函數(shù)y=Asin(ωx+φ)-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學必修一同步講義

PAGE5.6函數(shù)知識梳理知識梳理1、用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個關(guān)鍵點，如下表所示.x－eq\f(φ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02、函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)概念y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一個振動量時振幅周期頻率相位初相AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φφ3、函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象的兩種途徑4、注意（1）由y＝sinωx到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的變換：向左平移eq\f(φ,ω)個單位長度而非φ個單位長度.（2）函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的對稱軸由ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)確定；對稱中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)確定其橫坐標.知識典例知識典例題型一三角函數(shù)平移例1將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到圖象，則函數(shù)的解析式是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意利用三角函數(shù)的圖象變換原則，即可得出結(jié)論．【詳解】由題意，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得.故選C．鞏固練習鞏固練習要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（）A．向左平移長度 B．向右平移長度C．向左平移長度 D．向右平移長度【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的平移原則，由題中條件，可直接得出結(jié)果.【詳解】因為，因此要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象向右平移單位.故選：D.題型二三角函數(shù)解析式求解例2函數(shù)的部分圖象如圖所示．則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由圖象可知，周期,即可求出，再代入點即可求出.【詳解】由圖象可知，，當時，函數(shù)取得最大值，所以，，因為，所以．故選：A．鞏固練習鞏固練習已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若，則（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】由圖象結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得，即可得，再代入特殊點即可得.【詳解】由圖象可得函數(shù)的最小正周期滿足，所以該函數(shù)圖象在y軸右側(cè)的第一個對稱軸，又，所以該函數(shù)圖象在y軸右側(cè)的第二個對稱軸，且，所以函數(shù)的最小正周期滿足即，所以，，所以，所以，又，所以.故選：C.題型三三角函數(shù)圖象變換例3為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)，的圖象上所有的點（）A．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變）B．向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）C．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變）D．向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變）【答案】C【分析】按照平移變換和周期變換的結(jié)論，分別求出四個選項中得到的函數(shù)解析式可得答案.【詳解】對于，把函數(shù)，的圖象上所有的點向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變）得到函數(shù)的圖象，故不正確；對于，把函數(shù)，的圖象上所有的點向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變）得到函數(shù)的圖象，故不正確；對于，把函數(shù)，的圖象上所有的點向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變）得到函數(shù)的圖象，故正確；對于，把函數(shù)，的圖象上所有的點向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變）得到函數(shù)的圖象，故不正確.故選：C.鞏固練習鞏固練習（多選）已知曲線：，：，則下面結(jié)論正確的是（）A．把曲線向左平移個單位長度，再把得到的曲線上各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到曲線B．把曲線向左平移個單位長度，再把得到的曲線上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到曲線C．把曲線上各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線D．把曲線上各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線【答案】AD【分析】先利用誘導公式把化簡得，，然后利用三角函數(shù)圖像變換規(guī)律求解即可【詳解】解：，所以將曲線：向左平移個單位長度，得，再把得到的曲線上各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到曲線；或?qū)⑶€：上各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到，故選：AD題型四三角函數(shù)例4（多選）函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．是函數(shù)的一條對稱軸 D．是函數(shù)的對稱軸心【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)圖象先求出的表達式，再對選項進行逐一判斷，即可得到答案.【詳解】由函數(shù)的圖象有,則，即，所以，則A正確.由圖象可得，，所以，即,由，所以，即,所以B不正確.所以函數(shù)的對稱軸為：，即當時，是函數(shù)的一條對稱軸，所以C正確.所以函數(shù)的對稱中心滿足：，即所以函數(shù)的對稱軸心為，，所以D正確.故選：ACD鞏固練習鞏固練習下圖是函數(shù)（其中，，）的部分圖象，下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．