中考數(shù)學(xué)專題專練-相似三角形的綜合計算

中考數(shù)學(xué)專題專練--相似三角形的綜合計算一、綜合題1．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點E在BC邊上，且CA＝CE，過A，C，E三點的⊙O交AB于另一點F，作直徑AD，連結(jié)DE并延長交AB于點G，連結(jié)CD，CF．（1）求證：四邊形DCFG是平行四邊形；（2）當(dāng)BE＝4，CD＝AB時，求⊙O的直徑長．2．如圖，M，N是以AB為直徑的⊙O上的點，且＝，弦MN交AB于點C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于點F.（1）求證：MF是⊙O的切線；（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的長.3．如圖，是的直徑，是的弦，交于點，連接，過點作，垂足為，.（1）求證：；（2）點在的延長線上，連接.①求證：與相切；②當(dāng)時，直接寫出的長.4．如圖，AB為⊙O的直徑，BF切⊙O于點B，AF交⊙O于點D，點C在DF上，BC交⊙O于點E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于點G，連接AE．（1）直接寫出AE與BC的位置關(guān)系；（2）求證：△BCG∽△ACE；（3）若∠F=60°，GF=1，求⊙O的半徑長．5．已知菱形的一個角與三角形的一個角重合，然后它的對角頂點在這個重合角的對邊上，這個菱形稱為這個三角形的親密菱形，如圖，在△CFE中，CF=6，CE=12，∠FCE=45°，以點C為圓心，以任意長為半徑作AD，再分別以點A和點D為圓心，大于AD長為半徑做弧，交于點B，AB∥CD.（1）求證：四邊形ACDB為△CFE的親密菱形；（2）求四邊形ACDB的面積.6．如圖，AB是⊙O的直徑，點D是上一點，且∠BDE=∠CBE，BD與AE交于點F．（1）求證：BC是⊙O的切線（2）若BD平分∠ABE，求證：DE2=DF?DB（3）在（2）的條件下，延長ED，BA交于點P，若PA=AO，DE=2，求PD的長和⊙O的半徑．7．如圖，AB是半圓O的直徑，點P是BA延長線上一點，PC是⊙O的切線，切點為C，過點B作BD⊥PC交PC的延長線于點D，連接BC．求證：（1）∠PBC=∠CBD；（2）BC2=AB?BD．8．已知：如圖，⊙O和⊙A相交于C、D，圓心A在⊙O上，過A的直線與CD、⊙A、⊙O分別交于F、E、B。求證：（1）△AFC∽△ACB（2）9．如圖，AC、BD交于點E，，且BD平分．（1）求證：∽．（2）若，，，求AB的長．10．如圖，在△ABC中，D是AB上一點，連接CD，且∠ACD=∠ABC．（1）求證：△ACD∽△ABC；（2）若AD=6，AB=10，求AC的長．11．已知：如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，點F在邊AB上，BC2＝BF?BA，CF與DE相交于點G．（1）求證：△BCF∽△DGF；（2）求證：DF?AB＝BC?DG；（3）當(dāng)點E為AC中點時，求證：2DF?EG＝AF?DG．12．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BAD=90°，點E在BC的延長線上，且∠DEC=∠BAC.（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AC∥DE，當(dāng)AB=8，CE=2時，求AC的長.13．如圖，點P是菱形ABCD的對角線BD上一點，連接CP并延長，交AD于E，交BA的延長線于F．（1）求證：∠DCP=∠DAP；（2）若AB=2，DP：PB=1：2，且PA⊥BF，求對角線BD的長．14．如圖，點P是菱形ABCD的對角線BD上一點，連結(jié)CP并延長，交AD于E，交BA的延長線點F．問：（1）求證：△APE∽△FPA．（2）線段PC、PE、PF之間存在什么關(guān)系？說明理由．15．如圖，AB是⊙O的直徑，OD垂直于弦AC于點E，且交⊙O于點D，F(xiàn)是BA延長線上一點，若∠CDB=∠BFD．（1）求證：FD是⊙O的一條切線；（2）若AB=10，AC=8，求DF的長．16．如圖，矩形，延長至點E，使，連接，，過點C作交的延長線于點F，連接．（1）求證：四邊形是菱形；（2）連接交于點G．當(dāng)，時，求的長．17．如圖，△ABC為銳角三角形，AD是BC邊上的高，正方形EFGH的一邊FG在BC上，頂點E，H分別在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求證：△AEH∽△ABC；（2）求這個正方形的邊長與周長．18．如圖，BD是圓O的直徑，A、C是圓O上的兩個點，且AB=AC，AD與BC的延長線交于點E．（1）證明：ABD∽AEB；（2）若AD=1，DE=3，求圓O的直徑的長．19．如圖，已知點D是的邊AC上的一點，連接，，.（1）求證：∽；（2）求線段CD的長.20．如圖，AB是⊙O的直徑，點E為線段OB上一點（不與O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于點C，作直徑CD，過點C的切線交DB的延長線于點P，作AF⊥PC于點F，連接CB．（1）求證：AC平分∠FAB；（2）求證：BC2=CE?CP；（3）當(dāng)AB=4且=時，求劣弧的長度．

