吉林省長春市第一0六中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

吉林省長春市第一0六中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.定義某種運(yùn)算⊙：⊙的運(yùn)算原理如框圖，則式子5⊙3+2⊙4=（

）

A．14

B．15

C．16

D．18參考答案：A該程序框圖的功能是輸入一對(duì)，的值，輸出相應(yīng)的值，且。因此5⊙3=，2⊙4=，從而5⊙3+2⊙4=14，故選擇A。2.利用如圖所示程序框圖在直角坐標(biāo)平面上打印一系列點(diǎn)，則打印

的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上的個(gè)數(shù)是

（

）A.0

B.1

C.2

D.3參考答案：B略3.設(shè)，則“”是“”的（

） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B略4.若，且，則實(shí)數(shù)的值為（

）

A．1

B．3

C．－3

D．－3或1參考答案：答案:D5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為x2+y2-8x+15=0,若直線y=kx+2上至少存在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心,半徑為1的圓與圓C有公共點(diǎn),則k的最小值是（

）A．－ B．－ C．－ D．－參考答案：A【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系H4∵圓C的方程為x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圓C是以（4，0）為圓心，1為半徑的圓；又直線y=kx+2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，

∴只需圓C′：（x-4）2+y2=4與直線y=kx+2有公共點(diǎn)即可．設(shè)圓心C（4，0）到直線y=kx+2的距離為d，則d=≤2，即3k2≤-4k，∴-≤k≤0．∴k的最小值是．【思路點(diǎn)撥】化圓C的方程為（x-4）2+y2=1，求出圓心與半徑，由題意，只需（x-4）2+y2=4與直線y=kx+2有公共點(diǎn)即可．6.正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a1+a4+a7=2，a3+a6+a9=18，則{an}的前9項(xiàng)和S9=（）A．14 B．26 C．30 D．29參考答案：B【考點(diǎn)】89：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，求出公比，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，=q2==9，則q=3，則a2+a5+a8=q（a1+a4+a7）=3×2=6，則{an}的前9項(xiàng)和S9=a1+a4+a7+a2+a5+a8+a3+a6+a9=2+18+6=26，故選：B．7.已知函數(shù)的圖象與直線交于點(diǎn)P，若圖象在點(diǎn)P處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則＋＋…＋的值為（）A．－1

B．1－log20132012C．-log20132012

D．1參考答案：A略8.已知復(fù)數(shù)（其中i是虛數(shù)單位），則=A.0

B.

C.－2i

D.2i參考答案：C略9.在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為，已知，則A、

B、

C、或

D、參考答案：B根據(jù)切化弦和正弦定理，將原式化簡為：，因?yàn)椋栽秸頌?，，根?jù)正弦定理：，代入數(shù)據(jù)，得到，因?yàn)?，所?10..函數(shù)的圖象大致是(

)A. B.C. D.參考答案：B【分析】根據(jù)函數(shù)表達(dá)式,把分母設(shè)為新函數(shù),首先計(jì)算函數(shù)定義域,然后求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性,對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像得到答案.【詳解】設(shè)，，則的定義域?yàn)?，當(dāng)，，單增，當(dāng)，，單減，則.則在上單增，上單減，.選B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的判斷,用到了換元的思想,簡化了運(yùn)算,同學(xué)們還可以用特殊值法等方法進(jìn)行判斷.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)f（x）=lnx+ax存在與直線2x﹣y=0平行的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：（﹣∞，2﹣）∪考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：函數(shù)f（x）=lnx+ax存在與直線2x﹣y=0平行的切線?方程f′（x）=在區(qū)間x∈（0，+∞）上有解，并且去掉直線2x﹣y=0與曲線f（x）相切的情況，解出即可．解答： 解：，（x＞0）．∵函數(shù)f（x）=lnx+ax存在與直線2x﹣y=0平行的切線，∴方程在區(qū)間x∈（0，+∞）上有解．即在區(qū)間x∈（0，+∞）上有解．∴a＜2．若直線2x﹣y=0與曲線f（x）=lnx+ax相切，設(shè)切點(diǎn)為（x0，2x0）．則，解得x0=e．此時(shí)．綜上可知：實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，2﹣）∪．故答案為：（﹣∞，2﹣）∪．點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的斜率、相互平行的直線之間的斜率關(guān)系、恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．12.關(guān)于函數(shù)有下列命題：①函數(shù)的周期為；

②直線是的一條對(duì)稱軸；③點(diǎn)是的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心；④將的圖象向左平移個(gè)單位，可得到的圖象.其中真命題的序號(hào)是______.（把你認(rèn)為真命題的序號(hào)都寫上）參考答案：①③，所以周期，所以①正確，當(dāng)時(shí)，不是最值，所以②不正確.，所以③正確.將的圖象向左平移個(gè)單位，得到，所以④不正確，綜上正確的命題為①③.13.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是

