第13章　全等三角形 練習(xí)題 華東師大版八年級數(shù)學(xué)上冊

全等三角形類型之一命題與定理1.[2019·北京]用三個(gè)不等式a>b,ab>0,1a<1b中的兩個(gè)不等式作為題設(shè),余下的一個(gè)不等式作為結(jié)論組成一個(gè)命題,組成真命題的個(gè)數(shù)為(A.0 B.1 C.2 D.32.[2019·安徽]命題“如果a+b=0,那么a,b互為相反數(shù)”的逆命題為.

類型之二全等三角形的判定3.[2019·興安盟]如圖1,已知AB=AC,點(diǎn)D,E分別在線段AB,AC上,BE與CD相交于點(diǎn)O,添加以下哪個(gè)條件仍不能判定△ABE≌△ACD()圖1A.∠B=∠C B.AE=ADC.BD=CE D.BE=CD4.[2019·呼和浩特]有下面三個(gè)命題:①底邊和頂角對應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等;②兩邊及其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等;③斜邊和斜邊上的中線對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.其中正確的命題的序號為.

5.[2020·河池](1)如圖2①,已知CE與AB交于點(diǎn)E,AC=BC,∠1=∠2.求證:△ACE≌△BCE;(2)如圖②,已知CD的延長線與AB交于點(diǎn)E,AD=BC,∠3=∠4.探究AE與BE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.圖2類型之三等腰三角形的性質(zhì)及判定6.[2019·山西]如圖3,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,直線a∥b,頂點(diǎn)C在直線b上,直線a交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E.若∠1=145°,則∠2的度數(shù)是()圖3A.30° B.35° C.40° D.45°7.[2019·重慶]如圖4,在△ABC中,AB=AC,D是BC邊上的中點(diǎn),連結(jié)AD,BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF∥BC交AB于點(diǎn)F.(1)若∠C=36°,求∠BAD的度數(shù);(2)求證:FB=FE.圖4類型之四尺規(guī)作圖8.[2019·濰坊]如圖5,已知∠AOB.按照以下步驟作圖:①以點(diǎn)O為圓心,以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧,分別交∠AOB的兩邊于C,D兩點(diǎn),連結(jié)CD;②分別以點(diǎn)C,D為圓心,以大于線段OC的長為半徑作弧,兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)E,連結(jié)CE,DE;③連結(jié)OE交CD于點(diǎn)M.下列結(jié)論中錯誤的是()圖5A.∠CEO=∠DEO B.CM=MDC.∠OCD=∠ECD D.S四邊形OCED=12CD·類型之五角平分線與線段的垂直平分線9.[2019·南充]如圖6,在△ABC中,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.若BC=6,AC=5,則△ACE的周長為()圖6A.8 B.11 C.16 D.1710.[2019·永州]如圖7所示,已知∠AOB=60°,OC是∠AOB的平分線,D為OC上一點(diǎn),過點(diǎn)D作直線DE⊥OA,垂足為E,且直線DE交OB于點(diǎn)F.若DE=2,則DF=.(提示:在直角三角形中,30°角所對的直角邊等于斜邊的一半)

圖711.已知:在△ABC中,AB,AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E,F.(1)如圖8①,∠B=∠C=30°,求∠EAF的度數(shù).(2)如圖②,AB≠AC,且90°<∠BAC<180°.①若∠BAC=140°,則∠EAF=°;若∠BAC=n°,則∠EAF=°.

②當(dāng)∠BAC=°時(shí),AE⊥AF.

③若BC=a,則△AEF的周長為.

圖8類型之六數(shù)學(xué)活動12.八年級(1)班同學(xué)上數(shù)學(xué)活動課,利用角尺平分一個(gè)角(如圖9).設(shè)計(jì)了如下方案:(Ⅰ)∠AOB是一個(gè)任意角,將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線OA,OB之間,移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與點(diǎn)M,N重合,即PM=PN,過角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是∠AOB的平分線.(Ⅱ)∠AOB是一個(gè)任意角,分別在邊OA,OB上取點(diǎn)M,N,使OM=ON,將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線OA,OB之間,移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與點(diǎn)M,N重合,即PM=PN,過角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是∠AOB的平分線.(1)方案(Ⅰ)、方案(Ⅱ)是否可行?若可行,請證明;若不可行,請說明理由.(2)在方案(Ⅰ)PM=PN的情況下,繼續(xù)移動角尺,同時(shí)使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行?請說明理由.圖9

