小學奧數(shù)基礎教程含練習題和答案五年級-30講全冊版

1字謎（一數(shù)字謎的內容在三年級和四年級都講過，已經掌握了不少方法。例所以很能鍛煉我們的思維。1把+，-，×，÷四個運算符號，分別填入下面等式的○內，使等式成13（5÷13-7）×（17+9）當“÷”在第三個○內時，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-=1221～9□□=□□×□□=5568解：將5568質因數(shù)分解為5568=26×3×29。由此容易知道，將5568分解為兩個兩位數(shù)的乘積有兩種：58×96和64×87，分解為一個兩位數(shù)與一個三位12×464，16×348，29×192，32×174，48×116顯然，符合題意的只有下面一種填法：174×32=58×96=55683443573443000+（573-71）=443502573502。433□□4489分析與解：因為未知的數(shù)碼在中間，所以我們采用兩邊做除法的方法先從右邊做除法。由被除數(shù)的個位是4，推知商的個位是6；由左下式知，十位相減后的差是1，所以商的十位是9。這時，雖然89×96=8544，但不能認85，因為還沒有考慮前面兩位數(shù)。再從左邊做除法。如右上式所示，a67，b78由左、右兩邊做除法的商，得到商是3796 。 3796，3378445在左下方的加法豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代分析與解Y+N+N=YY+10，N0，要么5N=5，T+E+E+1=TT+10，N≠5，N=0。T+E+E=TT+10，E05，N=0，E=5。位加法都要向上進位。因為N=0，所以I≠0，推知I=1，O=9，說明百位加法向2。再看豎式的百位加法。因為十位加法向百位進1，百位加法向千位進2，且X≠01，R+T+T+1≥22，R，T9，T78。T=7，R=8，X=3，2，4，6SF1，S，F(xiàn)不可能是2，4，6中的數(shù)，由，出現(xiàn)；R=7時，X=4，剩下數(shù)字2，3，6，可取F=2，S=3，Y=6。數(shù)。這個題目是數(shù)學上登的趣題，豎式中從上到下的四個詞分別是40，10，10，60，而40+10+1060，真是巧極了！分析與解：按減法豎式分析，看來比較難。都知道，加、減法互為1，E=9，A=1，B=01+F=10，F(xiàn)=9，E=9盾，所以個位加法向上進1，由1+F+1=10，得到F=8，這時C=7。余下的數(shù)字有2，3，4，5，6，由個位加法知，GD2，所以G，D分別可取4，25，36，4。621819，在下面的算式中填上括號，使得計算結果最大8÷9在下面的算式中填上若干個（），使得等式成立7÷8÷9=2.81～9=3634391□□□7897□□888832字謎（二1分析與解：這道題可以從個位開始，比較等式兩邊的數(shù)，逐個確定各2在□內填入適當?shù)臄?shù)字，使左下方的乘法豎式成立。38，請在□內填入適當?shù)臄?shù)字，使除法解：豎式中除數(shù)與8的積是三位數(shù)，而與商的百位和個位的積都是四x=112，989×112=1107684除數(shù)和商的后三位數(shù)一個是23=8的倍數(shù)，另一個是53=125的奇數(shù)倍，因為除8a=9，的兩位數(shù)的約數(shù)，可能的取值有96，48，32，24和16。因為，c=5，5與除數(shù)的乘積仍是兩位數(shù)，所以除數(shù)只能是16，進而推知b=6。因為商的后三位數(shù)是125的奇數(shù)倍，只能是125，375，625和875之一，經試驗只能取375。至此，已求出除數(shù)為16，商為6.375，故被除數(shù)為6.375×16=102。右式即為5n（2），以此為突破口即可求解。5一個五位數(shù)被一個一位數(shù)除得到下頁的豎式（1），這個五位數(shù)被另分析與解：由豎式（1）可以看出被除數(shù)為10**0（見豎式（1）'），豎的除數(shù)為3或9。在豎式（2）中，被除數(shù)的前兩位數(shù)10不能被整數(shù)整除，故除數(shù)不是2或5，而被除數(shù)的后兩位數(shù)*0能被除數(shù)整除，所以除數(shù)是4，68。當豎式（1）3（1）'知，a=12，所以被除數(shù)為整除，可得豎式（2）4，10020；10080，10260，1044010620不能被除數(shù)整除，可得豎式（2）8，10440。10020104403義新運算（一基本的運算，它們的意義、符號及運算律已被熟知。除此之外，還會有中、小學中沒有統(tǒng)一的定義及運算符號，但學習討論這些新運算，對于開例1對于任意數(shù)a，b，定義運算“*”： 求12*4的值。分析與解：根據(jù)題目定義的運算要求，直接代入后用四則運算即可12*4=12×4-12-4=48-12-4=3210△63，x>=2，x分析與解：按照定義的運算x=6義。新運算使用的符號應避免使用上明確定義或已經約定俗成的符號，+，-，×，÷，＜，＞等，以防止發(fā)生，而表示新運算的運算意義部分分析與解：按新運算的定義，符號“⊙”表示求兩個數(shù)的平均數(shù)分析與解：從已知的三式來看，運算“”表示幾個數(shù)相加，每個加數(shù) =370356對于任意自然數(shù)，定義：n！=1×2×…×n4！=1×2×3×41！+2！+3！+…+100！的個位數(shù)字是幾？0。數(shù)字相加便可求得：1+2+6+4=133。7m，n：m¤n=4n-（m+n）÷2。3¤（4¤6）¤12解=3¤[4×6-=[4×19-=4×12-=9.5ab，a*b=3×a-b÷38*9a◎babab8◎2假定m

n表示m的3倍減去n的2倍， m

n=3m-2n（2）x

（4

1）=7，xP，Q，規(guī)定P☆Q=（P×Q）÷4。例如8）÷4x☆（8☆5）=10，x定義：a△b=ab-3b，ab=4a-b/a。計算：（4△3）△（2b）已知：24義新運算（二）例1a※b=（a+b）-（a-b），9※2a※b=（a+b）-（a-=a+b-a+b=2b所以，9※2=2×2=4由例1可知，如果定義的新運算是用四則混合運算表示，那么在符合四則2定義運算a，b，k：2⊙7=3×2+5×2×7+7k（1）5⊙2=73。問：8⊙55⊙8當k取什么值時，對于任何不同的數(shù)a，b，都有a⊙b=b⊙a，5⊙2=73，65+2k=73，k=（73-65）÷2=4。定義的新運5⊙8=3×5+5×5×8+4×8=247244≠247，8⊙5≠5⊙8(3-k)(a-b)=0對于兩個任意數(shù)a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。當新運算是a⊙b=3a+5ab+3b時，具有交換律，即 3ab，它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差，定義為a☆b，a☆b=[a，b]-（a，b）。（1）12☆21（2）6☆x=27，x分析與解：（1）12☆21=[12，21]-（12，21）=84-x，只能用推理的方法。6☆x=[6，x]-（6，x）=27，6x（6，x）只能是1，2，3，66x[6，x]28，29，30，33。這3066x303a×b=[a，b]×（a，b），6×x=30×3，x=154a90°，b180°，c90°，da分析與解a◎b90°，180°，等于順時針270°，90°，a◎b=c。c◎b，cbac◎bcb5a，b，定義：f（a）=2a+1，g（b）=b×b（1）f（5）-g（3）（2）f（g（2））+g（f（2））f（x+1）=21，x解：（1）f（5）-g（3）=（2×5+1）-f（x+1）=21，2x+3=21，x=9a※ba，b3a△ba，b2.5比如：4※5=4×3=12，4△5=5×2.5=12.5計算：[(0.6※0.5)+(0.3△0.8)]÷[(1.2※0.7)-(0.64△0.2)]2⊙3=0.75A，并計算：（5⊙7）×（2⊙2）÷（3⊙2）abca，b，cb。比如73=1，529=4，420=0。a，b，定義：f（a）=a×a-1，g（b）=b÷2+1（1）f（g（6））-g（f（3））（2）f（g（x））=8，x5的整除性（一三、四年級已經學習了能被2，3，5和4，8，9，6以及11整除的數(shù)的特征，也學習了一些整除的性質。這兩講我們系統(tǒng)地復下數(shù)的整除性質，并如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能被丙數(shù)整除。