九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí) 相似三角形提優(yōu)學(xué)案

授課標(biāo)題相似三角形知識點(diǎn)三角形相似的性質(zhì)定理兩個三角形相似，__________________.三角形相似的判定定理1、__________________的兩個三角形相似．2、__________________的兩個三角形相似．3、__________________的兩個三角形相似．相似三角形周長、面積的性質(zhì)(1)相似三角形周長的比等于__________．(2)相似三角形面積的比等于________________．相似三角形中對應(yīng)線段的性質(zhì)(1)相似三角形對應(yīng)高之比等于__________．(2)相似三角形對應(yīng)中線之比等于__________．(3)相似三角形對應(yīng)角平分線之比等于__________．三角形重心的概念三角形的__________相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的重心．相似三角形的判定與性質(zhì)例1如圖正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AM的中點(diǎn)，EF⊥AM，垂足為F，交AD的延長線于點(diǎn)E，交DC于點(diǎn)N.(1)求證：△ABM∽△EFA；(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的長．變式1如圖在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，連接AD，∠ADB＝∠CDE，DE交邊AC于點(diǎn)E，交BA的延長線于點(diǎn)F，且AD2＝DE·DF.求證：(1)△BFD∽△CAD；(2)BF·DE＝AB·AD.相似三角形性質(zhì)定理的應(yīng)用例2如圖矩形EFGH內(nèi)接于△ABC，且邊FG落在BC上．若AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，EF＝eq\f(2,3)EH，則EH的長為________．變式2如圖在△ABC中，D為BC上的一點(diǎn)，且∠BAD＝∠C，∠ABC的平分線分別交AD，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，AB＝28，BC＝36，求eq\f(BE,EF)的值．相似與動點(diǎn)問題例3如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．動點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒3cm的速度向定點(diǎn)A運(yùn)動，同時動點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒2cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，運(yùn)動時間為t秒（0＜t＜），連接MN．（1）若△BMN與△ABC相似，求t的值；（2）連接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．變式3如圖，正方形ABCD的邊長為8，E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線AD上，過P作PF⊥AE于F．（1）請判斷△PFA與△ABE是否相似，并說明理由；（2）當(dāng)點(diǎn)P在射線AD上運(yùn)動時，設(shè)PA＝x，是否存在實(shí)數(shù)x，使以P，F(xiàn)，E為頂點(diǎn)的三角形也與△ABE相似？若存在，請求出x的值；若不存在，說明理由．練習(xí)1．如圖，已知△ACD∽△ADB，AC＝4，AD＝2，則AB的長為（）A．1 B．2 C．3 D．42．如圖△ABC中，AD是中線，BC＝8，∠B＝∠DAC，則線段AC的長為()A．4B．4eq\r(2)C．6D．4eq\r(3)3．如圖6－Y－5，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(9，6)，AB⊥y軸，垂足為B，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)向x軸正方向運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時，點(diǎn)P，Q同時停止運(yùn)動．若點(diǎn)P與點(diǎn)Q的速度之比為1∶2，則下列說法正確的是()圖6－Y－5A．線段PQ始終經(jīng)過點(diǎn)(2，3)B．線段PQ始終經(jīng)過點(diǎn)(3，2)C．線段PQ始終經(jīng)過點(diǎn)(2，2)D．線段PQ不可能始終經(jīng)過某一定點(diǎn)4．如圖6－Y－6，點(diǎn)A在線段BD上，在BD的同側(cè)做等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，CD與BE，AE分別交于點(diǎn)P，M.