實(shí)變函數(shù)期末考試卷A_第1頁
實(shí)變函數(shù)期末考試卷A_第2頁
實(shí)變函數(shù)期末考試卷A_第3頁
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實(shí)變函數(shù)期末考試卷A附件一東南大學(xué)考試卷（A卷）課程名稱實(shí)變函數(shù)數(shù)學(xué)系考試學(xué)期考試形式11-12-2得分考試時(shí)間長適用專業(yè)閉卷度120分鐘（開卷、半開卷請?jiān)诖藢懨骺荚嚳蓭男┵Y料）題目得分一二三四五六七八總分批閱人自覺遵守考場紀(jì)律如考試作弊此答卷無效一.(10分)試敘述可數(shù)集的定義，并分別給出一個(gè)可數(shù)集合和一個(gè)不可數(shù)集的例子。二.(10分)敘述勒貝格外測度的定義，并證明可數(shù)集的外測度為零.三.(10分)設(shè)是可測集，證明存在的一列單調(diào)增加的閉子集列使得.四.(10分)(1)試給出有界閉區(qū)間上有界函數(shù)Riemann可積的充分必要條件。(2)給出一個(gè)Lebesgue可積但Riemann不可積的例子。五.(10分)(1)敘述依測度收斂的定義。(2)若在上，上幾乎處處相等。,,證明和在六.(10分)敘述有界變差函數(shù)和絕對連續(xù)函數(shù)的定義，并分別給出一個(gè)例子。七.(10分)設(shè)在上Lebesgue可積。如果,證明存在子列在上幾乎處處收斂于零。八.(10分)(1)試敘述Fatou引理;(2)求下列極限：九．設(shè)在是上Lebesgue可積。(1)若上的有界可測函數(shù)，證明在上是Lebesgue可積的。成立.證明(2)如果對上的任意有界可測函數(shù)，總有在上幾乎處處為零。(3)如果對任意連續(xù)函數(shù)總有成立，證明上述(2)中結(jié)論仍然成立。十.(10分）設(shè)(1)證明:在上Lebesgue可積。令。是有界連續(xù)

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