如果兩個數(shù)都能被一個自然數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和與差都能被這個自然數(shù)整除。如果一個數(shù)能分別被幾個兩兩互質的自然數(shù)整除，那么這個數(shù)能被這幾個兩兩互質的自然數(shù)的乘積整除。如果一個質數(shù)能整除兩個自然數(shù)的乘積，那么這個質數(shù)至少能整除這兩個自然數(shù)中的一個。幾個數(shù)相乘，如果其中一個因數(shù)能被某數(shù)整除，那么乘積也能被這個數(shù)整除。1在□里填上適當?shù)臄?shù)字，使得七位數(shù)□7358□□9，25數(shù)。因為9，25，8兩兩互質，由整除的性質（3）知，七位數(shù)能被9×25×8=1800整除，所以七位數(shù)的個位，十位都是0；再由能被9整除的數(shù)的特征，推知首位數(shù)應填。這個七位數(shù)是 220001111…1141271分析與解：因為41×271=11111，所以由每51組成的數(shù)11111能被271“11111”200012000÷5=400，4002000111…11111111111141整除，所以根據(jù)整除的性質（1）20001111…112713現(xiàn)有四個數(shù)：76550，76551，76552，7655412分析與解：根據(jù)有關整除的性質，先把12分成兩數(shù)之積2=3×41212126212431212（1）對于第（2）676554，7655476550，765547655237655276551，7655276554。數(shù)：7655076554，7655276554，7655176552。44311分析與解：從題設的條件分析，對所求五位數(shù)有兩個要求1179891127，16，那么11，1197999，99979，51103510的和等于55，不能被3整除。這個說明假設不成立，所以題目的要求不4205281329，1392701829173□3得到的39，11，61936的整除性（二我們先看一個特殊的數(shù)— 。因 =7×11×13，所以凡是7，11137，1113整除的數(shù)的特征如果數(shù)A的末三位數(shù)字所表示的數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所表示的數(shù)之（大數(shù)減小數(shù)）能被71113整除，那么數(shù)A71113整除。則A就不能被71113整除2306371713解：371-306=65，6513的倍數(shù)，不是7的倍數(shù)，所以306371能137310□8971138。2 能被3整除。根據(jù)能被7（或13）整除的數(shù)的特征 與（100010-1000097（13）7（13）100009（100-9=）917（13）整除，要么都不能7（13）整除。因為91=7×13，所 能被7和13整除，推知這個12位數(shù)能713分析與解：根據(jù)能被7整除的數(shù)的特征，555555999999都能被7征，□99-55=□447□4476。判斷一個數(shù)能否被2737除的方法：將每一節(jié)上的數(shù)連加，如果所得的和能被27（37）整除，那么這個數(shù)一定27（或37）整除；否則，這個數(shù)就不能被27（或37）整除。62737 解 =2，673，135，2+673+135=810因為810能被27整除，不能被37整除，所 能被27整除，不37 =8，990，615，496，8+990+615+496=2，1092，1092，109，2+109=111111372721093727整除，進一步推 能被37整除，不能被27整除判斷一個數(shù)能否被個位是9的數(shù)整除的方法9k9（=10k+9），k倍。連續(xù)進行這一變換。如果最終所得的結果等于k9，那么這個數(shù)能被k9整除；否則，這個數(shù)就不能被k9除。7（1）1893729由此可知，29641659，372895971388205，167128，250894，675696，796842， 175□6213九位 能被21整除，求中間□中的數(shù)2737 197955119，55537，62899， 7偶性（一）2能被2整除的自然數(shù)叫偶數(shù)，例0，2，4，6，8，10，12，14，不能被2整除的自然數(shù)叫奇數(shù)，例1，n奇數(shù)個奇數(shù)的和（或差）是奇數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。任意多個偶數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。兩個奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，一個奇數(shù)與一個偶數(shù)的乘積一定是偶數(shù)若干個數(shù)相乘，如果其中有一個因數(shù)是偶數(shù)，那么積必是偶數(shù)；如果所有因數(shù)都是奇數(shù)，那么積就是奇數(shù)。反過來，如果若干個數(shù)的積是偶數(shù)，那么因數(shù)中至少有一個是偶數(shù)；如果若干個數(shù)的積是奇數(shù)，那么所有的因數(shù)都是奇數(shù)。在能整除的情況下，偶數(shù)除以奇數(shù)得偶數(shù)；偶數(shù)除以偶數(shù)可能得偶數(shù)，也可能得奇數(shù)。奇數(shù)肯定不能被偶數(shù)整除。偶數(shù)的平方能被4整除；奇數(shù)的平方除以4的余數(shù)是1因為（2n）2=4n2=4×n2，所以（2n）2能被4整除因為（2n+1）2=4n2+4n+1=4×（n2+n）+1，所以（2n+1）2除以4余1相鄰兩個自然數(shù)的乘積必是偶數(shù)，其和必是奇數(shù)如果一個整數(shù)有奇數(shù)個約數(shù)（包括1和這個數(shù)本身），那么這個數(shù)例1下式的和是奇數(shù)還是偶數(shù) 2□□□□□□□□=66分析與解：等號左端共有9個數(shù)參加加、減運算，其中有5個奇數(shù)，4個偶數(shù)。5個奇數(shù)的和或差仍是奇數(shù)，4個偶數(shù)的和或差仍是偶數(shù)，因為“奇數(shù)+例3任意給出一個五位數(shù)，將組成這個五位數(shù)的5個數(shù)碼的順序任意改99999？分析與解：假設這兩個五位數(shù)的和等于99999，則有下式59+9=18，9，所以個位相加沒有向上進位，即兩個個位數(shù)之和等于9。同理，十位、百位、千位、萬位數(shù)字的和也都等于9。所以組成109+9+9+9+9=45，是奇數(shù)。51052奇數(shù)≠偶數(shù)，的產生在于假設這兩個五位數(shù)的和等于99999，所以假99999。4在一次校友聚會上，久別重逢的老同學互相頻頻握手。請問：握過奇分析與解：通常握手是兩人的事。甲、乙兩人握手，對于甲是握手1次，對于乙也是握手1次，兩人握手次數(shù)的和是2。所以一群人握手，不論人數(shù)是把聚會的人分成兩類：A類是握手次數(shù)是偶數(shù)的人，B類是握手次數(shù)是奇數(shù)A類中每人握手的次數(shù)都是偶數(shù)，所以A類人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)。又因為所有人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)，偶數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)，所以B類人握手的總次握奇數(shù)次手的那部分人即B類人的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)呢？如果是奇數(shù)，那么因為“奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)”，所以得到B類人握手的總次數(shù)是奇數(shù)，與前面得到的結論，所以B例5五（2）班部分學生參加鎮(zhèn)里舉辦的數(shù)學競賽，每試卷有50道31數(shù)，共有50道題，50個奇數(shù)相加減，結果是偶數(shù)，所以每個人的得分都是偶35755999。這位同學的計算有沒有錯？