．參考答案：(1,3)14.已知向量=（cos5°，sin5°），=（cos65°，sin65°），則|+2|=．參考答案：【考點(diǎn)】向量的模．【分析】求出+2，求出|+2|的解析式，根據(jù)三角函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：=（cos5°，sin5°），=（cos65°，sin65°），則+2=（cos5°+2cos65°，sin5°+2sin65°），則|+2|===，故答案為：．15.若則

參考答案：０略16.在四邊形ABCD中，，則四邊形ABCD的面積為__________。參考答案：17.設(shè)平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，則|3a＋b|＝________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．

（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．參考答案：解：（1）連結(jié)B1C，ME．因?yàn)镸，E分別為BB1，BC的中點(diǎn)，所以ME∥B1C，且ME=B1C．又因?yàn)镹為A1D的中點(diǎn)，所以ND=A1D．由題設(shè)知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四邊形MNDE為平行四邊形，MN∥ED．又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．（2）由已知可得DE⊥DA．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則，A1(2,0,4)，，，，，，．設(shè)為平面A1MA的法向量，則，所以可?。O(shè)為平面A1MN的法向量，則所以可?。谑?，所以二面角的正弦值為．

19.(本題滿分12分)如圖，在等腰直角中，，，，為垂足．沿將對(duì)折，連結(jié)、，使得．（1）對(duì)折后，在線段上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出的長；若不存在，說明理由；

（2）對(duì)折后，求二面角的平面角的大小．

參考答案：（本小題滿分12分）解：（1）在線段上存在點(diǎn)，使．

由等腰直角可知，對(duì)折后，，．在中，，∴，．

過作的垂線，與的交于點(diǎn)，點(diǎn)就是

滿足條件的唯一點(diǎn)．理由如下：連結(jié)，∵，∴平面，∴，即在線段上存在點(diǎn)，使．

………………4分

在中，，，得．……6分（2）對(duì)折后，作于，連結(jié)，∵，，∴平面，∴平面平面．

∵，且平面平面，∴平面．而，所以平面，即為二面角的平面角．

……………9分在中，，，得，在中，，，得．

在中，，，

所以二面角的大小為．

……………12分

略20.設(shè)函數(shù)f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．（1）當(dāng)a=2，b=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）令F（x）=f（x）+ax2+bx+（2≤x≤3）其圖象上任意一點(diǎn)P（x0，y0）處切線的斜率k≤恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)a=0，b=﹣1時(shí)，方程f（x）=mx在區(qū)間[1，e2]內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）求出F（x）的導(dǎo)數(shù)，得到a≥（﹣x02+x0）max，x0∈[2，3]，從而求出a的范圍即可；（3）由lnx+x=mx有唯一實(shí)數(shù)解，得到m=1+，設(shè)g（x）=1+，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．【解答】解：（1）依題意，知f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．…當(dāng)a=2，b=1時(shí)，f（x）=lnx﹣x2﹣x，f′（x）=﹣2x﹣1=﹣．令f′（x）=0，解得x=．…當(dāng)0＜x＜時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減．所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（0，），函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間（，+∞）．…（2）F（x）=lnx+，x∈[2，3]，所以k=F′（x0）=≤，在x0∈[2，3]上恒成立，…所以a≥（﹣x02+x0）max，x0∈[2，3]…當(dāng)x0=2時(shí)，﹣x02+x0取得最大值0．所以a≥0．…（3）當(dāng)a=0，b=﹣1時(shí)，f（x）=lnx+x，因?yàn)榉匠蘤（x）=mx在區(qū)間[1，e2]內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，所以lnx+x=mx有唯一實(shí)數(shù)解．∴m=1+，…設(shè)g（x）=1+，則g′（x）=．…令g′（x）＞0，得0＜x＜e；

g′（x）＜0，得x＞e，∴g（x）在區(qū)間[1，e]上是增函數(shù)，在區(qū)間[e，e2]上是減函數(shù)，…10分∴g（1）=1，g（e2）=1+=1+，g（e）=1+，…所以m=1+，或1≤m＜1+．…21.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)。（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間。（2）若在上的最大值為，求的值。參考答案：解：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得：，定義為（0，2）,（1）當(dāng)a=1時(shí)，令當(dāng)為增區(qū)間；當(dāng)為減函數(shù)。（2）當(dāng)有最大值，則必不為減函數(shù)，且>0，為單調(diào)遞增區(qū)間。最大值在右端點(diǎn)取到。。略22.已知函數(shù).（1）若函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.參考答案：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?由，得.①當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)在定義域上有個(gè)零點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，則時(shí)，時(shí)，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