答案解析部分1．【答案】（1）證明：連結(jié)AE，∵∠BAC=90°，∴CF為⊙O的直徑.∵AC=EC，∴CF⊥AE.∵AD為⊙O的直徑，∴∠AED=90°，即GD⊥AE，∴CF∥DG.∵AD為⊙O的直徑，∴∠ACD=90°，∴∠ACD+∠BAC=180°，∴AB∥CD，∴四邊形DCFG為平行四邊形。（2）解：由CD=AB，可設(shè)CD=3x，AB=8x，∴CD=FG=3x.∵∠AOF=∠COD，∴AF=CD=3x，∴BG=8x-3x-3x=2x.∵GE∥CF，∴又∵BE=4，∴AC=CE=6，∴BC=6+4=10，∴AB==8=8x，∴x=1.在Rt△ACF中，AF=3，AC=6，∴CF=，即⊙O的直徑長為2．【答案】（1）證明：連接OM，∵OM＝OB，∴∠OMB＝∠OBM，∵BM平分∠ABD，∴∠OBM＝∠MBF，∴∠OMB＝∠MBF，∴OM∥BF，∵MF⊥BD，∴OM⊥MF，即∠OMF＝90°，∴MF是⊙O的切線（2）解：如圖，連接，，是直徑，，，，，3．【答案】（1）證明：，即（2）解：①連接即是的半徑與相切②如圖，∵BC為直徑，EF⊥AB，∴∠BAC=∠BFE=90°，∴AC∥FE，∴，∵CE=4，∴BE=10，∴BC=14，∴OA=OC=7，∴，在Rt△AOE中，由勾股定理，得，∵，，∴△AEO∽△GEA，∴，即，∴，∴.4．【答案】（1）解：如圖1，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°．∴AE⊥BC（2）解：如圖1，∵BF與⊙O相切，∴∠ABF=90°．∴∠CBF=90°﹣∠ABE=∠BAE．∵∠BAF=2∠CBF．∴∠BAF=2∠BAE．∴∠BAE=∠CAE．∴∠CBF=∠CAE．∵CG⊥BF，AE⊥BC，∴∠CGB=∠AEC=90°．∵∠CBF=∠CAE，∠CGB=∠AEC，∴△BCG∽△ACE（3）解：連接BD，如圖2所示．∵∠DAE=∠DBE，∠DAE=∠CBF，∴∠DBE=∠CBF．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°．∴BD⊥AF．∵∠DBC=∠CBF，BD⊥AF，CG⊥BF，∴CD=CG．∵∠F=60°，GF=1，∠CGF=90°，∴tan∠F==CG=tan60°=∵CG=，∴CD=．∵∠AFB=60°，∠ABF=90°，∴∠BAF=30°．∵∠ADB=90°，∠BAF=30°，∴AB=2BD．∵∠BAE=∠CAE，∠AEB=∠AEC，∴∠ABE=∠ACE．∴AB=AC．設(shè)⊙O的半徑為r，則AC=AB=2r，BD=r．∵∠ADB=90°，∴AD=r．∴DC=AC﹣AD=2r﹣r=（2﹣）r=．∴r=2+3．∴⊙O的半徑長為2+3．5．【答案】（1）證明：由已知得：AC=CD，AB=DB，由已知尺規(guī)作圖痕跡得：BC是∠FCE的角平分線，∴∠ACB=∠DCB，又∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DCB，∴∠ACB=∠ABC，∴AC=AB，又∵AC=CD，AB=DB，∴AC=CD=DB=BA，四邊形ACDB是菱形，又∵∠ACD與△FCE中的∠FCE重合，它的對角∠ABD頂點在EF上，∴四邊形ACDB為△FEC的親密菱形.（2）解：設(shè)菱形ACDB的邊長為x，∵CF=6，CE=12，∴FA=6-x，又∵AB∥CE，∴△FAB∽△FCE，∴，即，解得：x=4，過點A作AH⊥CD于點H，在Rt△ACH中，∠ACH=45°，∴sin∠ACH=，∴AH=4×=2，∴四邊形ACDB的面積為：.6．【答案】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠EBA=90°，∵∠EDB=∠EAB，∠BDE=∠CBE，∴∠EAB=∠CBE，∴∠ABE+∠CBE=90°，∴CB⊥AB，∵AB是⊙O的直徑，∴BC是⊙O的切線；（2）證明：∵BD平分∠ABE，∴∠ABD=∠DBE，=，∴∠DEA=∠DBE，∵∠EDB=∠BDE，∴△DEF∽△DBE，∴=，∴DE2=DF?DB；（3）解：連接DA、DO，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∵∠EBD=∠OBD，∴∠EBD=∠ODB，∴OD∥BE，∴=，∵PA=AO，∴PA=AO=OB，∴=∴=，∴=，∵DE=2，∴PD=4，∵∠PDA+∠ADE=180°，∠ABE+∠ADE=180°，∴∠PDA=∠ABE，∵OD∥BE，∴∠AOD=∠ABE，∴∠PDA=∠AOD，∵∠P=∠P，∴△PDA∽△POD，∴=，設(shè)OA=x，∴PA=x，PO=2x，∴=，∴2x2=16，x=2，∴OA=2．7．