333紅星影院有1999個座位，上、下午各放映一場。有兩所學校各1999名學生包場看這兩場，那么一定有這樣的座位，上、下午在這個座位8偶性（二13得到交換5與4的位置。滿足題設要求的五個兩位數(shù)的十位上的數(shù)碼是4，6，7，8，9，0，1，2，3，5，所求這五個數(shù)的和是（4+6+7+8+9）×10+（0+1+2+3+5）=351例27只全部杯口朝上放在桌子上，每次翻轉其中的2只。能否經過若干次翻轉，使得7只全部杯口朝下？轉后杯口朝上的數(shù)的奇偶性，就會發(fā)現(xiàn)問題所在。一開始杯口朝上的有7只，是奇數(shù)；第一次翻轉后，杯口朝上的變?yōu)?只，仍是奇數(shù)；再繼續(xù)翻轉，因為只能翻轉兩只，即只有兩只改變了上、下方向，所以杯口朝上的數(shù)仍是奇數(shù)。類似的分析可以得到，無論翻轉多少次，杯口朝上的杯子數(shù)是奇數(shù)，不可能是偶數(shù)0。也就是說，不可能使7只全部杯口朝例3有m（m≥2）只全部口朝下放在桌子上，每次翻轉其中的（m-1）只。經過若干次翻轉，能使杯口全部朝上嗎？轉偶數(shù)只，那么無論經過多少次翻轉，杯口朝上（下）的數(shù)的奇偶性不會改變。一開始m只全部杯口朝下，即杯口朝下的數(shù)是奇數(shù)，每次翻轉（m-1）即偶數(shù)只。無論翻轉多少次，杯口朝下的數(shù)是奇數(shù)，當m是偶數(shù)時，（m-1）是奇數(shù)。為了直觀，我們先從m=4的情形入手觀察，在下表中用∪表示杯口朝上，∩表示杯口朝下，每次翻轉3只，保持不動的用*號標記。翻轉情況如下：由上表看出，只要翻轉4次，并且依次保持第1，2，3，4只不動，就可達到要求。一般來說，對于一只，要改變它的初始狀態(tài)，需要翻奇數(shù)次。對于m只，當m是偶數(shù)時，因為（m-1）是奇數(shù)，所以每只翻（m-1）次，就可使全 改變狀態(tài)。要做到這一點，只需要翻轉m次，并依次保持第1，2，…，m只不動，這樣在m次翻轉中，每只都有一次綜上所述：m只放在桌子上，每次翻轉（m-1）只。當m是奇數(shù)時，無論翻轉多少次，m只不可能全部改變初始狀態(tài)；當m是偶數(shù)時，翻轉m次，可以使m只全部改變初始狀態(tài)例4一本集編入15篇文章，這些文章排版后的頁數(shù)分別是1，2，只要這樣的第一篇文章的第一面排在奇數(shù)頁碼上（1），的文章中，有4篇的第一面排在奇數(shù)頁碼上。因此最多有7+4=11（篇）文章的5100110001999分析與解：大盒內裝有黑、白棋子共 =2001（枚）19992001-1999=2（枚）棋子。2綜合（1）（2），1000199919996一串數(shù)排成一行1000分析與解：首先分析這串數(shù)的組成規(guī)律和奇偶數(shù)情況1+1=2，2+3=5，3+5=8，容易看出，這串數(shù)是按“奇，奇，偶”每三個數(shù)為一組周期變化的?！?=333……1，1000333131000333這17個故事有各種編排法，但無論怎樣編排，故事正從第1頁開始，以后桌子上放著6只，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。如果每次翻轉5只，那么至少翻轉多少次，才能使6只都杯口朝上？學校組織運動會，領回自己的運動員號碼后，問他：“今天發(fā)放的運動員號碼加起來是奇數(shù)還是偶數(shù)？”說：“除開我的號碼，把今天發(fā)的其它號碼加起來，再減去我的號碼，恰好是100?！苯裉斓倪\動員號88，66，991，3，5？將888件禮品分給若干個小朋友。問：分到奇數(shù)件禮品的小朋友是奇數(shù)9偶性（三17×7MNMNA，MN行共放棋子3×7=21（枚），21是奇數(shù)，與上面的推論。所以假設不成數(shù)碼的總和經過變化后，等于原來的總和加上或減去那個數(shù)的2倍，因此總和1+2+…+9=45，是奇數(shù)，經過若干次變化后，總和仍應是奇數(shù)，與右上表九個數(shù)的總和是4。所以不可能變成3左下圖是一套房子的平面圖，圖中的方格代表房間，每個房間都有通175414分析與解：將這14個小方格黑白相間染色（見右上圖），有8個黑格個。相鄰兩個方格必然是一黑一白，如果能剪裁成7個小長方形，那么個格應當是黑、白各7個，與實際情況不符，所以不能剪裁成7個由相鄰兩個分析與解：假定圖中5與1之間的○中的數(shù)是奇數(shù)，按順時針加上或減去5同理，假定5與1之間的○中的數(shù)是偶數(shù)，也將推出。例6下頁上圖是半中國象棋盤，棋盤上已放有一只馬。眾所周知，馬是走“日”字的。請問：這只馬能否不重復地走遍這半棋盤上的每一個點，然分析與解：馬走“日”字，象棋盤上走有什么規(guī)律呢共有22個○和23個●。因為馬走“日”字，每步只能從○跳到●，或由●跳23+22=45（個）點，不可能做到不重復地走遍所有的點后回到出發(fā)點。重復地走遍這半棋盤上的每個點，最后回到出發(fā)點上呢？按照上面的分析，了。從某點出發(fā)，跳遍半棋盤上除起點以外的其它44點，要跳44步，44是偶數(shù)，所以起點和終點應是同色的點（指○或●）44●各22個，所以起點必是●，終點也是●。也就說是，當不要求回到出發(fā)點時，只要從●出發(fā)，就可以不重復地走遍半棋盤上的所有點。教室里有5排椅子，每排5，每椅子上坐一個學生。一周后，每個55左下圖是由40個小正方形組成的圖形，能否將它剪裁成20個相同的長一個正方形果園里種有48棵果樹，加上右下角的一間小屋，整齊地排列（不許斜走），最后又回到小屋?？梢?75法決定只打一場或不賽。然后根據(jù)每人得分決定出前5名。這種比賽方式是否如下圖所示，將1～12順次排成一圈。如果報出一個數(shù)a（在1～12之間），那么就從數(shù)a的位置順時針走a個數(shù)的位置。例如a=3，就從3的位置10：a710數(shù)與合1。11～100100分析與解：先把前100個自然數(shù)寫出來，得下表23557726125100這些質數(shù)應當熟記！13，…的倍數(shù)呢？事實上，這些倍數(shù)已包含在已劃去的倍數(shù)中。例如，1001111×A≤100（A顯然，A2，3，4，5，6，7，8，94=22，6=2×3，8=23，2，3，5，7的倍數(shù)中，已面劃去了N2，3，4，5，6，7，8，…，N-1N，其中只要有一個自然數(shù)能整除1N22269，437分析與解N，要判斷它是質數(shù)還是合數(shù)，可以先找NNK2K9，2692，5；2+6+9=17，所以26936269，所以2694372，3，5，7，1113，17，19437，437÷19=23，437269，2～2682672～268412631111112111111113 由上式知，111111和 1111112111111是合數(shù)。例4判定298 和+3是質數(shù)還是合數(shù)？分析與解12anan除以某自然數(shù)的余數(shù)的變化規(guī)律。2n的個位數(shù)隨著n的從小到大，按照2，4，8，6每4個一組循環(huán)出現(xiàn)（298+3）22983（298+3）5（298+3）72n÷74+3=7，77（298+3）7（298+3）是合5A，（A+10）和（A+14）A。A=2，A+10=12，12A≠2A，（A+1），（A+2）3（A+1）與（A+10）3，（A+2）與（A+14）3（A+14）331A，（A+10），（A+14）33A=3。1，3，5，7用它們可以組成哪些兩位數(shù)的質數(shù)（數(shù)字可以重復使用a，b，c，a＞b＞c，a×b+c=88，a，b，cA。判斷266+388是不是質數(shù)a87ab。11解質因例如，60=22×3×5，1998=2×33×37113824313824313824138242）。21430100200分析與解：按題意，每隊人數(shù)×隊數(shù)=1430，每隊人數(shù)在100至200之間14301002001430＝2×5×11×1311×13=143，2×5=1013110111014331×2×3×…×4090909分析與解9090990909=33×7×13×37因為33（=27），7，13，37都在1～40中，所以1×2×3×…×40能90909472分析與解：將72分解質因數(shù)得到72=23×32。