復(fù)變函數(shù)與積分變換習(xí)題冊

HEFEIUNIVERSITYOFTECHNOLOGYHEFEIUNIVERSITYOFTECHNOLOGY《復(fù)變函數(shù)與積分變換》習(xí)題冊合肥工業(yè)大學(xué)《復(fù)變函數(shù)與積分變換》校定平臺課程建設(shè)項目資助1年89月《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第一章習(xí)題.求下列各復(fù)數(shù)的實部、虛部、模、輻角和輻角主值:

(1)(1)1+2i2-i3-4i~5T(2).將下列復(fù)數(shù)寫成三角表達(dá)式和指數(shù)形式:⑴1-③;.利用復(fù)數(shù)的三角表示計算下列各式:(2)(1)4'-2+2i(2).解方程Z3+1=0..設(shè)z+z-1=2cos0(z豐0,9是z的輻角)，求證：zn+z-n=2cosn0..指出滿足下列各式的點(diǎn)Z的軌跡或所在范圍.,、 / .、兀arg(z-i)=4；zZ+az+%z+b=0,其中a為復(fù)數(shù)，b為實常數(shù).(選做).用復(fù)參數(shù)方程表示曲線：連接1+i與-1-4i的直線段..畫出下列不等式所確定的圖形,指出它們是否為區(qū)域、閉區(qū)域,并指明它是有界的還是無界的？是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域？并標(biāo)出區(qū)域邊界的方向.

1 八C 一(1)|z|<1,ReZ<；(2)0<Rez<1；^21.函數(shù)攻=一把下列Z平面上的曲線映射成段平面上怎么樣的曲線?z(1(1)x2+J2=4；(2)J=x； (3)x=1.不存在.Re不存在..試證：lim Zf0Z《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第二章習(xí)題.用導(dǎo)數(shù)定義求f(z)=Rez的導(dǎo)數(shù).

1(11(1)f(z)=；

z(2)f(z)=x3—3xy2+i(3x2y—j3)；.試討論f(z)=xy2+ix2y的解析性，并由此回答：若復(fù)變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)和v(x,y)均可微，那么f(z)=u+iv一定可導(dǎo)嗎？.設(shè)f(z)=my3+nx2y+i(x3+Ixy2)為解析函數(shù)，試確定l,m,n的值.

(1)f(z)=常數(shù);.設(shè)f(1)f(z)=常數(shù);(2)Ref(z)=常數(shù)； (3)f(z)解析..試解下列方程：(1)ez=1+<3i；(2)cosz=0；(3)sinz+cosz=0.(2)3(2)33-i；(3)e2+i.(1)Ln(—3+4i)；8.等式3Lnz3=3Lnz是否正確？請給出理由.《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第三章習(xí)題3.1復(fù)積分的概念與基本計算公式1.計算積分J(x-y+ix2)dz，其中C為從原點(diǎn)到點(diǎn)1+i的直線段.

.計算積分Jzd^z的值，其中為|z|二2cZ當(dāng)積分路徑是自-i當(dāng)積分路徑是自-i沿虛軸到i，利用積分性質(zhì)證明:Ji(x2+iy2)dz<2-i3.2柯西古薩基本定理1.計算積分J1dz,其中C為|z|=2zC2.計算積分J(|Z|一ez-sinz)dz，其中C為|2.計算積分J(|Z|3.3基本定理的推廣1.計算積分Jedz，其中

zCC為正向圓周z=2與負(fù)向圓周z=1所組成。- f2z-1 2.計算積分J dz，其中C為包含圓周z=1在內(nèi)的任何正向簡單閉曲線。z2—zC3.4原函數(shù)與不定積分

卜izsinz2dz0f1+izezdz13.5柯西積分公式1．計算下列積分（1）L2：z13dd，其中C：1z|=4，正向;（2）z^Z-1dz，其中C：Idl=2，正向;（2）（3）eiz3dd,C:z-2i\=-，正向.計算積分1~ed^dz，其中C為C(1)Id-i\=1(2)Z+i\=1⑶|d|=23.已知3.已知f(Z)=JW=Rd己(R豐1)求f(i),f(-i)3.6高階導(dǎo)公式1．計算下列積分J cOszdz,其中C:|z|=2，正向C(Z-2)2JJdz其中C:|z|=1，正向cZ10。JIn"+2）放其中c：閆=1，正向，a中1c（z-a）3已知f（z）=J」屋室1d己 求廣（1+i），/（4）歸一,3.7解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系.已知u(X,J)=ax3+xy2是某一解析函數(shù)的虛部，求a.設(shè)f(z)=u+iv為解析函數(shù)，已知u=x2+2xy—y2,f(0)=i()求f(z)的表達(dá)式；()求f'(z)y.已知調(diào)和函數(shù)v=arctan-(x>0),求調(diào)和函數(shù)u，使f(z)=u+iv成為解析函數(shù)，x并滿足f(1)=2.設(shè)v=epxsiny(p>0)，求p的值使得v為調(diào)和函數(shù)，并求出解析函數(shù)fQ)=v+iux.證明：u(x,y)=x2+y2,v(x,y)= 都是調(diào)和函數(shù)，但f(z)=u(x,y)+iv(x,y)不是x2+y2解析函數(shù).6.證明：若f(z)=u(X,y)+iV(x,y)是解析函數(shù)，則—V(x,y)是u(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù)《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第四章習(xí)題4-1復(fù)數(shù)項級數(shù).下列數(shù)列｛a｝是否收斂？如果收斂，則求出它們的極限：n11皿 (3+5i)n(1)a=[1+(-1)n-]e2；(2)a=-—.n n n 7n.下列級數(shù)是否收斂？若收斂，則判別是絕對收斂還是條件收斂.⑴￡二；(2)￡n(1+2i)n；(3)￡(1-1)M.lnn 5n n2n=2 n=2 n=2.冪級數(shù)￡a(z-1)n能否在z=-2處收斂，在z=2處發(fā)散?nn=14-2冪級數(shù)1.級數(shù)￡czn的收斂半徑R>0，且在收斂圓周z=R的某一點(diǎn)z處級數(shù)￡czn絕對收n 0 nn=0 n=0斂，證明級數(shù)￡czn在閉圓盤z<R上絕對收斂.nn=0

