四川省南充市嘉陵第一中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

四川省南充市嘉陵第一中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知向量a=（5，-3），b=（-6，4），則a+b=

（A）（1，1）

（B）（-1，-1）

（C）（1，-1）

（D）（-1，1）參考答案：D略2.函數(shù)f（x）=|x|（|x﹣1|﹣|x+1|）是（）A．是奇函數(shù)又是減函數(shù) B．是奇函數(shù)但不是減函數(shù)C．是減函數(shù)但不是奇函數(shù) D．不是奇函數(shù)也不是減函數(shù)參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【分析】首先由奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足f（﹣x）=﹣f（x），可判函數(shù)f（x）=|x|（|x﹣1|﹣|x+1|）是奇函數(shù)；然后利用分類討論的方法去絕對(duì)值符號(hào)，由于奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且對(duì)稱兩側(cè)的單調(diào)性相同，所以只需討論0≤x≤1與x＞1時(shí)即可；最后根據(jù)化簡(jiǎn)后的分段函數(shù)畫出其圖象，則f（x）的單調(diào)性一目了然．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（﹣x）=|﹣x|（|﹣x﹣1|﹣|﹣x+1|）=|x|（|x+1|﹣|x﹣1|）=﹣f（x），所以f（x）是奇函數(shù)．又因?yàn)楫?dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x（﹣x+1﹣x﹣1）=﹣2x2；當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=x（x﹣1﹣x﹣1）=﹣2x，所以f（x）的圖象如圖：所以f（x）既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性定義及它的圖象性質(zhì)，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合的方法研究函數(shù)的單調(diào)性．3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：“一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈多少？”現(xiàn)有類似問題：一座5層塔共掛了242盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的3倍，則塔的底層共有燈（

）A．162盞

B．114盞

C．112盞

D．81盞參考答案：A4.設(shè)，數(shù)列{an}中，，,則（

）A.當(dāng) B.當(dāng)C.當(dāng) D.當(dāng)參考答案：A【分析】本題綜合性較強(qiáng)，注重重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、運(yùn)算求解能力、分類討論思想的考查.本題從確定不動(dòng)點(diǎn)出發(fā)，通過研究選項(xiàng)得解.【詳解】選項(xiàng)B：不動(dòng)點(diǎn)滿足時(shí)，如圖，若，排除如圖，若為不動(dòng)點(diǎn)則選項(xiàng)C：不動(dòng)點(diǎn)滿足，不動(dòng)點(diǎn)為，令，則，排除選項(xiàng)D：不動(dòng)點(diǎn)滿足，不動(dòng)點(diǎn)為，令，則，排除.選項(xiàng)A：證明：當(dāng)時(shí)，，處理一：可依次迭代到；處理二：當(dāng)時(shí)，，則則，則.故選A【點(diǎn)睛】遇到此類問題，不少考生會(huì)一籌莫展.利用函數(shù)方程思想，通過研究函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，進(jìn)一步討論的可能取值，利用“排除法”求解.

5.如圖是依據(jù)某城市年齡在20歲到45歲的居民上網(wǎng)情況調(diào)查而繪制的頻率分布直方圖，現(xiàn)已知年齡在[30,35)、[35,40)、[40,45]的上網(wǎng)人數(shù)呈現(xiàn)遞減的等差數(shù)列分布，則年齡在[35,40)的網(wǎng)民出現(xiàn)的頻率為()A．0.04