對于下列結(jié)論：①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③2CB2＝CP·CM.其中正確的是()圖6－Y－6A．①②③B．①C．①②D．②③△ACD是BCDF=0求證：△BDE∽△CFD；BD=1，CF=3BEABCDAAE⊥BCEDE，F(xiàn)DE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠B．求證：△ADF∽△DEC；AB＝8，AD＝12，AF＝6，AE的長．7．如圖的⊙O中，AB為直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點(diǎn)F，過點(diǎn)D、A分別作⊙O的切線交于點(diǎn)G，并與AB延長線交于點(diǎn)E．（1）求證：∠1=∠2．（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，求AG的長．8．如圖在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)A作AF⊥DE，垂足為F.⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，D，F(xiàn)，與AD相交于點(diǎn)G.(1)求證：△AFG∽△DFC；(2)若正方形ABCD的邊長為4，AE＝1，求⊙O的半徑．9．在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在線段AD上．（1）若∠BAC＝∠BED＝2∠CED＝α，①若α＝90°，AB＝AC，過C作CF⊥AD于點(diǎn)F，求的值；②若BD＝3CD，求的值；（2）AD為△ABC的角平分線，AE＝ED＝2，AC＝5，tan∠BED＝2，直接寫出BE的長度．解析例1略變式1[解析](1)根據(jù)相似三角形的判定得出△ADF∽△EDA，再利用相似三角形的性質(zhì)得出∠F＝∠DAE，進(jìn)而證明△BFD∽△CAD即可；(2)由△BFD∽△CAD得出eq\f(BF,AC)＝eq\f(DF,AD)，∠B＝∠C，從而AB＝AC，再證明eq\f(BF,AC)＝eq\f(AD,DE)，進(jìn)而解答即可．證明：(1)∵AD2＝DE·DF，∴eq\f(AD,DF)＝eq\f(DE,AD).又∵∠ADF＝∠EDA，∴△ADF∽△EDA，∴∠F＝∠DAE.∵∠ADB＝∠CDE，∴∠ADB＋∠ADF＝∠CDE＋∠ADF，即∠BDF＝∠CDA，∴△BFD∽△CAD.(2)∵△BFD∽△CAD，∴∠B＝∠C，eq\f(BF,AC)＝eq\f(DF,AD)，∴AB＝AC.由AD2＝DE·DF，可得eq\f(AD,DE)＝eq\f(DF,AD)，∴eq\f(BF,AC)＝eq\f(AD,DE)，∴eq\f(BF,AB)＝eq\f(AD,DE)，∴BF·DE＝AB·AD.[答案]eq\f(3,2)例2[解析]設(shè)EH＝3x，用含x的代數(shù)式表示出EF，由AD－EF表示出△AEH的邊EH上的高，根據(jù)△AEH與△ABC相似，利用相似三角形對應(yīng)邊上的高之比等于相似比求出x的值，從而得出EH的長．具體的解答過程如下：設(shè)AD交EH于點(diǎn)M.∵四邊形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴AM⊥EH，△AEH∽△ABC.∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴eq\f(AM,AD)＝eq\f(EH,BC).設(shè)EH＝3x，則EF＝eq\f(2,3)EH＝2x，AM＝AD－EF＝2－2x，∴eq\f(2－2x,2)＝eq\f(3x,3)，解得x＝eq\f(1,2)，則EH＝eq\f(3,2).變式2[解析]BE，BF可以分別看成是△ABD，△CBA的角平分線，因此，利用條件“∠BAD＝∠C”來證明△ABD∽△CBA，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比求得eq\f(BE,EF)的值．解：∵∠BAD＝∠C，∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA.∵BF平分∠CBA，∴BE，BF分別是△ABD和△CBA的角平分線，∴eq\f(BE,BF)＝eq\f(AB,CB)＝eq\f(28,36)，即eq\f(BE,BF)＝eq\f(7,9)，∴eq\f(BE,EF)＝eq\f(7,2).例3【答案】（1）由題意知，BM=3tcm，CN=2tcm，∴BN=（8﹣2t）cm，BA==10（cm），當(dāng)△BMN∽△BAC時，，∴，解得：t=；當(dāng)△BMN∽△BCA時，，∴，解得：t=，∴△BMN與△ABC相似時，t的值為或；（2）過點(diǎn)M作MD⊥CB于點(diǎn)D，由題意得：DM=BMsinB==（cm），BD=BMcosB==（cm），BM=3tcm，CN=2tcm，∴CD=（）cm，∵AN⊥CM，∠ACB=90°，∴∠CAN+∠ACM=90°，∠MCD+∠ACM=90°，∴∠CAN=∠MCD，∵M(jìn)D⊥CB，∴∠MDC=∠ACB=90°，∴△CAN∽△DCM，∴，∴，解得t=．變式3【答案】(1)證明：∵AD∥BC,∴∠PAF=∠AEB.∵∠PFA=∠ABE=90°，∴△PFA∽△ABE.(2)若△EFP∽△ABE，則∠PEF=∠EAB.