特殊三角形之直角三角形.學(xué)生版

特殊三角形之

直角三角形直角三角形的性質(zhì)與判定好殊直角三用形邊用關(guān)系11自用二角形的斜邊中線有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形， 這是初中階段研究的一個(gè)特殊三角形， 它的性質(zhì)和判定是常考內(nèi)容，也是解決初中幾何問題的常用手段.一、直角三角形.直角三角形的性質(zhì)：⑴兩銳角互余；⑵三邊滿足勾股定理；⑶斜邊上的中線等于斜邊的一半；⑷30角所對的直角邊等于斜邊的一半.另外，直角三角形中還有一個(gè)重要的結(jié)論： 兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積， 即abch..直角三角形的判定：⑴有一個(gè)角是直角；⑵兩銳角互余；⑶勾股定理的逆定理；⑷一條邊上的中線等于這條邊的一半.二、等腰直角三角形等腰直角三角形是集等腰三角形和直角三角形為一體的特殊圖形， 除具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)以外，它的底邊中線也同時(shí)具備了 三線合一”和斜邊中線”的共同特點(diǎn)，可謂集大成者”.另外，等腰直角三角形還可以看成是正方形的 半成品”，因此還原正方形”也是等腰直角三角形常用的輔助線做法之一.【引例】例題精講BECF3,AE、ABCD是正方形，BF相交于M???ABBC,求4,BM的長.ABC?,BECF3,??AABE^ABCF,BAECBF,BME90又由勾股定理可知AE5,在Rt^ABE中，BMAE,???ABBEAEBM,則這個(gè)三角形是B55,【例1】1.在4ABC【引例】例題精講BECF3,AE、ABCD是正方形，BF相交于M???ABBC,求4,BM的長.ABC?,BECF3,??AABE^ABCF,BAECBF,BME90又由勾股定理可知AE5,在Rt^ABE中，BMAE,???ABBEAEBM,則這個(gè)三角形是B55,【例1】1.在4ABC中，若A35, 三角形.典題精練*AEABBE一BM 1252.如圖，在^ABC中，ACB90CDCAB,若A28,ADB.如圖，已知圖中每個(gè)小正方形的邊長為 1,則點(diǎn)C到AB所在直線的距離等于.如圖，在四邊形ABCD中，/A=60°,/B=/D=90°,BC=2,CD=3,則AB= ..已知RtAABC中，/0=90°,AB邊上的中線長為2,且AC+BC=6,貝US^ABC=如圖，正方形ABCD的邊長為4,E、F分別在BC、CD上，且【例2【例2】若直角三角形的兩條直角邊長為a、b,斜邊為c,斜邊上的高為h,求證：⑴111,、 ,求證：⑴rr=；⑵abCa2b2h^題型二：特殊直角三角形的邊角關(guān)系特殊的直角三角形是指 30,60,90特殊的直角三角形是指 30,60,90和45,45,90的直角三角形，它們的三條邊之間有特殊的比例關(guān)系，分別是1:J3:2和1:1:J間有特殊的比例關(guān)系，分別是1:J3:2和1:1:J2,熟練運(yùn)用這種特殊的比例關(guān)系，能夠在解題過程中大幅提高解題的速度與正確率.【引例】例題精講■■已知，Rt^ABC中，C90,A30,AC1解法一：.C90,A30,??BC-AB,2設(shè)BCx,則AB2x,2 2 —那么xV62x,解得x近（舍負(fù)）BC22,AB2V2.娓,求BC、AB的長.解法二：=C90,解法二：=C90,A30,BC:AC:AB【例3】⑴在4ABC中，a、b、c分別是AB、C的對邊，且A:B:C1:2:3,則a與c的關(guān)系是.

⑵如圖，把兩塊相同的含30角的三角尺如圖放置,若AD6j6cm,則三角尺的最長邊長為⑶如圖，以等腰直角三角形AOB的斜邊為直角邊向外作第2個(gè)等腰直角三角形ABA,再以等腰直角三角形ABA的斜邊為直角邊向外作第3個(gè)等腰直角三角形AB0,…，如此作下去，若OAOB1,則第8個(gè)等腰直角三角形的面積是.【例4】如圖，點(diǎn)D、E是等邊△ABC的BC、AC上的點(diǎn)，且CD=AE,AD、BE相交于P點(diǎn)，BQ±ADo已知PE=1,PQ=3,求AD的長.直角三角形的斜邊中線是直角三角形中最重要的線之一，它既體現(xiàn)了特殊位置（中點(diǎn)） ，又體現(xiàn)了特殊數(shù)量關(guān)系（一半），可謂?舉兩得除此之外更重要的是，一條斜邊中線還可以把直角三角形分成兩個(gè)等腰三角形， 這種由特殊圖形到特殊圖形的變化是解決三角形問題的常用手段.【弓I例】請證明下列命題:.直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半;.如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.【解析】1.如圖，Rt^ABC中，ACB90,D是AB的中點(diǎn),

過B點(diǎn)作BC的垂線交CD延長線于E,ACB90,EBC90,

ACIIBE,BACABE,.ADBD,??AACD^ABED,ACBE,CDDE???ACBE,ACBEBC,CBBCAABC^AECB, ABCE,AB2CD.12.如圖，CD是△ABC的中線，且CD—AB,2.CDADBD,AACD,BBCD,???AACD BCDB180,ACDBCD90,即ACB90AABC是直角三角形.BE、典題精練【例5】如圖，在AABC中,BC的中點(diǎn)，DMCF分別為邊求證:AC、AB上的高，D為FMEM.1 2BC1 2BC,若BCAC-AB4ADBC,E為BC邊的【例6】如圖，在4ABC中，若B2C,中點(diǎn).求證：AB2DE.1版峰突破卜！【例7】在Rt^ABC中，ACB90,ACB CB C思維拓展訓(xùn)練（選講）訓(xùn)練1.已知△ABC是等腰直角三角形,分別在AB>AC上，且MEMF，試判斷4MEF的形狀.A90,M是BC中點(diǎn)，E、FEF為線段ABEF為線段AB的垂直平分線，求證:D90,AB20m,CD10m,訓(xùn)練2.如圖，Rt^ABC中,BAC90,AB4,AC3,AHBC于H,訓(xùn)練2.如圖，Rt^ABC中,的對稱點(diǎn)D,連接CD,AM//CD交BC于M,則BM的長等于訓(xùn)練3.如圖，在4ABC中，ABAC,BAC120,FC2BF.訓(xùn)練4.一塊四邊形的草地ABCD,其中A60,B求這塊草地的面積.

題型一 直角三角形的性質(zhì)及判定 鞏固練習(xí)【練習(xí)1】如圖，已知4ABC中，ABC90,ABBC,三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線 11、I2、13上，且11、12之間的距離為2,I、I之間的距離為3,則AC的長是（）A.2炳 B.2V5 C.472 D.7【練習(xí)2】有一個(gè)人在一個(gè)斜坡上向上走了 10米，他所在的位置的高度就相應(yīng)的上升5米，那么這個(gè)斜坡的傾斜角為題型二 特殊直角三角形的邊角關(guān)系 鞏固練習(xí)【練習(xí)3】在△ABC中，C90,B15,DE垂直平分AB,垂足為點(diǎn)E,交BC邊于點(diǎn)D,BD16,則AC的長為.題型三直角三角形的斜邊中線鞏固練習(xí)【練習(xí)4】直角三角形斜邊上的高線與中線的長分別是 5和6,則它的面積是【練習(xí)5]⑴已知：如圖1,Rt^ABC中，ACB90