答案1.D[解析]①若a>b,ab>0,則1a<1b,理由:∵a>b,ab>0,∴a>b>0或0>a>b,∴1a<1②若ab>0,1a<1b,則a>b,理由:∵ab>0,∴a,b同號.∵1a<1b,③若a>b,1a<1b,則ab>0,理由:∵a>b,1a<1b,∴a,b同號,∴ab>故組成真命題的個(gè)數(shù)為3.故選D.2.如果a,b互為相反數(shù),那么a+b=03.D[解析]A.當(dāng)∠B=∠C時(shí),利用A.S.A.可以判定△ABE≌△ACD;B.當(dāng)AE=AD時(shí),利用S.A.S.可以判定△ABE≌△ACD;C.當(dāng)BD=CE時(shí),可得到AD=AE,利用S.A.S.可以判定△ABE≌△ACD;D.當(dāng)BE=CD時(shí),不能判定△ABE≌△ACD.故選D.4.①②[解析]①底邊和頂角對應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等,正確.理由:已知:如圖①②,在△ABC和△A'B'C'中,AB=AC,A'B'=A'C',BC=B'C',∠A=∠A'.求證:△ABC≌△A'B'C'.證明:在△ABC中,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠B=12(180°-∠A)=90°-12同理∠B'=90°-12∠∵∠A=∠A',∴∠B=∠B'.又∵BC=B'C',∴△ABC≌△A'B'C'(A.A.S.).②兩邊及其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等,正確.理由:已知:如圖③④.在△ABC和△A'B'C'中,AD,A'D'分別是△ABC和△A'B'C'的中線,且AD=A'D',AB=A'B',BC=B'C'.求證:△ABC≌△A'B'C'.證明:∵AD,A'D'分別是△ABC和△A'B'C'的中線,∴BD=12BC,B'D'=1∵BC=B'C',∴BD=B'D'.又∵AB=A'B',AD=A'D',∴△ABD≌△A'B'D'(S.S.S.),∴∠B=∠B'.又∵AB=AB',BC=B'C',∴△ABC≌△A'B'C'(S.A.S.)③斜邊和斜邊上的中線對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等,不正確.例如:兩個(gè)直角三角形的斜邊長都是10,斜邊上的中線長都是5,而其中一個(gè)直角三角形的兩銳角是30°和60°,另一個(gè)直角三角形的兩銳角是40°和50°,此時(shí)這兩個(gè)三角形不全等.故答案為①②.5.解:(1)證明:在△ACE和△BCE中,∵AC=BC,∠1=∠2,CE=CE,∴△ACE≌△BCE(S.A.S.).(2)AE=BE.理由如下:如圖,在CE上截取CF=DE.在△ADE和△BCF中,∵AD=BC,∠3=∠4,DE=CF,∴△ADE≌△BCF(S.A.S.),∴AE=BF,∠AED=∠BFC.∵∠AED+∠BEF=180°,∠BFC+∠EFB=180°,∴∠BEF=∠EFB,∴BE=BF,∴AE=BE.6.C[解析]∵AB=AC,∠A=30°,∴∠ACB=75°.在△ADE中,∵∠1=∠A+∠AED=145°,∴∠AED=145°-30°=115°.∵a∥b,∴∠AED=∠2+∠ACB,∴∠2=115°-75°=40°.故選C.7.解:(1)∵AB=AC,∴∠C=∠ABC.∵∠C=36°,∴∠ABC=36°.∵BD=CD,AB=AC,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠BAD=90°-36°=54°.(2)證明:∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE=12∠∵EF∥BC,∴∠FEB=∠CBE,∴∠FBE=∠FEB,∴FB=FE.8.C[解析]由作圖步驟可得OE是∠AOB的平分線,OC=OD,∴OE垂直平分CD,∴CE=DE,CM=MD.∵CE=DE,OE⊥CD,∴∠CEO=∠DEO,但不能得出∠OCD=∠ECD.由OE⊥CD可得S四邊形OCED=12CD·OE.故選C9.B[解析]∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,∴△ACE的周長為AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11.故選B.10.4[解析]過點(diǎn)D作DM⊥OB,垂足為M,如圖所示.∵OC是∠AOB的平分線,DE⊥OA,DM⊥OB,∴DM=DE=2.在Rt△OEF中,∵∠OEF=90°,∠EOF=60°,∴∠OFE=30°,即∠DFM=30°.在Rt△DMF中,∵∠DMF=90°,∠DFM=30°,∴DF=2DM=4.故答案為4.11.解:(1)∵∠B=∠C=30°,∴∠BAC=180°-30°-30°=120°.∵AB,AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E,F,∴AE=BE,AF=CF,∴∠B=∠BAE=30°,∠C=∠CAF=30°,∴∠EAF=120°-30°-30°=60°.(2)①100(2n-180)[解析]∵∠BAC=140°,∴∠B+∠C=180°-140°=40°.∵AB,AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E,F,∴AE=BE,AF=CF,∴∠B=∠BAE,∠C=∠CAF,∴∠BAE+∠CAF=40°,∴∠EAF=140°-40°=100°.∵∠BAC=n°,∴∠B+∠C=180°-n°.∵AB,AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E,F,∴AE=BE,AF=CF,∴∠B=∠BAE,∠C=∠CAF,∴∠BAE+∠CAF=180°-n°,∴∠EAF=n°-180°+n°=(2n-180)°.故答案為100,(2n-180).②135[解析]∵AE⊥AF,∴∠EAF=90°,∴∠B+∠C+∠BAE+∠CAF=90°.∵AB,AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E,F,∴AE=BE,AF=CF,∴∠B=∠BAE,∠C=∠CAF,∴∠BAE+∠CAF=45°,∴∠BAC=45°+90°=135°.故答案為135.③a[解析]∵AB,AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E,F,∴AE=BE,AF=CF,∴△AEF的周長為AE+AF+EF=BE+CF+EF=BC=a.故答案為a.12.解:(1)方案(Ⅰ)不可行.理由:缺少證明三角形全等的條件.方案(Ⅱ)可行.證明:在△OPM和△OPN中,∵OM=ON,PM=PN,OP=OP,∴△OPM≌△OPN(S.S.S.),∴∠AOP=∠BOP(全等三角形的對應(yīng)角相等