B．0.06

C．0.2

D．0.3參考答案：C略6.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則A．

B．

C．

D．參考答案：A略7.設(shè)集合A={x∈R|＜1}，B={x∈R|2x＜1}，則(

)A．A?B B．A=B C．A?B D．A∩B=?參考答案：A【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；集合．【分析】分別化簡(jiǎn)集合A，B，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵，∴A={x|x＞1或x＜0}，∵2x＜1，∴B={x|x＜0}，∴B?A．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．8.若命題“，使得”是假命題，則實(shí)數(shù)取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：C9.在上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則事件“”發(fā)生的概率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】CF：幾何概型．【分析】利用三角函數(shù)的輔助角公式求出的等價(jià)條件，利用幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論．【解答】解：由得2sin（x+）≥1，即cosx≥，∵0≤x≤2π，∴x的取值范圍是0≤x≤或≤x≤2π，則“”發(fā)生的概率P==，故選：B．10.已知函數(shù)f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，設(shè)兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同，則a∈（0，+∞）時(shí)，實(shí)數(shù)b的最大值是（）A．e B．e6 C．e6 D．e參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】設(shè)公共點(diǎn)為P（x0，y0），分別求出f′（x）和g′（x），由題意可得f′（x0）=g′（x0），列出方程求出解出x0，再由f（x0）=g（x0）得到b關(guān)于a的函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由a的范圍和導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求出單調(diào)區(qū)間和極值、最值，即可得到b的最大值．【解答】解：設(shè)曲線y=f（x）與y=g（x）在公共點(diǎn)（x0，y0）處的切線相同，因?yàn)閒′（x）=x+2a，g′（x）=，且f′（x0）=g′（x0），所以x0+2a=，化簡(jiǎn)得，解得x0=a或﹣3a，又x0＞0，且a＞0，則x0=a，因?yàn)閒（x0）=g（x0），所以，則b（a）=（a＞0），所以b′（a）=5a﹣3（2alna+a）=2a﹣6alna=2a（1﹣3lna），由b′（a）=0得，a=，所以當(dāng)0＜a＜時(shí)，b′（a）＞0；當(dāng)a＞時(shí)，b′（a）＜0，即b（a）在（0，）上單調(diào)遞增，b（a）在（，+∞）上單調(diào)遞減，所以當(dāng)a=時(shí)，實(shí)數(shù)b的取到極大值也是最大值b（）=．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值和最值，以及對(duì)數(shù)不等式的解法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)a、b為兩非零向量，且滿足|a|＝2|b|＝|2a+3b|，則兩向量a、b的夾角的余弦值為

。參考答案：略12.已知定義在[1,+∞）上的函數(shù)。給出下列結(jié)論：①函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,4];②關(guān)于x的方程有2n+4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)的圖像與x軸圍成的圖形面積為S，則S=2；④存在，使得不等式成立，其中你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào)為_______.參考答案：略13.橢圓兩焦點(diǎn)之間的距離為

．參考答案：14.若,，且為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為

．參考答案：15.點(diǎn)A（1，2）關(guān)于直線m：x﹣y﹣1=0的對(duì)稱點(diǎn)是

．參考答案：（3，0）【考點(diǎn)】與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程．【分析】設(shè)點(diǎn)A（1，2）關(guān)于直線m：x﹣y﹣1=0的對(duì)稱點(diǎn)為B（a，b），利用垂直及中點(diǎn)在軸上這兩個(gè)條件求得a、b的值，可得結(jié)論．【解答】解：設(shè)點(diǎn)A（1，2）關(guān)于直線m：x﹣y﹣1=0的對(duì)稱點(diǎn)為B（a，b），由，求得，可得B（3，0），故答案為：（3，0）．16.已知三棱錐P﹣ABC的頂點(diǎn)P、A、B、C在球O的表面上，△ABC是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，如果球O的表面積為36π，那么P到平面ABC距離的最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】MK：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【分析】求出球心O到平面ABC的距離，即可求出P到平面ABC距離的最大值．【解答】解：△ABC是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，外接圓的半徑為1，球O的表面積為36π，球的半徑為3，∴球心O到平面ABC的距離為=2，∴P到平面ABC距離的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查P到平面ABC距離的最大值，考查勾股定理的運(yùn)用，考查球的表面積，屬于中檔題．17.