根據(jù)72的約數(shù)含有2372332，第三、任何一個約數(shù)至多有兩個不同質因數(shù)：237232，所以在某一個約數(shù)的質因數(shù)中，21234723，323根據(jù)乘法原理，724×3=12（個）4N一個大1的自然N的約數(shù)個數(shù)，等于它的質因數(shù)分解式中每個質因數(shù)的個數(shù)加1的連例如，2352=24×3×72，因為2352的質因數(shù)分解式中有42，17，2352又如，9450=2×33×52×7，94505506分析與解：這是求一個數(shù)的約數(shù)個數(shù)的逆問題，因此解題方法正好與例一個質因數(shù)a時，這個數(shù)是a5；當這個數(shù)有兩個質因數(shù)ab時，這個數(shù)是所以滿足題意的數(shù)有八個：32，12，20，28，44，18，45，50兩人今年的的乘積是693，4年前他們的都是質數(shù)。兩人今年的各是多少歲？次乘起來是3916，滿分是100分?！蹦芊裰赖摹⒖荚嚦煽兗懊?？兩個合數(shù)的差（大數(shù)減小數(shù)）100去射箭，規(guī)定每射一箭得到的環(huán)數(shù)或者是“0”（脫靶）1051764，412最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（一如果一個自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，那么稱ab的倍數(shù)，ba的約160144180 元，分裝后每袋的價格相等，所以144克一級茶葉、180克二級茶葉、144，180，24024060÷12=5（元）。2a498，450，414，得到相同的余數(shù)，a分析與解：因為498，450，414除以a所得的余數(shù)相同，所以它們兩兩a498-450=48，450-414=36，498-414=84所求數(shù)是（48，36，84）=12例3現(xiàn)有三個自然數(shù)，它們的和是1111，這樣的三個自然數(shù)的公約數(shù)中，1111”入手分析。三個數(shù)的小于1111，1111不可能是三個自然數(shù)的公約數(shù)，而101是可能的，比如取三個101，101909101。例4在一個30×24的方格紙上畫一條對角線（見下頁上圖），這條對角分析與解：（30，24）=6，說明如果將方格紙橫、豎都分成6份，即分6×6（30÷6）×（24÷6）=5×4（個6×65（見左下圖）個小方格中，對角線不經過任何格點（見右下圖）所以，對角線共經過格點（30，24）-1=5（個）51115130分析與解：甲、乙、丙走一圈分別需60秒、75秒和90秒，因為要在起點相會，即三人都要走整圈數(shù)，所以需要的時間應是60，75，90的公倍數(shù)。所求例6對說：“我現(xiàn)在的是你的7倍，過幾年是你的6倍，再過若干年就分別是你的5倍、4倍、3倍、2倍?！蹦阒篮同F(xiàn)在的年分析與解：和的隨著時間的推移都在變化，但他們的差是保持不變的。的現(xiàn)在是的7倍，說明他們的差是6的倍數(shù)；同理，他們的差也是5，4，3，2，1的倍數(shù)。由此推知，他們的6，5，4，3，2和的差是60的整數(shù)倍?？紤]到的實際情況，與的差應是60歲。所以現(xiàn)在的=60÷（7-1）=10（歲），的=10×7=70（歲）。有三根，分別長200厘米、240厘米、360厘米。現(xiàn)要把這三根1502028，13，大雪后的一天，亮亮和從同一點出發(fā)沿同一方向分別步測一個圓形花圃的周長。亮亮每步長54厘米，每步長72厘米，由于兩個人的腳印有6041516156435，13最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（二1812=18×12也就是說，18121812（a，b）×[a，b]=a×b16，72。已知其中一個自然18，求另一個自然數(shù)。解：由上面的結論，另一個自然數(shù)是（6×72）÷18=2427，210。這兩個自然數(shù)的77，求這兩個自然數(shù)。1，3011，求這兩個自然1×30=30，1156，故原來的兩個自然數(shù)是7×5=357×6=423ab，ac1215，a，b，c120，a，b，c。即是[12，15]=60[a，b，c]=120a60120。[a，c]=15，c2，又因為[a，b，c]=120=23×3×5，c=15。aca，b：“a60a=60a=120=12×120÷120=12a，b，c60，24，15120，12，1536150，13580，（150，135，80）=5150，135，801/36，所以每瓶最多裝在例4中，出現(xiàn)了與整數(shù)的最大公約數(shù)類似的分數(shù)問題。為此，最4求一組分數(shù)的最小公倍數(shù)的方法311/2÷63/10=5（次）。14數(shù)問余數(shù)有如下一些重要性質（a，b，c余數(shù)小于除數(shù)如果a，bc的余數(shù)相同，那么ab的差能c整除。例如171132，17-113（4）ab的和除以c的余數(shù)，等于a，b分別除以c的余數(shù)之和（或這個和除c余數(shù)）。例如，23，16531，所以（23+16）除以5的余數(shù)等于3+1=4。注意：當余數(shù)之和大于除數(shù)時，所求余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。例如，23，19除以5的余數(shù)分別是34，所以（23+19）5（3+4）5（5）ab的乘積除以c的余數(shù)，等于a，b分別除以c的余數(shù)之積（或這個積除以c的余數(shù)）。例如，23，16除以5的余數(shù)分別是31，所以×16）除以5的余數(shù)等于3×1=3。注意：當余數(shù)之積大于除數(shù)時，所求余數(shù)等c，23，19534，所以（23×19）除以5的余數(shù)等于（3×4）除以5的余數(shù)。性質（4）（5）例15122除以一個兩位數(shù)得到的余數(shù)是66，求這個兩位數(shù)。5122-505650565056=26×79由性質（1）66，505679，7922143，33，52，求解：因為被除數(shù)=除數(shù)×商+余=除數(shù)被除數(shù)=2143=2143-除數(shù)-33-=2058所以除數(shù)×33+52=2058-除數(shù)，=（2058-52）÷34=59，1999，5931088，1132，求甲、乙兩數(shù)。解：因為甲=乙×11+32，×11+32+乙=乙×12+32=1088，所以乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=10001000，88470，110，16050。求分析與解50÷3=16……5070，17～70290=2×5×29，29017～702958。5478×296×351171717478，296，351172，717=9……11例6甲、乙兩團乘車去參觀，每輛車可乘36人。兩代表團坐滿果每個膠卷可拍36，那么拍完最后一后，相機里的膠卷還可拍？分析與解：甲代表團坐滿若干輛車后余11人，說明甲代表團的人數(shù)（簡甲數(shù)）除以36余11；兩代表團余下的人正好坐滿一輛車，說明乙代表團余36-11=25（人），即乙代表團的人數(shù)（簡稱乙數(shù)）除以36余25；甲代表團的每個成員與乙代表團的每個成員兩兩合拍一，共要拍“甲數(shù)×乙數(shù)”照片，因為每個膠卷拍36，所以最后一個膠卷拍的數(shù)，等于“甲數(shù)×乙數(shù)”363611，3625，11×2536即最后一個膠卷拍了23，還可拍36-23=13（）1000ab（a＞b），ab1359，求a+b，a-b，a×b，a2-b2各自除以13的余數(shù)3.210056，3455439，7.20005415子問題與逐步約束我們稱這類問題為孫子問題132，53，72分析與解：這道例題就是《孫子算經》中的問題。這個問題有三個條件32”53”8，872”23，233，5，7，[3，5，7]=105，23＜105，23。251，73，8551”73”5×7=35在上面的數(shù)中，再找滿足“除以8余5”的數(shù)，可以找到101。因為101＜[5，7，8]=280，101。在例1、例2中，各有三個約束條件，我們先解除兩個約束條件，求只滿31000032，73，114解：32”5，8，11，14，17，20，23，…114”59。因為陽[3，7，11]=231，59231等差數(shù)列。