第一章解三角形測評

第一章解三角形第1課時正弦定理基礎(chǔ)梳理正弦定理內(nèi)容：在一個三角形中，各邊的長和各邊對角的正弦值的比相等.2.正弦定理公式:(其中R是△ABC的外接圓半徑)或a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC或sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c.題型一已知兩角和對邊,解三角形典例分析例1已知在△ABC中，c=10,A=45°，C=30°，求a、b和B.分析

三角形的內(nèi)角和為180°是一個很重要的隱含條件,利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值是解三角形的基礎(chǔ).解舉一反三解析：由正弦定理知

答案：1.在△ABC中,AB=,A=45°,C=75°,則BC的長度是

.題型二已知兩邊和其中一邊的對角,解三角形例2已知在△ABC中，a=3,b=,A=45°,解這個三角形.分析在△ABC中，已知兩邊和其中一邊的對角，可運用正弦定理求解，但要注意解的個數(shù)的判定.解由正弦定理及已知條件，得

舉一反三2.△ABC中,a=3,b=,A=60°,解此三角形.解析：∵a=3,b=,A=60°,于是根據(jù)正弦定理得

又a＞b,A=60°,可知B＜A,∴B=30°,∴C=180°－A－B=180°－60°－30°=90°.

題型三利用正弦定理的變形判斷三角形的形狀例3

在△ABC中,已知,試判斷三角形的形狀.分析觀察條件的特點,其為邊角的齊次等式,可以先切化弦,

再應(yīng)用正弦定理把邊轉(zhuǎn)化為角,后利用三角公式求解.解由已知得,由正弦定理a=2RsinA,b=2RsinB(R為△ABC的外接圓半徑),得sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B,∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=,∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.舉一反三3.在△ABC中,若,則△ABC是()A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰或直角三角形解析：由知,sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B,又0°＜A,B＜180°,∴2A=2B或2A=180°-2B,∴△ABC是等腰或直角三角形.答案：D題型四正弦定理與三角公式結(jié)合

例4在△ABC中,B=60°,tanA·tanC=2+,又知頂點C的對邊c上的高等于，求三角形的三邊的長.分析在解三角形的過程中，經(jīng)常會有一些三角函數(shù)的公式涉及其中，因此需先熟悉有關(guān)三角恒等變換的公式.解析：舉一反三4.在中，求的值解析：由正弦定理得第2課時余弦定理基礎(chǔ)梳理1.余弦定理內(nèi)容:三角形任何一邊的平方等于其余兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積.即或變形為:2.解三角形時,在△ABC中常用的基本關(guān)系式:A+B+C=π,sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,題型一已知三邊解三角形例1在△ABC中，a∶b∶c=2∶∶(+1),求△ABC各角的度數(shù).分析由于三邊成比例，可用另一個字母x表示三邊a、b、c，從而可用余弦定理求角.解由a∶b∶c=2∶∶(+1),設(shè)a=2x，則b=x,c=(+1)x,由余弦定理

===∵0＜A＜π,∴A=.同理可求B=，C=π--=.典例分析舉一反三1.(2008·安徽)在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，則∠BAC的大小為()A.B.C.D.解析：由余弦定理可得

=,答案：A題型二已知兩邊及其夾角,解三角形例2在△ABC中，a=2,b=,C=15°,求角A和B.分析本題屬于已知兩邊和其夾角問題，因此可先用余弦定理求出邊c，然后利用正弦定理求出角A和B.解

cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=由余弦定理知=∴由正弦定理得，即sinA=·sinC=∵b＞a,∴A為銳角，∴A=30°,∴B=180°-A-C=135°.舉一反三2.已知a=,b=,C=15°,求角A.解析：由余弦定理得∴.由正弦定理得又b＞a,∴A＜B.又0°＜A＜180°,∴A=45°.題型三用余弦定理判斷三角形的形狀例3在△ABC中,acosA+bcosB=ccosC,試判斷三角形的形狀.分析本題已知條件為邊角關(guān)系,由余弦定理統(tǒng)一成邊的關(guān)系,

從而判斷三角形的形狀.解由余弦定理

代入已知條件得通分得展開整理得,∴根據(jù)勾股定理知△ABC是直角三角形.舉一反三3.在△ABC中,B=60°,,則△ABC一定是()A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形解析：由余弦定理的推論,知

,又,∴,a=c,又B=60°,∴△ABC為等邊三角形.答案：D第3課時三角形的面積基礎(chǔ)梳理△ABC的三條邊為a、b、c,三個角為A、B、C,則S△ABC=2.如圖,△ABC中,c=AD+BD=b·cosA+a·cosB,同理可得:a=c·cosB+b·cosC,b=a·cosC+c·cosA.3.若△ABC的面積為S,則S=其中2p=a+b+c(a、b、c為△ABC的三邊長).題型一求三角形的面積例1在△ABC中，已知tanB=,cosC=，AC=,求△ABC的面積.分析在解三角形時，有些較復(fù)雜的問題常常需要將三角形的相關(guān)知識與正弦定理、余弦定理結(jié)合使用，本題中根據(jù)條件利用兩定理求出邊和角.解方法一：設(shè)三邊AB、BC、CA的長分別為c、a、b，由tanB=得B=60°，∴sinB=.又∵cosC=，∴由正弦定理得又由sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC

∴所求三角形的面積為S=典例分析方法二：同方法一可得c=8.又由余弦定理得∴由已知得B=60°,0°＜C＜90°,∴30°＜A＜120°.故所求面積S△ABC=舉一反三2.(2009·北京改編)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c,B=,cosA=,b=,求△ABC的面積.解析：題型三已知三角形三頂點的坐標，求面積例3已知三角形的三個頂點為A（－2,1）、B（3,－2）、C（2,5），求△ABC的面積S.分析△ABC的三個頂點的坐標已知，用向量面積公式解此題較簡捷.解∵A（－2，1）、B（3，－2）、C（2，5），∴=(5,-3),=(4,4)，舉一反三3.以A(-2,-3),B(6,3),C(-5,1)為頂點的三角形面積為()A.50B.25C.20D.15解析：∵A(-2,-3),B(6,3),C(-5,1),∴=(8,6),=(-3,4).答案：B第4課時應(yīng)用舉例1.距離問題(1)如圖,測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題.

這實際上就是已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題,

用正弦定理就可解決.（2）如圖,測量兩個不可到達的點之間的距離問題.首先把求不可到達的兩點

A,B之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題,然后把求未知的BC和AC的問題轉(zhuǎn)化為測量一個可到達的點與一個不可到達的點之間距離的問題.基礎(chǔ)梳理2.高度問題測量底部不可到達的建筑物的高度問題.由于底部不可到達,這類問題不能直接用解直角三角形的方法解決,但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離,然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.3.角度問題測量角度就是在三角形內(nèi),利用正弦定理和余弦定理求角的三角函數(shù)值,

然后求角,再根據(jù)需要求所求的角.典例分析題型一計算角度問題例1（改編題）我緝私艇在A處測得某涉嫌走私船在南偏東45°方向距A處9海里的B處，正向南偏西15°方向行駛，速度為20海里/小時，如果我緝私艇以航速28海里/小時，則應(yīng)朝什么方向并用多少時間才能盡快追上這艘走私船？（精確到0.01°）分析有關(guān)速度合成問題，要注意“審題→畫圖→建?！?解根據(jù)題意作示意圖,在△ABC中，∠ABC=180°-(45°+15°)=120°,設(shè)t小時后我緝私艇追上走私船，則有AB=9，BC=20t，AC=28t,根據(jù)余弦定理得即∵BC=20t=20×=15,AC=28t=28×=21.在△ACB中，由正弦定理得∴sin∠BAC=∴∠BAC≈38.21°,∴∠DAC≈45°-38.21°≈6.79°.故我緝私艇應(yīng)朝南偏東6.79°方向航行，并且航行小時（即45分鐘）后可追上這艘走私船.舉一反三1.某漁船在航行中不幸遇險,發(fā)出求救信號,我海軍艦艇在A處獲悉后,立即測出該漁船在方位角為45°、距離A為10海里的C處,并測得漁船正沿方位角為105°的方向,以9海里/時的速度向某小島B靠攏,我海軍艦艇立即以21海里/時的速度前去營救,試問艦艇應(yīng)按照怎樣的航向前進?并求出靠近漁船所用的時間(其中方位角規(guī)定為北偏東方向).解析：設(shè)艦艇從A處靠近漁船所用的時間為x小時,則AB=21x海里,BC=9x海里,AC=10海里,∠ACB=∠1+∠2=45°+(180°-105°)=120°.根據(jù)余弦定理,可得即即∴AB=21x=14,BC=9x=6.再由余弦定理,可得cos∠BAC=≈0.9286,∴∠BAC=21°47′,45°+21°47′=66°47′.∴艦艇方位角為66°47′,且23小時即為40分鐘.故艦艇應(yīng)沿北偏東66°47′的方位角方向航行,靠近漁船需要40分鐘.題型二測量高度問題例2飛機的航線和山頂在同一個鉛垂平面內(nèi)，已知飛機的高度為海拔20250m,速度為1000km/h,飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?8°30′,經(jīng)過150s后又看到山頂?shù)母┙菫?1°,求山頂?shù)暮０胃叨龋ň_到1m）.分析如圖所示，在△ABC中，求出BC的長度，就可以求出飛機與山頂間的垂直高度，從而求出山頂?shù)暮０胃叨?解飛機在150s內(nèi)飛行的距離是AB=1000×1000×(m)，根據(jù)正弦定理，得飛機與山頂?shù)暮０蔚牟钍荁Csin81°=14721.64(m).故山頂?shù)暮０问?0250-14721.64≈5528(m).即山頂?shù)暮０胃叨燃s為5528m.舉一反三2.如圖,在塔底B處測得山頂C的仰角為60°,在山頂C處測得塔頂A的俯角為45°,已知塔高AB為20m,求山高DC.(精確到0.1m)解析：由已知條件,得∠DBC=60°,∠ECA=45°,則∠ABC=90°-60°=30°,∠ACB=60°-45°=15°,∠CAB=180°-(∠ABC+∠ACB)=135°.在△ABC中,由正弦定理,得∴在Rt