．參考答案：3，故答案為.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）設(shè)函數(shù)（其中為f(x)的導(dǎo)函數(shù)），判斷g(x)在(－1,+∞)上的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)無零點(diǎn)，試確定正數(shù)a的取值范圍.參考答案：(1)在上單調(diào)遞增.(2).【分析】（1）先分析得到，即得函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）先利用導(dǎo)數(shù)求出，再對(duì)a分三種情況討論，討論每一種情況下的零點(diǎn)情況得解.【詳解】（1）因?yàn)?，則，，∴，∴在上單調(diào)遞增.（2）由知，由（1）知在上單調(diào)遞增，且，可知當(dāng)時(shí)，，則有唯一零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為，易知時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減，故，其中.令，則，易知上恒成立，所以，在上單調(diào)遞增，且.①當(dāng)時(shí)，，由在上單調(diào)遞增知，則，由在上單調(diào)遞增，，所以，故在上有零點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，，由單調(diào)性知，則，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，，由的單調(diào)性知，則，此時(shí)沒有零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)無零點(diǎn)時(shí)，正數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值和零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知函數(shù)的圖象相鄰兩個(gè)對(duì)稱軸之間的距離為，且f(x)的圖象與的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為的交點(diǎn)（1）求f(x)的解析式（2）當(dāng)時(shí)，求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的值參考答案：20.在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD垂直相交于點(diǎn)O，且OA=OB=OD=4，OC=3．將△BCD沿BD折到△BED的位置，使得二面角E﹣BD﹣A的大小為90°（如圖）．已知Q為EO的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB上，且AP=．（Ⅰ）證明：直線PQ∥平面ADE；（Ⅱ）求直線BD與平面ADE所成角θ的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）證明PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，可得平面PQR∥平面ADE，即可證明：直線PQ∥平面ADE；（Ⅱ）由等體積法可得點(diǎn)O到平面ADE的距離，即可求直線BD與平面ADE所成角θ的正弦值．【解答】（Ⅰ）證明：如圖，取OD的中點(diǎn)R，連接PR，QR，則DE∥RQ，由題知，又，故AB：AP=4：1=DB：DR，因此AD∥PR，因?yàn)镻R，RQ?平面ADE，且AD，DE?平面ADE，故PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，又PR∩RQ=R，故平面PQR∥平面ADE，從而PQ∥平面ADE．…6分（Ⅱ）解：由題EA=ED=5，，設(shè)點(diǎn)O到平面ADE的距離為d，則由等體積法可得，故，因此．…12分．21.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足ccos﹣bsin=0．（Ⅰ）求角B的大?。唬á颍┤酎c(diǎn)D在△ABC的外接圓上，且CD=5，△ACD的面積為5，求AC的長(zhǎng)．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用誘導(dǎo)公式，正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得sinCcosB+sinBsinC=0，由于sinC≠0，可求tanB=﹣，結(jié)合范圍0＜B＜π，可求B的值．（Ⅱ）由點(diǎn)D在△ABC的外接圓上，可得D=π﹣B=，或B=D=，利用三角形面積公式可求AD，進(jìn)而利用余弦定理即可解得AC的值．【解答】（本題滿分為12分）解：（Ⅰ）∵ccos﹣bsin=0，∴ccosB+bsinC=0，由正弦定理可得：sinCcosB+sinBsinC=0，…3分∵0＜C＜π，sinC≠0，∴cosB+sinB=0，可得：tanB=﹣，∵0＜B＜π，∴B=…6分（Ⅱ）∵由點(diǎn)D在△ABC的外接圓上，可得：D=π﹣B=，或B=D=，…7分∴S△ACD=CD?AD?sinD==5，解得：AD=4，∵在△ACD中，由余弦定理，可得：AC2=AD2+CD2﹣2AD?CD?cosD=21或61，∴AC=或…12分22.（12分）（2015秋?河南校級(jí)月考）設(shè)函數(shù)f（x）=﹣ax．（1）若a=0，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（2）當(dāng)b=1時(shí)，若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】（1）求f（x）=的定義域，再求導(dǎo)f′（x）==b，從而討論確定函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)b=1時(shí)，f（x）=﹣ax，f′（x）=﹣a，從而可得當(dāng)x2=e2時(shí)，f′（x2）+a有最大值，從而只需使存在x1∈[e，e2]，使f（x1）≤0，從而可得a≥﹣，從而解得．【解答】解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=的定義域?yàn)椋?，1）∪（1，+∞），f′（x）==b，①當(dāng)b＞0時(shí)，x∈（e，+∞）時(shí)，f′（x）