（10000-59）÷231=43……8，1000044463，85，96[6，8，9]-3=72-3=695664766分析與解：設需要大房間x間，小房間y間，則有7x+4y=667xxx=27×2+4y=66y=13，x=2，y=13x=2，y=13，x4，y7x=2+4=6，y=13-7=6x-y=1xy13x+2y=5x=1，y=13x+2y=165x+3y=68解：容易看出，當y=1時，x=（68-3×1）÷5=13，即x=13，y=1是一x=13，y=1x3，y5，5x15，3y5由例5、例6看出，只要找到不定方程的一個解，其余解可通過對這個解的加、減一定數(shù)值得到。限于我們學到的知識，尋找第一個解的方法的要有一堆蘋果，331，552，661624”的游戲，它把枯燥的基本數(shù)字計算變得趣味盎然，能大大提高計算能力和速度，使得思維靈活敏捷，是一種寓教于樂的智力競賽游戲。24。“數(shù)學24”游戲通常是用牌進行的，此時，給定的四個自然數(shù)就被限四個人玩，把牌中的大、小拿掉，剩下的52牌洗好后，每人分13，然后每人出一牌，每牌的點數(shù)代表一個自然數(shù)，其中J，Q，K分別代表11，12和13，四牌表示四個自然數(shù)。誰最先按游戲規(guī)則算出24，就把這四牌贏走。然后繼續(xù)進行。最后誰的牌最多誰獲勝。13，3，5，6。解二：6×4=24，64，6×（5-3÷3）=246×（3×3-5）=24解三：還是根據(jù)3×8=24，把3和8各分成兩數(shù)，得（6-=24解四：先把其中兩數(shù)相乘，積不足24的用另兩數(shù)補足，得3×5+3+6=24。解五：先把其中兩數(shù)相乘，積超過24的用另兩數(shù)割去，得5×6-3-3=24。22，2，4，8。解二：4×6=24，4×（2+8÷2）=24。解三：根據(jù)2×12=24，得2×（2×8-4）=24解四：根據(jù)8+16=24，8已有，將另三個數(shù)湊成16，得8+2×2×4=24或（2+2）×4=24解五：根據(jù)8+16=24，把816各分成兩數(shù)，得2×4+2×8=24具體很多，在這里特別要注意的是：2×12，3×8，4×6是三個最基24”游戲。31，4，4，544446，8，8，9。解：8×（9-6）=8×9-8×6=2455，7，12，12解：12×（7-5）=12×7-12×5=243～5a×（b-c）=a×b-a×c62，2，6，922272，6，9，9。82，4，10，10=10×（2+4÷10）6～8a×b-c＝a×（b-c÷a）24”數(shù)和三個運算符號。也就是說，一定要進行三次運算，出現(xiàn)三個運算結果。其中前兩次結果是運算過程中的中間結果，第三次即最后一次的運算結果必須是24。樣，會找到的、更好的思考辦法。91，5，5，56至此，應用乘法玩“數(shù)學24”游戲的過程才是完整的。下面，我們再來看看用分數(shù)除法來玩“數(shù)學24”游戲。103，3，8，8。8÷（3-8÷3）=24。111，4，5，624”另外，我們還是要強調一下分數(shù)除法與分數(shù)乘法的相同處與不同處。學了24”中，很多除法算式可以轉化到乘法算式中去。但是它們之間還是有區(qū)別24”練習1624。1.（1）1，3，3，7；（2）2，2，5，7；（3）1，4，4，7；（5）1，5，6，6；（6）5，8，8，82.（1）2，7，7，10；（3）5，5，7，11；（5）4，4，5，5；（7）4，9，9，12；（8）3，7，9，133.（1）1，3，4，6；（3）1，6，6，8；（5）3，4，6，13；（7）3，4，8，13；（8）2，7，12，1317值原555我們通常使用的是十進制，其特點是“滿十進一”。就是說，每10”，10用數(shù)字和位值原則，可以表示出一切整數(shù)。例如，926表示9個用字母代替數(shù)字表示數(shù)，如a1～90，bc0～99，（97531-13579）9666。求原來的兩位數(shù)。分析與解：由位值原則知道，把數(shù)碼1加在一個兩位數(shù)前面，等于加x。由題意得到（10x+1）- -10x-x=666-x=85853a，b，c1～9分析與解：用a，b，c組成的六個不同數(shù)字所以，六個數(shù)的和是（a+b+c）222例4用2，8，7三數(shù)字卡片可以組成若干個不同的三位數(shù)，所有這些三例5一個兩位數(shù)，各位數(shù)字的和的5倍比原數(shù)大6，求這個兩位數(shù)（a+b）×5-5a+5b-10a-4b-5a=66將一個三位數(shù)的數(shù)字重新排列，在所得到的三位數(shù)中，用最大的減去分析與解：設原來的三位數(shù)的三個數(shù)字分別是a，b，c。99198，297，396，495，970。求原來的兩位數(shù)。131～9333069，41，18大最115分析與解15715=7+8，7×8=5615781如果兩個整數(shù)的和一定，那么這兩個整數(shù)的差越小，他們的乘積越2 分析與解：對于a，b兩個積，它們都是8位數(shù)乘以8位數(shù)，盡管兩組對應因數(shù)很相似，但并不完全相同。直接計算出這兩個8位數(shù)的乘積是很繁的。仔 多3， 少3，所以它們的兩因數(shù)之和相等， ab1a＞b。例3用長36米的竹圍成一個長方形菜園，圍成菜園的最大面積是分析與解36長+寬=36÷2=18（米3說明，周長一定的長方形中，正方形的面積最大。448，這兩個自然數(shù)是什么值時，它們的和最??？分析與解：481，2，3，4，6，8，12，16，24，4848548=6×8，6+8=146+8=142兩個自然數(shù)的乘積一定時，兩個自然數(shù)的差越小，這兩個自然數(shù)的5722的長方形豬圈，長方形的邊長以米為單位都是解：729-8=1。298米時，圍墻總長最少，為（8+9）×2=34（米）34617分析與解：假設分成的自然數(shù)中有1，a是分成的另一個自然數(shù)，因為1×a＜1+a1+a1a兩個自然數(shù)1。4的數(shù)，那么將這個數(shù)分成兩個最接近的整4的數(shù)，這個數(shù)就可以再分，所以分成的自然數(shù)中不應444=2+2=2×242。232+2+2=6，2×2×2=8，3+3=6，3×3=9，說明雖然三個2與兩個3的和都是6，但兩個3的乘積大于三個2的乘積，所以分成的自然數(shù)中最多有兩個2，其余都是3。由此得17323×3×3×3×3×2=486。6結論3把一個數(shù)拆分成若干個自然數(shù)之和，如果要使這若干個自然數(shù)的積最大，那么這些自然數(shù)應全是232最多不超過兩個例7把49分拆成幾個自然數(shù)的和，這幾個自然數(shù)的連乘積最大是多少？解：349=3×15+2+2，所以最大的積是91， 求圍墻最短，那么這塊長方形地的圍墻有多少？197.在數(shù)123456789101112… 19形的分割與拼怎樣把一個圖形按照要求分割成若分？怎樣把一個圖形分割成若例1請將一個任意三角形分成四個面積相等的三角形方法一：將某一邊等分成四份，連結各分點與頂點（見左下圖）方法二：畫出某一邊的中線，然后將中線二等分，連結分點與另兩個頂（見右上圖）方法三：找出三條邊上的中點，然后如左下圖所示連結方法四：將三條邊上的中點兩兩連結（見右上圖）部分再分割成面積相等的兩部分。本題還有的分割方法。例2將右圖分割成五個大小相等的圖形于15÷5=3（個）小正方形的面積。3個小正方形有 例4將下圖分割成兩塊，然后拼成一個正方形分析與解161，1（3，14），2（6，24）。考慮到缺角這一特5有一塊長4.8米、寬3米的長方形地毯，現(xiàn)在把它鋪到長4米、分析與解：首先驗證地毯的面積與房間的面積是否相等，然后考慮如例6用四塊相同的不等腰的直角三角板，拼成一個外面是正方形，里面有分析與解：右圖所示的三角板，∠A，∠B+∠C=90°。因為要拼的圖形有內外兩個正方形，所以有將∠A（左下圖）和拼內正方形的角（下中圖）兩種情況。若三角板可以放置，還有右下圖所示的拼830×2024×2520邊形的面平行四邊形面積=底×高圓面積=半徑×半徑扇形面積=半徑×半徑×π×圓心角的度數(shù)1厘米，DG=4分析與解CG部DG，就得到大、小正方形邊長之和的三4ABDBEF的面積，就得到陰102+62-（10×10÷2）-（10+6）×6÷2=38（厘米2）2ABCDDEFG都是平行四邊形，證明它們的CE（見右上圖），DCE，就把兩ABCDDCEDC，ABCDDCABCD的面積是三DCEDEFGDCEDE，DEFGDEDEFG的面積也是DCE的兩倍。DCE的兩倍，所以它們的面積相等。3201402ab厘米。