天津塘沽區(qū)鹽場中學(xué) 2023年高一數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

天津塘沽區(qū)鹽場中學(xué)2023年高一數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知直線直線，有下列命題:

①

②

③；

④

其中正確的命題是（

）

A、①與②

B、③與④

C、②與④

D、①與③參考答案：D略2.正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，異面直線AC與C1D所成的角為（）A． B． C． D．參考答案：B【分析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AC與C1D所成的角．【解答】解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長為1，則A（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），C1（0，1，1），=（﹣1，1，0），=（0，﹣1，﹣1），設(shè)異面直線AC與C1D所成的角為θ，則cosθ=|cos＜＞|===，∴θ=．∴異面直線AC與C1D所成的角為．故選：B．3.與向量=（3，4）共線反向的單位向量=（）A．（﹣，﹣） B．（﹣，）C．（﹣，﹣），（，） D．（，）參考答案：A【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【專題】計算題；函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】求出向量的模，即可求解單位向量．【解答】解：向量=（3，4），則||=5，∴共線反向的單位向量=﹣（3，4）=（﹣，﹣），故選：A．【點(diǎn)評】本題考查單位向量的求法，基本知識的考查．4.在等比數(shù)列中，若和是二次方程的兩個根，則的值為（

）

A．

B．

C．

D．25參考答案：B5.若直線與曲線有兩個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A. B.C. D.參考答案：B【分析】由于曲線表示原點(diǎn)為圓心，半徑為2的半圓，根據(jù)題意畫出圖形，找出兩個特殊的位置：1.直線y=x+m與半圓相切；2.直線y=x+m過點(diǎn)(2,0)，當(dāng)直線與半圓相切時，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示圓心到直線的距離d，讓d等于半徑列出關(guān)于m的方程，求出m的值，寫出滿足題意的m的范圍即可.【詳解】由，得到，如圖，當(dāng)直線與圓相切時，因此：若直線與圓有兩個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是：.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了直線和半圓的位置關(guān)系，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題.6.若等差數(shù)列滿足，則當(dāng)?shù)那皀項和最大時n的值為（

）A.7

B.8

C.9

D.10參考答案：B7.已知函數(shù)y＝tan(2x＋)（）的對稱中心是點(diǎn)，則的值是()A．－

B.

C．－或 D.或參考答案：C略8.在中，，則等于（

）A、

B、

C、或

D、參考答案：C9.由公差為d的等差數(shù)列a1、a2、a3…重新組成的數(shù)列a1+a4，a2+a5，a3+a6…是（）A．公差為d的等差數(shù)列

B．公差為2d的等差數(shù)列C．公差為3d的等差數(shù)列

D．非等差數(shù)列參考答案：B10.對于一個底邊在x軸上的三角形，采用斜二測畫出作出其直觀圖，其直觀圖面積是原三角形面積的（）A．2倍 B．倍 C．倍 D．倍參考答案：B【考點(diǎn)】LB：平面圖形的直觀圖．【分析】一般性結(jié)論，特殊情況一定成立，作出Rt△ABO的平面圖形，對應(yīng)的斜二側(cè)圖形，求它們的面積比即可．【解答】解：OA=a

OB=2b則O′A′=a

O′B′=bS△ABO=ab故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)為A（3，﹣1），B（﹣1，1），C（1，3），則由△ABC圍成的區(qū)域所表示的二元一次不等式組為_________．參考答案：12.對于下列語句（1）

（2）

（3）

（4）其中正確的命題序號是

。（全部填上）參考答案：（2）（3）13.若偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是（

）A．

B．C．

D．參考答案：D略14.參考答案：15.在△ABC中，已知A=45°，B=105°，則的值為．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】由題意和內(nèi)角定理求出角C，根據(jù)正弦定理求出的值．【解答】解：在△ABC中，∵A=45°，B=105°，∴C=180°﹣A﹣B=30°，由正弦定理得，則==，故答案為：．16.在數(shù)列中，，，那么的通項公式是

。參考答案：17.（5分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，給出下列結(jié)論：①AC⊥B1D1；②AC1⊥B1C；③AB1與BC1所成的角為60°；④AB與A1C所成的角為45°．其中所有正確結(jié)論的序號為

．參考答案：①②③考點(diǎn)： 命題的真假判斷與應(yīng)用；棱柱的結(jié)構(gòu)特征．專題： 空間位置關(guān)系與距離；空間角；簡易邏輯．分析： 利用直線與直線垂直的判斷方法判斷①的正誤；通過直線與平面垂直的判定定理證明結(jié)果，判斷②的正誤；根據(jù)異面直線所成角的定義與正方體的性質(zhì)可得異面直線AB1，BC1所成的角為60°，判斷③的正誤；通過異面直線所成角求解結(jié)果，判斷④的正誤解答： 對于①，因?yàn)閹缀误w是正方體，BD∥B1D1，AC⊥BD，∴AC⊥B1D1；∴①正確．對于②，B1C⊥C1B，B1C⊥AB，可得B1C⊥平面ABC1，∴AC1⊥B1C，∴②正確．對于③，連結(jié)B1D1、AD1，得∠B1AD1就是異面直線AB1，BC1所成的角，∵△B1AD1是等邊三角形，∴∠B1AD1=60°因此異面直線AB1，BC1所成的角為60°，得到③正確．對于④，AB與A1C所成的角，就是CD與A1C所成的角，三角形A1CD是直角三角形，不是等腰直角三角形，所以AB與A1C所成的角為45°不正確．∴④不正確；故答案為：①②③．點(diǎn)評： 本題給出正方體中的幾個結(jié)論，判斷其正確與否，著重考查了正方體的性質(zhì)、線面垂直與平行的判定與性質(zhì)、異面直線所成角的定義與求法等知識，屬于中檔題三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AC＝BC=AA1=a，∠ACB＝90°，D是A1B1中點(diǎn)．（1）求證：C1D⊥平面A1B1BA；