【答案】（1）證明：連接OC，∵PC與圓O相切，∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，∵BD⊥PD，∴∠BDP=90°，∴∠OCP=∠PDB，∴OC∥BD，∴∠BCO=∠CBD，∵OB=OC，∴∠PBC=∠BCO，∴∠PBC=∠CBD；（2）證明：連接AC，∵AB為圓O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠CDB=90°，∵∠ABC=∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴則BC2=AB?BD．8．【答案】（1）證明：連接AD，∵AC=AD=AE，∴AC=AD，∴∠ACD=∠D，∵∠D=∠B，∴∠ACD=∠B，∵∠A=∠A，∴△AFC∽△ACB（2）解：由（1）知：△AFC∽△ACB，即即AC2=AF?AB．∵AE=AC，∴AE2=AF?AB．9．【答案】（1）證明：∵BC＝CD，∴∠DBC＝∠D，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠DBA，∴∠D＝∠DBA，又∵∠AEB＝∠CED，∴△AEB∽△CED；（2）解：∵△AEB∽△CED，∴，又∵BC＝CD＝12，EC＝6，AE＝4，∴，∴AB＝8．10．【答案】（1）證明：∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，∴△ACD∽△ABC（2）解：∵△ACD∽△ABC，∴=，∴AC2=AD×AB，∵AD=6，AB=10，∴AC=211．【答案】（1）解：∵DE∥BC，∴△BCF∽△DGF．（2）解：∵BC2＝BF?BA，∴BC：BF＝BA：BC，而∠ABC＝∠CBF，∴△BAC∽△BCF，由（1）知△BCF∽△DGF，∴△DGF∽△BAC，∴DF：BC＝DG：BA，∴DF?AB＝BC?DG．（3）解：作AH∥BC交CF的延長線于H，如圖：∵DE∥BC，∴AH∥DE，∵點E為AC的中點，∴AH＝2EG，∵AH∥DG，∴△AHF∽△DGF，∴，∴，即2DF?EG＝AF?DG．12．【答案】（1）解：如圖，連接BD，∵∠BAD=90°，∴點O必在BD上，即：BD是直徑，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，∵∠DEC=∠BAC,∴∠BAC+∠CDE=90°，∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE，∵點D在⊙O上，∴DE是⊙O的切線（2）解：∵DE∥AC，∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=8,AF=CF=AC，∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD,∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE，∴∴∴CD=4,在Rt△BCD中,BD==4同理：△CFD∽△BCD，∴∴∴∴AC=2AF=13．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴CD=AD，∠CDP=∠ADP，∴△CDP≌△ADP，∴∠DCP=∠DAP（2）解：∵四邊形ABCD為菱形，∴CD∥BA，CD=BA，∴∠CDP=∠FBP，∠BFP=∠DCP，∴△CPD∽△FPB，∴===，∴CD=BF，CP=PF，∴A為BF的中點，又∵PA⊥BF，∴PB=PF，由（1）可知，PA=CP，∴PA=PB，在Rt△PAB中，PB2=22+（PB）2，解得PB=，則PD=，∴BD=PB+PD=214．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴DA=DC，∠ADP=∠CDP，DC//AB，∴∠PFA=∠PCD，在△APD和△CPD中，，∴△APD≌△CPD（SAS）；∴∠PAE=∠PCD，∴∠PAE=∠PFA，又∵∠APE=∠APF，∴△APE∽△FPA；（2）解：線段PC、PE、PF之間的關(guān)系是：，理由如下：由（1）得△APE∽△FPA，△APD≌△CPD∴，PA=PC，∴，又∵PC=PA，∴．15．【答案】（1）證明：∵∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD，∴∠CAB=∠BFD，∴FD∥AC（同位角相等，兩直線平行），∵∠AEO=90°，∴∠FDO=90°，∴FD是⊙O的一條切線（2）解：∵AB=10，AC=8，DO⊥AC，∴AE=EC=4，AO=5，∴EO=3，∵AE∥FD，∴△AEO∽△FDO，∴=，∴=，解得：FD=16．【答案】（1）證明：∵，∴．在與中，，∴．∴．∴四邊形是平行四邊形．∵四邊形是矩形，∴．∴．∴四邊形是菱形．（2）解：∵在矩形中，∴，，∵，∴，∴在中，，∵在菱形中，∴，∴在中，，∵，，∴．∴．17．【答案】（1）解：∵四邊形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，∴△AEH∽△ABC（2）解：如圖，設(shè)AD與EH交于點