a+b的長。分析與解：a，b與三角形面積的關系一下子不容易看出來。連結等腰三角形的頂點和底邊上所取的點，把等腰三角形分為兩個角形，它們的底都是20ab厘米（見右上圖）a，b的關系就來了。根據(jù)三角形的面積公式，兩個角形的面積分別為20×a÷220×b÷2。因為這兩個角形的面積之和等于原等腰三角形的面積，所以在例2、例3中，通過添加輔助線，使圖形間的關系更清晰，從而使問題4如左下圖所示，三角形ABC的面積是10厘米2，將AB，BC，CA分別延長一倍到D，E，F(xiàn)，兩兩連結D，E，F(xiàn)，得到一個新的三角形DEF。求三DEF的面積。分析與解ABCDEFFB（見右CA=AFABCABF等底等高，面積相等。因為AB=BDABFBDF等底等高，面積相等。由此得出，三ADF10+10=20（2）。BDECEF202。DEF20×3+10=70（2）。51510厘米，剩下的17252，求剩下的長方形的面積。分析與解：根據(jù)已知條件畫出下頁左上圖，其中甲、乙、丙為截去的由左上圖知，丙是長15厘米、寬10厘米的矩形，面積為15×10=150（厘2）。10+15=25（厘米），長等于原正方形的邊長，面積等于（甲+丙）+（乙+丙=甲+乙+丙）+=1875（2）75×75-1725=3900（2）。6有紅、黃、綠三塊同樣大小的正方形紙片，放在一個正方形盒的底1410，求正方形盒子底部的面積。（14+10）÷2=12A=綠×黃÷=12×12÷20=7.2正方形盒子底部的面積是紅+黃+綠+A=20+12+12+7.2=51.2202，在其中做一個最大的正方形，求這ABCD75BC14CD16ABCD2米的小路，802，正方形水池的面積是多少平方米？282，梯形的上底長是多少厘米？ABC中，BD=DF=FC，BE=EAEDF的面1ABC的面積是多少？283厘米，那么如下圖所示，四邊形ABCD的面積是1，將BA，CB，DC，AD分別延長一倍到E，F(xiàn)，G，H，連結E，F(xiàn)，G，H。問：得到的新四邊形EFGH的面21等量代換求面系化，找到解題思路。例1兩個相同的直角三角形如下圖所示（單位：厘米）在一起，求陰分析與解3厘米的直角梯形，然而它的上底與下底ABCDEF完全DOC后，根據(jù)差不變性質，差應相等，即陰影部分與直O(jiān)EFCOEFC的OEFC10-3=7（厘米），面積為（7+10）×2÷2=17（厘米2）1722在右圖中，平行四邊形ABCD的邊BC10厘米，直角三角形ECB的直角邊EC8厘米。已知陰影部分的總面積比三角形EFG的面積大10厘2ABCD的面積。分析與解EFG102，都加上梯形FGCB后，根據(jù)差不變性質，所得的兩個新圖形的面積差不變，即平行四邊行ABCDECB102ABCD的面積10×8÷2+10=50（厘米2）3在右圖中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6AFB比三角EFD182ED的長。分析與解EDECEC的長，需求出直角三角形ECBAFBEFD182，這兩個三角FDCBABCDECB的面積182ABCD的面積，就能依次求出三角形ECBECED的長。ECB=36-18=18（2），4下頁上圖中，ABCD7×4的長方形，DEFG10×2的長方形，BCOEFO的面積之差。分析：直接求出三角形BCO與三角形EFO的面積之差，不太容易做到。解法一：B，E（見左下圖）BCOEFO都加上三角BEOBECBEF的面積之差。所求4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。解法二：C，F(xiàn)（見右上圖）BCOEFO都加上三角CFOBCFECF的面積之差。所求4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。解法三：BCGFH（見下頁左上圖）BCO與三角形EFOCOFHBHFCEFH的面解法四：AB，F(xiàn)EH（見右上圖）BCOEFOBHEOBHECBHF的面4×（10-7）-（10-7）×（4+2）÷2=3。54厘米，求ABC的面積。與大正方形的邊長沒關系。連結AD（見右上圖），可以看出，三角形ABD與ACD的底都等于小正方形的邊長，高都等于大正方形的邊長，所以面AFDABDACD的公共部分，所以去ABF與三角形FCDABCBCD4×4÷2=8（2）。左下圖中，等腰直角三角形ABC的腰為10厘米，以C為圓心、CF為半徑畫弧線EF，組成扇形CEF。如果圖中甲、乙兩部分的面積相等，那么扇形所右上圖（單位：厘米）是兩個相同的直角梯形在一起，求陰影部分左下圖中，扇形ABD的半徑是4厘米，甲比乙的面積大3.44厘米2。求ABCD（π=3.14）ABCDAB4，BC6比三角形EDF的面積大9厘米2，求ED的長CD影22割補法求面1ABOABOAB的π×4×4÷4-4×4÷2=4.56（2）55×5=25。2在一個等腰三角形中，兩條與底邊平行的線段將三角形的兩條邊等分分析與解：陰影部分是一個梯形。我們用三種方法解答將兩個這樣的三角形拼成一個平行四邊形（下頁左上圖）2面將原圖等分成9 角形（見右上圖），陰影部分占3個角形359厘米的等腰梯形（陰影部分）。求這個梯形的面成一個正方形（上頁右下圖），954倍。所以所求梯形面積是（9×9-×5）÷4=14（厘米2）4AA′，BB′面積分別相等，所以甲、乙兩個矩形的面積相等。乙的4×6=2424。520厘米，甲正方形比乙正方402。求乙正方形的面積。A，B，C402（見左下圖）。合并成一個長20厘米的矩形，面積是40厘米2，寬是40÷20=2（厘米）。這2=9（厘米），9×9=81（2）。 4厘米，求圖中陰影部分的面積。一個直角梯形（陰影部分）。已知梯形的面積為36厘米2，上底為3厘米，求AEFD182，BE3CD的3厘米，甲的面積比452。求甲、乙的面積之和。求下圖（單位：厘米）ABCD23方程解應用有些數(shù)量關系比較復雜的應用題，用算術方法求解比較。此時，如果x（或其它字母），并能用兩種方式表示同一個量，其中至少有式含有未知數(shù)x，那么就得到一個含有未知數(shù)x的等1467.55.910x雙，則布鞋有（46-x）7.5x元，布鞋銷售5.9（46-x）10元可列出方程。解：x雙，則有布鞋（46-x）5x-5.9（46-7.5x-x=212174在例1中，求膠鞋有多少雙，我們設膠鞋有x雙；在例2中，求袋中共有x1x，即求什么設什么，這種方法叫直接設元x，這種方法叫間接設元法。具體采用哪種方法，要看哪種32803303403403分析與解x座，則紅磚有（80x-40）3，灰磚有（30x+40）32倍，列出方程80x-80x-x=6（座）分析與解x32x3。根據(jù)修建（x-80x- x=220（米3）2203，推知修建住宅（220-40）÷30=6（座）。同理，也可設有紅磚x米3。留給做練習。例4教室里有若干學生，走了10個后，男生是人數(shù)的2倍，又走了9個男生后，是男生人數(shù)的5倍。問：最初有多少個？分析與解：設最初有x個，則男生最初有（x-10）×2個。根據(jù)走10個、9個男生后，是男生人數(shù)的5倍，可列方x-10=[（x-10）×2-x=15（個）510次，按每人進球數(shù)統(tǒng)計的部分3683分析與解x3個球的有（x-7-5-4）8個球的有（x-3-4-1）330×7+1×5+2×4+6×（x-7-5-=5+8+6×（x-=6x-883×（x-3-4-=3×（x-=3x+466x-x=43（人）例6甲、乙、丙三人同乘汽車到外地旅行，三人所帶行的重量都超過了可免費攜帶行的重量，需另付行費，三人共付4元，而三人行共重150千克。如果一個人帶150千克的行，除免費部分外，應另付行費8元。求每人可免費攜帶的行重量。分析與解：設每人可免費攜帶x千克行。一方面，三人可免費攜帶3x千克行，三人攜帶150千克行超重（150-3x）千克，超重行每千克應付4÷（150-3x）元；另一方面，一人攜帶150千克行超重（150-x）千克，超重行每千克應付8÷（150-x）元。根據(jù)超重行每千克應付的錢數(shù)，可列方程x=30（千克）60301.5一群小朋友去春游，男孩每人戴一頂黃帽，每人戴一頂紅帽。在每個男孩看來，黃帽子比紅帽子多5頂；在每個看來，黃帽子是紅帽子的2倍。問：男孩、各有多少人？104教室里有若干學生，走了10個后，男生人數(shù)是的1047.一位牧羊人趕著一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他數(shù)了數(shù)羊的只數(shù)，9∶7；羊群，卻又跑走了一只母羊，牧羊人又數(shù)了數(shù)羊的只數(shù)，發(fā)現(xiàn)公羊與母羊的只7∶5。