（2）當(dāng)點(diǎn)F在BB1上什么位置時，會使得AB1⊥平面C1DF？并證明你的結(jié)論．參考答案：19.已知數(shù)列的前項和．（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列，求出數(shù)列的通項公式．（2）若不等式對任意恒成立，求的取值范圍．參考答案：見解析．解：（）當(dāng)時，得，當(dāng)時，，，兩式相減得，即，∴，又，∴數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．（）由（）知，即，∵，∴不等式等價于，記，時，，∴當(dāng)時，，，∴，即，∴的取值范圍是：．20.某租賃公司擁有汽車100輛．當(dāng)每輛車的月租金為3000元時，可全部租出．當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛．租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元．（Ⅰ）當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？（Ⅱ）當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？參考答案：【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型；函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】（Ⅰ）嚴(yán)格按照題中月租金的變化對能租出車輛數(shù)的影響列式解答即可；（Ⅱ）從月租金與月收益之間的關(guān)系列出目標(biāo)函數(shù)，再利用二次函數(shù)求最值的知識，要注意函數(shù)定義域優(yōu)先的原則．作為應(yīng)用題要注意下好結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時，未租出的車輛數(shù)為，所以這時租出了88輛車．（Ⅱ）設(shè)每輛車的月租金定為x元，則租賃公司的月收益為，整理得．所以，當(dāng)x=4050時，f（x）最大，最大值為f已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R且a≠0），F(xiàn)（x）=．（1）若f（﹣1）=0，且函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），求F（x）的解析式；（2）在（1）的條件下，當(dāng)x∈[﹣2，2]時，g（x）=f（x）﹣kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）設(shè)mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）是偶函數(shù)，判斷F（m）+F（n）是否大于零．【答案】【解析】【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)解析式的求解及常用方法；函數(shù)奇偶性的判斷．【分析】（1）利用f（﹣1）=0和函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），建立方程關(guān)系，即可求出a，b，從而確定F（x）的表達(dá)式；（2）在（1）的條件下，當(dāng)x∈[﹣2，2]時，利用g（x）=f（x）﹣kx的單調(diào)區(qū)間與對稱軸之間的關(guān)系建立不等式進(jìn)行求解即可．（3）利用mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）是偶函數(shù)，得到b=0，然后判斷F（m）+F（n）的取值．【解答】解：（1）∵f（﹣1）=0，∴a﹣b+1=0，①∵函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），∴a＞0且判別式△=0，即b2﹣4a=0，②由①②得a=1，b=2．∴f（x）=ax2+bx+1=x2+2x+1．∴F（x）=．（2）g（x）=f（x）﹣kx=x2+（2﹣k）x+1，函數(shù)的對稱軸為x=，要使函數(shù)g（x）=f（x）﹣kx，在x∈[﹣2，2]上是單調(diào)函數(shù)，則區(qū)間[﹣2，2]必在對稱軸的一側(cè)，即或，解得k≥6或k≤﹣2．即實(shí)數(shù)k的取值范圍是k≥6或k≤﹣2．（3）∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（﹣x）=f（x），即ax2﹣bx+1=ax2+bx+1，∴2bx=0，解得b=0．∴f（x）=ax2+1．∴F（x）=．∵mn＜0，m+n＞0，a＞0，不妨設(shè)m＞n，則m＞0，n＜0，∴F（m）+F（n）=am2+1﹣an2﹣1=a（m2﹣n2）=a（m﹣n）（m+n），∵m+n＞0，a＞0，m﹣n＞0，∴F（m）+F（n）=a（m﹣n）（m+n）＞0．21.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，。（1）求的函數(shù)解析式，并用分段函數(shù)的形式給出；（2）作出函數(shù)的簡圖；（3）寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值．參考答案：（1）當(dāng)時，，

則

是偶函數(shù)

（如果通過圖象直接給對解析式得2分）（2）函數(shù)的簡圖：

（3）單調(diào)增區(qū)間為和

單調(diào)減區(qū)間為和

當(dāng)或時，有最小值-2

略22.(本題滿分14分)在一個特定時段內(nèi)，以點(diǎn)為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)正北55海里處有一個雷達(dá)觀測站.某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)北偏東且與點(diǎn)相距海里的位置，經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點(diǎn)北偏東+(其中sin=，)且與點(diǎn)相距海里的位置C.（Ⅰ）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）；（Ⅱ）該船不改變航行方向繼續(xù)行駛，判斷它是否會進(jìn)入警戒水域；若進(jìn)入請求出經(jīng)過警戒水域的時間，并說明理由.參考答案：解：（I）如圖，AB=40，AC=10，由于,所以cos=

………2分由余弦定理得BC=

………4分所以船的行駛速度為（海里/小時）

……6分（II）解法一如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B（x1，y2）,C（x1，y2）,BC與x軸的交點(diǎn)為D.由題設(shè)有，x1=y1=AB=40,

x2=ACcos,y2=ACsin所以過點(diǎn)B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為y=2x-40.………9分又點(diǎn)E（0，-55）到直線l的距離d=故該船會進(jìn)入警戒水域.

…………12分進(jìn)入警戒水域所行駛的路程為海里