可求得；當(dāng)時(shí)，由與關(guān)系可得，驗(yàn)證知，由此可證得結(jié)論；（2）由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可推導(dǎo)得到；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由知；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，令，可知遞增，得到，知；采用分組求和的方式對(duì)奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別求和，等比和等差數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，由得：，兩式作差得：，即；經(jīng)檢驗(yàn)：，滿足；數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）得：，；則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；令，則，，即，；.20