這群羊原來有多少只？24程問題（一速度=路程÷時間14米/200510115秒行的路程減去大橋的長度。由“路程=時間×速度”可求出車隊1154×115=460（米）故車隊長度為460-200=260（米）。再由植樹問題可得車隊共有車（260-210千米/1A，B兩人同時從甲地出發(fā)到乙地，A101點到；B1511點到。B到乙地時，A（千米），20BBAA15-10=5（千米），B由此知，A，B715×4=60（千米）12點到，即想（12-7=）5603米/3.5米/米/3.5米/3.5米/2.5米/秒的速度劃行的路程長。用單線表示以2.5米/秒的速度劃行的路程，線表示以3.5米/秒的速度劃行的路程，可畫出下圖所示的兩個方案的比較圖。其中，甲段+乙段=二種方案比第案速度快，所以第二種方案比第案所用時間短。綜上所述，在兩種方案中，第二種方案所用時間比第案少，即第二例4去爬山，上山時每小時行2.5千米，下山時每小時行4千米，往返共用3.9時。問：往返一趟共行了多少千米？分析與解1114中上山與下山的平均速度是50，20，40厘米，那么螞蟻爬行一周平均每分鐘爬行多少厘米？解：l例6兩個碼頭相距418千米，汽艇順流而下行完全11時，逆流而行完全19時。求這條河的水流速度解：水流速度=（順流速度-逆流速度=（418÷11-=（38-=8（千米/時8上學時騎車，回家時步行，共用50分鐘。若往返都步行，則70605千米/18千米/5.5時。問：他步行了多100012080秒。求火車的速度和長3010305已知下山的速度是上山速度的1.5倍，如果上山用了3時50分，那么下山72千米/48千米/時的速度48016682.5千米/25程問題（二14060A，B兩3BA，B分析與解：先畫示意圖如下圖中C點為相遇地點。因為從C點到B點，甲車行3時，所以C，B兩地40×3=120（千米）。120120÷60=2（時），A，B兩地的距離是（40+60）×2=200（千米）例2每天早晨按時從家出發(fā)上學，大爺每天早晨也定時出門散步，兩人相向而行，每分鐘行60米，大爺每分鐘行40米，他們每天都在同一時刻相遇。有一天提前出門，因此比平時早9分鐘與大爺相遇，這天分析與解：因為提前9分鐘相遇，說明大爺出門時，已經比平時多9分鐘合走的路，即多走了（60+40）×9=900（米），所以比平時早出門900÷60=15（分）例3在鐵路旁邊沿鐵路方向的公散步，他散步的速度是2米/秒18342米，求火車的速度。在上圖中，A是與火車相遇地點，B是與火車離開地點。由題意知，18秒從A走到B，火車頭從A走到C，因為C到B正好是火車的長度，所以18秒與火車共行了342米，推知與火車的速度和是342÷例4鐵路線旁邊有一條沿鐵路方向的公路，公一輛拖拉機正以20米/56千米/37分析與3類似，只不過由相向而行的相遇問題變成了同向而行的追及問題。由上圖知，37BCBA，火車比拖拉機多行一=[（56000-=370（米）530070300米需300÷（90-70）=15（分），0.55條6304734步。獵狗至少跑出多獵狗的速度的關系，條件都變換到獵狗跑12步的情形（想想為什么這樣122112161212211630A，B兩村相距2800米，從A村出發(fā)步行5分鐘后，小軍騎車從B村出發(fā)，又經過10分鐘兩人相遇。已知小軍騎車比步行每分鐘多行130米，每分鐘步行多少米？A，BA，B81.2A，B和同時從家里出發(fā)相向而行。每分鐘走52米，每分鐘走70米，二人在途中的A處相遇。若提前4分鐘出發(fā)，但速度不變，每分鐘走90米，則兩人仍在A處相遇。和的家相距多遠？280385米。坐在快車上的人看見慢車駛過的時間是11秒，坐在慢車上的人看見快甲、乙二人同時從A地到B地去。甲騎車每分鐘行250米，每行駛10分鐘后必休息20分鐘；乙不間歇地步行，每分鐘行100米，結果在甲即將休息的B：A，B1600針行走，兩人每分鐘分別行50米和46米。出發(fā)后多長時間兩人第一次在同一2032.13426程問題（三1180012COB=OC。如果乙改為向南走，那么這個條件相當于“兩人相距1800，121800÷12=150（米）如右上圖所示，出發(fā)75分鐘后，甲由A點到達E點，乙由O點到達F且OE=OF。如果乙改為向北走，那么這個條件相當于“兩人相距1800米，75分1800÷75=24（米）7563×75=4725（米）。例2小轎車、面包車和大客車的速度分別為60千米/時、48千米/時和4230分析與解：如下圖所示，面包車與小轎車在A點相遇，此時大客車到達BA30BA（45）（60-42）=2.5（時例3放學后，沿某路公共汽車路線以不變速度步行回家，該路公共9隔7分鐘就遇到迎面開來的一輛公共汽車。問：該路公共汽車每隔多少分鐘發(fā)假設在向前行走了63分鐘后，立即回頭再走63分鐘，回到原地。這里取63，是由于[7，9]=63。這時63分鐘他迎面遇到63÷7=9（輛）6363÷9=7（輛）631643010.6分析與解：甲游一個單30÷1=30（秒），乙游一個單（秒）532.5，1141125×4+2=22（次）例5甲、乙兩人同時從山腳開始爬山，到達山頂后就立即下山。他們兩86米，中午12點甲到達西村后立即返回東村，在距西村15千米處遇到乙。問：1老師以2.5米/秒的速度趕到排頭，然后立即返回隊尾，共用10分鐘。求隊伍甲、乙二人分別從A，B兩地同時出發(fā)，兩人同向而行，甲26分鐘趕上乙；兩人相向而行，6分鐘可相遇。已知乙每分鐘行50米，求A，B兩地的距沿公路前進，迎面來了一輛汽車，他問：“后面有騎自行車的34.57.211030個向北行走的農民，124千米；每小時行5千米，她就早到車站12分鐘。家離火車站多少千米27輯問題（一（2）律。在同一推理過程中，對同一對象的兩個互相的判斷，至少有一個是錯誤的。例如，“這個數(shù)大于8”和“這個數(shù)小于5”是兩個互相矛一個是對的，它們不能同時都錯。例如“這個數(shù)大于8”和“這個數(shù)不大于8”盾，從而否定假設，就是利用了律。在列表法中，對同一事件“√”與例1、、三位老師擔任五（2）班的語文、數(shù)學、英語、音（2）年紀最小（3）喜歡和體育老師、數(shù)學老師來往（4）體育老師比語文老師大（5）、語文老師、音樂老師三人經常一起。21由（3）知，不是體育、數(shù)學老師；由（5）知，不是語文、音樂老師；由（2）（4）知，不是體育老師，推知是體育老師。至此，得由（3）知，體育老師與數(shù)學老師不是一個人，即不是數(shù)學老師，推知是數(shù)學老師；由（1）知，數(shù)學老師不是英語老師，推知是美術老由（4）知，體育老師與語文老師不是一個人，即不是語文老師，推知是語文老師；由（5）知，語文老師不是音樂老師，推知是音樂老師；最后得到是英語老師，見下表。所以，教語文、英語，教數(shù)學、美術，教音樂、體育例2、、各游泳、羽毛球、乒乓球中的一項，并分別在（1）不在一?。?）不在二小（3）乒乓球的不在三?。?）游泳的在一小（5）游泳的不是問：三人上各什么運動？各上哪所小學分析與解：這道題比例1復雜，因為要判斷人、學校和三個內容。與四年級第26講例4類似，先將題目條件中給出的關系用下面的表1、表2、表3表示：34由表4、表2知道，游泳的在一小，不愛游泳，所以不在一小。于是可將表1補全為表5。對照表5和表4，得到：在二小上學，打乒乓球；在三小上學，打羽毛球；在一小上學，游泳。1234。例3小說《鏡花緣》中有一段與多久公飄洋過海的故事。有一天例4A，B，C，D四個同學中有兩個同學在假日為街道做好事，班把B：“CD：“B最后通過仔細分析，發(fā)現(xiàn)四人中有兩人說的是事實，另兩人說的與事B，CB，CBC沒做好事時，B說的話都與事實有出入。因為B與D說的是一樣的，所以只有兩種可能，要么B與D正確，A與C錯；要么B與D錯，A與C正確。（1）假設B與D說的話正確。這時C做了好事，A說C，D兩人中有人做了好事，A說的話也正確，這與題目條件只 ACACBDCDACCDB說的話也正確，與題意不符；若BDB說的話與事實不符，符合題意。BDA，B，C，D，E五個好朋友曾在一圓桌上討論過一個復雜的問題。今ABBCDCDD：“CBA，B，C，D，E，F(xiàn)六種產品中挑選出部分產品去參加博覽會。根據(jù)A，BA，DA，E，F(xiàn)B，CC，D三戶人家每家有一個孩子，分別是（女）、（女）和（男），孩子的是、老和老，是、和（1）和的孩子都參加了少年女子體操隊老的女兒不是老和不是一家人。五號樓住著四個和兩個男孩，他們的各不相同，最大的10歲，最小的4歲，最大的比最小的男孩大4歲，最大的男孩比最小的也大4歲，求最大的男孩的歲數(shù)。28輯問題（二1老師拿來五頂帽子，兩頂紅的三頂白的。