如圖，連接PE,DE,∴PE∥AB.∴四邊形ABEP為矩形.∴PA=EB=2，即x=2.如圖，延長AD至點(diǎn)P，作PF⊥AE于點(diǎn)F,連接PE,若△PFE∽△ABE，則∠PEF=∠AEB.∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF.∴PE=PA.∵PF⊥AE，∴點(diǎn)F為AE的中點(diǎn).∵AE=，∴EF=AE=.∵，∴PE=5，即x=5.∴滿足條件的x的值為2或5.1．解：∵△ACD∽△ADB，∴＝，∴AB＝＝1，故選：A．2．[解析]B∵BC＝8，AD是中線，∴CD＝4.在△CBA和△CAD中，∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CBA∽△CAD，∴eq\f(AC,BC)＝eq\f(CD,AC)，∴AC2＝CD·BC＝4×8＝32，∴AC＝4eq\r(2)(負(fù)值已舍去)．故選B.3．[解析]B如圖，連接OA交PQ于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD∥AB，交y軸于點(diǎn)D.∵A(9，6)，∴AB＝9，OB＝6.∵AB∥OP，∴△OPC∽△AQC，∴eq\f(OC,AC)＝eq\f(OP,AQ)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(OC,OA)＝eq\f(1,3).∵CD∥AB，∴△ODC∽△OBA，∴eq\f(CD,AB)＝eq\f(OD,OB)＝eq\f(OC,OA)＝eq\f(1,3)，∴CD＝3，OD＝2，∴C(3，2)，∴線段PQ始終經(jīng)過點(diǎn)(3，2)．4．[解析]A由題意，得eq\f(AC,AB)＝eq\f(AD,AE)＝eq\r(2)，∠BAE＝∠CAD＝135°，∴△BAE∽△CAD，故①正確；∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA.又∵∠PME＝∠AMD，∴△PME∽△AMD，∴eq\f(MP,MA)＝eq\f(ME,MD)，∴MP·MD＝MA·ME，故②正確；∵eq\f(MP,MA)＝eq\f(ME,MD)，∠PMA＝∠EMD，∴△PMA∽△EMD，∴∠APM＝∠DEM＝90°，∴∠CPA＝90°.易知∠CAE＝90°，∴∠CPA＝∠CAM，而∠ACP＝∠MCA，∴△CAP∽△CMA，eq\f(CP,CA)＝eq\f(CA,CM)，∴CP·CM＝CA2＝2CB2，故③正確．故選A.ABC∴∠B=∠C=60°，∵∠EDF=60°，∴∠BED+∠EDB=∠EDB+∠FDC=120°，∴∠BED=∠FDC，∴△BDE∽△CFD；（2）解：由（1）知△BDE∽△CFD，∵BC=6，BD=1，∴CD=BC﹣BD=5，ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF＝∠CED，∠B+∠C＝180°；∵∠AFE+∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，PAGE13∴△ADF∽△DEC；（2）ABCD是平行四邊形，∴DC＝AB＝8．∵△ADF∽△DEC，∴DE＝16．∵AD∥BC，AE⊥BC，∴AE⊥AD．Rt△ADE中，∠EAD＝90°，DE＝16，AD＝12，7．（1）證明：連結(jié)OD，如圖，∵DE為⊙O的切線，∴OD⊥DE，∴∠ODE=90°，即∠2+∠ODC=90°，∵OC=OD，∴∠C=∠ODC，∴∠2+∠C=90°，而OC⊥OB，∴∠C+∠3=90°，∴∠2=∠3，∵∠1=∠3，∴∠1=∠2；（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，∴OF=1，∵∠1=∠2，∴EF=ED，在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，則EF=x，OE=1+x，∵OD2+DE2=OE2，∴32+t2=（t+1）2，解得t=4，∴DE=4，OE=5，∵AG為⊙O的切線，∴AG⊥AE，∴∠GAE=90°，而∠OED=∠GEA，∴Rt△EOD∽Rt△EGA，∴=，即=，∴AG=6．8．解：(1)證明：在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，∴∠CDF＋∠ADF＝90°.∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°，∴∠DAF＋∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠CDF.∵四邊形GFCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠DCF＋∠DGF＝180°.又∵∠AGF＋∠DGF＝180°，∴∠AGF＝∠DCF.∴△AFG∽△DFC.(2)如圖，連接CG.∵∠CDG＝90°，∴CG為⊙O的直徑．∵∠EAD＝∠AFD＝90°，∠EDA＝∠ADF，∴△ADE∽△FDA，∴eq\f(AE,AF)＝eq\f(AD,FD)，即eq\f(AE,AD)＝eq\f(AF,FD).∵△AFG∽△DFC，∴eq\f(AG,DC)＝eq\f(AF,DF)，∴eq\f(AG,DC)＝eq\f(AE,AD).在正方形ABCD中，AD＝CD，∴AG＝AE＝1，DG＝A