2.下列冪級數(shù)的收斂半徑：Vnn y2+(-1)n(1)乙 zn；(2)乙—--zn;(n!)2 3nn=1 n=1(3)￡(n(3)￡(n+an)zn,其中a為正實數(shù)n=14-3泰勒級數(shù)1sin11sin11.設(shè)有級數(shù)展開式一Ze，.-2Z2+1￡c(z-1-i)n,nn=0問級數(shù)￡c(Z-1-i)n的收斂半徑是多nn=0少？并說明理由．少？并說明理由．.把下列函數(shù)展開為Z的冪級數(shù)，并指出展開式成立的范圍:1 —；(2)ecosz.(1+z2)2.求下列函數(shù)在指定點(diǎn)Z處的泰勒級數(shù)展開式，并指出它們的收斂半徑:0兀 1sinz,z=；(2) -,z=1.04 z2+4z+30

4-4洛朗級數(shù)1 八-一 、.函數(shù)tan-能否在圓環(huán)域0<z<R（0<R<內(nèi)）內(nèi)展開為洛朗級數(shù)？為什么？z.把下列函數(shù)在指定的圓環(huán)域內(nèi)展開為洛朗級數(shù):(1)1z2+(1)1z2+1)(z—2),1<|z|<2(2)1z2(z-i)分別在圓環(huán)域0<|z-i\<1及1<|z-i\<+^內(nèi)展開;13)zez-1,0<|z-1|<+8.3.利用洛朗級數(shù)展開式求積分Iz；dz的值，其中C為正向圓周|z=2.《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第五章習(xí)題5-1孤立奇點(diǎn).下列函數(shù)有些什么奇點(diǎn)？如果是極點(diǎn)，指出它的級數(shù):(1) ；(2)(z2+1)(1) ；(2)(z2+1)2(z-2)31-cosz(z-1)z5(3)(1+z2)(1+e冗z)-L-；(4)ez-1；(15)sinz2.設(shè)函數(shù)叭z)與W(z)分別以z=a為m級與n級極點(diǎn)，那么下列三個函數(shù) 3 (z) (1)叭z)V(z);(2) ；(3)叭z)+V(z).V(z)在z=a處各有什么性質(zhì)？5-2留數(shù)1.求下列函數(shù)f(z)在各有限奇點(diǎn)處的留數(shù):1+z4 1-e2z 11) ；(2) ；(3)z3cos一(z2+1)2 z3 z.計算下列各積分，C為正向圓周:J--2z/1c、dz，C：|z|=2;C(z+1)(z+2) 1Jsinz dz,C:|z|=1；(z-4))2(3)JC1-coszzm,C：|z|=1,其中m為整數(shù);(4)Jtanzdz,C:zC=5.*3.利用無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)計算下列積分:z3 1,Jezdz,C:|z|=2正向；(2)Cz15C(Z2+1)2(z4+2)3dz,C:|z|=3正向.5-3留數(shù)在定積分計算中的應(yīng)用1.計算下列積分：（1）卜”0 （->1）；（2）1+"__dx；（3）\^X^aXdx（a>0力>0）.oa+COSB -oo（X2+1）2 oX2+〃2《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第六章習(xí)題[1,"IVB, fsinx兀1、求矩形脈沖函數(shù)/⑺二八一,的傅氏變換，并驗證J+°°——dx-。0,k1>0 ox2cos3t 兀2、求函數(shù)f(t-，-3"中＞°)的傅氏變換,并證明J；^3二肅-P1t,2、3、求正弦函數(shù)f(t4sin3°t的傅氏變換。4、求正弦函數(shù)f(t)=sin31的傅氏變換。5、利用傅氏變換的性質(zhì)求函數(shù)f(21-5)的傅氏變換。10,t<0, 10,t<0,6、求函數(shù)fi(t)T1,t>。與f2(t)={e3t>。的卷積。《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第七章習(xí)題1、求f(t)=cos21的拉普拉斯變換?！竤int,0<t<k,2、求f(t)=\^M-的拉普拉斯變換。[0,t<0或t>K3、求e-4tcos41的拉普拉斯變換。4、求te-3tsin21的拉普拉斯變換。5、求下列函數(shù)的拉普拉斯逆變換:，、