他讓三個聰明的同學甲、上一頂帽子，同時把余下的帽子。當他們睜開眼后，乙和丙都判斷不出分析與解紅帽子，那么丙就會判斷出自己戴的是子。丙判斷不出自己戴的帽子的顏色，說明我和乙戴的帽子是兩白或一白一紅。帽子，那么他就會知道自己戴的是子，只有我戴的是子時，他才可能猜不出自己戴的帽子的顏色。所以，我戴的一定是子。1例2三個盒子各裝兩個球，分別是兩個黑球、兩個白球、一個黑球一個白球。封裝后，發(fā)現(xiàn)三個盒子的全部貼錯。如果只允許打開一個盒子，拿出其中一個球看，那么能把全部糾正過來嗎？分析與解：因為“三個盒子的全部貼錯”了，貼錯的情況見下圖（○如果從是兩黑的盒子中拿一個球，那么最不利的情況是拿出一個球，此時無法判定是實際情況1，還是實際情況2，也就無法把全部糾正過同理，從是兩白的盒子中拿一個球，若拿的是黑球，則也無法把從是一黑一白的盒子中拿出一個球，若拿出的是黑球，則能確定出是實際情況1，若拿出的是白球，則能確定出是實際情況2，因此能把全部糾所以，只要從是一黑一白的盒子中拿一個球，就能糾正全部。3A，B，C10703A，B66A，B3，A，B1，3，4，10，A，C63，6，8，9B，C62，3，5，7例4A，B，C，D，E五位選手進行乒乓球循環(huán)賽，每兩人都只賽一盤。規(guī)定勝者得2分，負者不得分?，F(xiàn)在知道的比賽結果是：A與B并列第一名（有兩個并列第一名，就不再設第二名，下一個名次規(guī)定為第三名），D比C的名勝的盤數(shù)乘以2就是得分。五人進行循環(huán)賽，共需賽10盤，總得分是2×10=4A，B3A，B3210-2×2=6（盤）C，D，E，根據(jù)抽屜原理，C，D，E三人中至少有1人勝了至少2盤，與第一名勝2盤。所以A，B364DCD24，C，E2這個條件，那么該題的結果就有兩種可能：一是A，B各勝3盤，各得6分，D24，C，E12A，B36D，E24，C00頂藍的和一頂黃的。然后，讓四個兒子按大的小的在后的順序排成一路縱A，B，C，D，E，B，1432大娘問三位青年人的說：“我22歲。比小2歲。比大1歲。小說：“我不是 最小的。和我差3歲。 說：“我 小。23歲。 大3歲。這三位青年人愛開玩笑，每人講的三句話中，都有一句是錯的。大娘難辯真真假假，請你幫助大娘弄清這三人的。A，B，C（每隊之間賽一場），細比賽情況的表。但后來發(fā)現(xiàn)表中有四個數(shù)是錯誤的。請按規(guī)定重制一正確的表格。（201）畫“×”。每題答對得2分，不答得1分，答錯得0分。甲、乙、丙、丁的答29屜原這兩講先復下抽屜原理的概念，然后結合一些較復雜的抽屜原理問題，討抽屜原理1將多于n件物品任意放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品不少于2。抽屜原理2將多于m×n件物品任意放到到n個抽屜中，那么至少有一個ana÷n=m……b，b14710075～95，75～9521212147-3=44（個）學生作為物品。44÷21=2，13473例2夏令營組織2000名營員活動，其中有爬山、參觀博物館和到海灘游3活動的有3種情況，參加兩項活動的有爬山與參觀、爬山與海灘游玩、參觀與33+3=6（個）抽屜。334分析與解：這道題一下子不容易理解，它變變形式。因為是把書分給學生，所以學生是抽屜，書是物品。本題可以變?yōu)椋?25422441想，如果有42個人，還能保證至少有一人分到至少4本書嗎例4五（1）班老師在一次數(shù)學課上出了兩道題，規(guī)定每道題做對得分，沒做得1分，做錯得0分。老師說：可以肯定全班同學中至少有6名學992，9×（6－1）+1=46(人)。343。男孩總數(shù)與總數(shù)都是偶數(shù)。分析與解：因為一組中的男孩人數(shù) 人數(shù)的奇偶性只有下面四種（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶）將這四種情況作為4個抽屜，五組作為5件物品，由抽屜原理1知，至少相加，男孩人數(shù)與人數(shù)都是偶數(shù)。2008館有甲、乙、丙、丁四類，規(guī)定每個同學最多可以借兩本不同類的，至少有多少個同學借書，才能保證有兩個人所借的類別相同？我國人口已超過12億，如果人均不超過75歲，那么我國至少有2紅光小學五（2）4288230屜原理（二分析與解：將9列小方格看成9件物品，每列小方格不同的涂色方式看98例2在任意的四個自然數(shù)中，是否總能找到兩個數(shù)，它們的差是3的分析與解：這道題可以將4個自然數(shù)看成4件物品，可是卻沒有明顯的33331234324233331，3，5，7，…，47，492552分析與解：首先要根據(jù)題意構造合適的抽屜。在這25個奇數(shù)中，兩兩之5212｛19，33｝，｛21，31｝，｛23，29｝，｛25，27｝121225135214分析與解：在88列的方格表中，8行有8個和，8列也有8個和，228+8+2=18（個）1818818；832482424-8+1=17(17181851，2，3，44個數(shù)字任意寫出一個10000位數(shù)，從這個10000的4個數(shù)字組成的四位數(shù)有多少個是相同的，所以物品應是截取出的所有四位99971，2，3，4×4×4=256（種256403710

1.6281。解：621819÷（100-1）=62812.（1）由百位加法知，A=B+1A+C=B+10C=9，進A=5，B=4（見左下式）。11，所以百位減法是（10+B-1）-A=A，9+B=2AB=A-1A=8B=7（）3.1÷（2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9）=907204.1÷（2÷3）÷4÷（5÷6÷7÷8）÷9=2.846×79=23×158=3634。6.39134437.7748884，3336，891.（1）4285；（2）4615387×(1000A+B)=538A=461B538461A，B 。所求六位數(shù) 2.（1）124×81=10044；（2）117684÷12=9807提示：（1）a，8a≤999，81a≥10000，a=124a=123.（1）易知f=2，g=0；由g=0b，d中有一個是5，另一個是偶數(shù)而f=2，所以b=5，進而推知d=6；再由d=6，f=2a=27，而e=34，所以a=7；最c=5。見上頁右下式。（2）b=c=0d1000的倍數(shù)，de都不為0d2352d=8125的奇數(shù)倍，因e=5f≠0，e=5f=g=5g=5，d=85000÷8=625，625×aa=1625×1008=630000，所求豎式見右1.2。2.43.0提示：（2）x

（4

1）=7，x

（4×3-1×2）=7，3x-x=9（2）1×2×3×…×x=40320x20160÷3=解：x☆（8☆5）x☆（8×5÷4）x☆10=x×10÷4x×10÷4=10，x=4。8.0解：=(4×3-3×3)△(4×2-3△5=3×5-3×5=0。的乘積，因數(shù)個數(shù)是第二個數(shù)字。（44）÷（33）=（4×5×6×7）÷（3×4×5）=142.73.3342⊙3=（A×2-3）÷4=0.75A=3m⊙=[（3×5-7）÷4]×[(3×2-2)÷4]÷[（3×3-6.（1）2，3，1；（2）714提示：（1）（59）19=419=3，5（195）=54=1（2）x＜11，x7；x＞11，x147.（1）10；（2）4解：（1）f（g（6））-=f(6÷2+1)-g（3×3-1）=f(4)-=（4×4-1）-（8÷2+1）=10（2）f(g（x）8=3×3-1g（x）=3x÷2+1=3，x=4是。提示：70181392420528131448754875的因數(shù)。4875=3×5×5×5×1364，顯然3×13=395×5=2539-25=14。197，8，44.123654321654提示：由題意知，b，d，f是偶數(shù)，e=5a，c136f=41236543216545.5590=9×10（人）3233整除，所以第1、第3兩個數(shù)除以3的余數(shù)相同。類似可知，排在第1，3，5，7，9位的數(shù)除以3的余數(shù)都相同。在1～9中，除以3的余數(shù)相同的數(shù)只有3個，不可能有5個。這個說明假設不成立。7能被13整除的有 2.1提示：175-62=113，1，175-162=135467.0解：因 能被21整除，所以能被7和3整除778765□4-321=876504 876-（183+□0）=693+□0由（693+□0）7整除，可求出□=07。30。8.27，，，。37，，，。9.