方程在區(qū)間上的所有實根之和為【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出的解析式，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)判斷選項正誤.【詳解】由已知，，，因此，∴，所以，過點，因此，，又，所以，∴，對A，圖象關(guān)于原點對稱，故A正確；對B，當時，，故B正確；對C，由，有，故C不正確；對D，當時，，所以與函數(shù)有4個交點令橫坐標為，，，，，故D正確.故選：ABD.鞏固提升鞏固提升1、要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向右平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向左平移個單位【答案】D【分析】直接根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移規(guī)則得出正確的結(jié)論即可；【詳解】解：函數(shù)，要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位．故選：D．2、將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則的一個可能取值為()A． B． C． D．【答案】B【解析】得到的偶函數(shù)解析式為，顯然3、將函數(shù)圖象上的點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標保持不變，則所得函數(shù)圖象的解析式為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的伸縮變換原則，可直接得出結(jié)果.【詳解】函數(shù)圖象上的點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標保持不變，所得函數(shù)圖像的解析式為.故選：D．4、若函數(shù)的部分圖象如圖，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵由題中圖象可知.∴.∴.∴.故選B.5、函數(shù)的部分圖象如圖所示，已知，函數(shù)的圖象可由圖象向右平移個單位長度而得到，則函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖象可得周期，根據(jù)周期可得，根據(jù)可得在時取最小值，由此可求得，根據(jù)圖象過點，可得，再根據(jù)平移變換可得結(jié)果.【詳解】由圖象可知最小正周期：，∴，又∵在時取最小值，∴，∴.又∵，∴，∴.又∵圖象過點，∴，∴.∴，把圖象向右平移個單位后得到函數(shù)，∴.故選：A.6、函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需把的圖象上所有點（）A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個長度單位 D．向左平移個長度單位【答案】A【分析】先看圖得到的解析式，再利用平移得到結(jié)果即可.【詳解】看圖可知周期滿足，故，，又時取得最小值-1，故，，即，所以將向右平移個單位，得到.故選：A.7、將函數(shù)（，）圖象上每一點的橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標不變，再向右平移個單位長度得到的圖象，則________.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，求得的解析式，可得的值．【詳解】解：將函數(shù)，）圖象上每一點的橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標不變，可得的圖象，再向右平移個單位長度得到的圖象，，且，，解得，，函數(shù)，，故答案為：8、先將函數(shù)的圖象上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標不變)，再將所得圖象向右平移個單位，則可得變換后圖象的函數(shù)解析式為______________________.【答案】【分析】利用三角函數(shù)的平移變換和伸縮變換，即可得出答案.【詳解】將函數(shù)的圖象上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標不變)，得到的圖象，再將所得圖象向右平移個單位，得出的圖象故答案為：9、（多選）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，所得圖象對應的函數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．函數(shù)在上恰有4個極值點【答案】AD【分析】先根據(jù)圖象變換得，再根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)研究對稱性、單調(diào)性以及極值點，即可作出選擇.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，即A正確；因為，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于點對稱，即B錯誤；因為，所以函數(shù)單調(diào)遞增，即C錯誤；因為，所以當時函數(shù)取得極值，即函數(shù)在上恰有4個極值點，D正確；故選：AD10、（多選）將函數(shù)的圖像向左平移個單位后，得到函數(shù)的圖像，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．最小正周期為C．的圖象關(guān)于對稱 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BCD【分析】由題意，利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，求得的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，得到函數(shù)的圖象，對A，函數(shù)，故A錯誤；對B，最小正周期為，故B正確；對C，當，求得為最小值，故的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；在區(qū)間上，單調(diào)遞增，故D正確，故選：BCD．11、已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式及對稱中心坐標；（2）先將的圖象縱坐標縮短到原來的倍，再向右平移個單位，最后將圖象向上平移1個單位后得到的圖象，求函數(shù)在上的單調(diào)減區(qū)間和最值.【答案】（1）；對稱中心為，；（2）減區(qū)間是：；有最大值，有最小值.【分析】（1）根據(jù)最大值可得，根據(jù)周期得，根據(jù)最高點得，從而可得解析式；根據(jù)余弦函數(shù)的對稱中心可得的對稱中心；（2）根據(jù)圖象變換的結(jié)論可得的解析式，根據(jù)余弦函數(shù)的遞增區(qū)間可得在上的單調(diào)減區(qū)間，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象可得在上的最值.【詳解】（1）由所給圖象知：；，，，，∴，把點代入得