數(shù)字信號處理-奧本海姆第九章

第九章散傅立葉變換的計NXkxnej2NknN

k0,1,,N即，程序的輸入是序列xn，而輸出是DFTXk。證明如何將輸入和/或輸出序列重新IDFT：xn

Nk

k0,1,,N即，程序的輸入應當是Xk或與Xk有簡單聯(lián)系的一個序列，而輸出應當是xn或與1FFTNgnXkej2NknNk然后計xn

1gNnN

1N1Xkej2NkNnNk

N1Xkej2Nkn就可NkIDFT。2FFT程序計算NgnXkej2NknNk 1N

1Nxn

gn

X*kej2Nkn

Xkej2Nkn就可N

Nk

NkN9.2節(jié)中我們利用WN

1來推導出有限長序列Xnn0,1,N1計算個指定DFTXk的遞推算法N利用WN

W

1,XNkP9.2-1NN代后輸出而求得.也就是說,NXNkykNXNkP9.2-2N次迭代后的輸出.注意,P9.2-P9.2的系統(tǒng)有相同的極點,P9.2-2NP9.2中對應系統(tǒng)的復共軛,即WN

N解:(a)假定xrN

0rN故

rxrWkNkyk0Nk

rNkNky2x2Wkx1W2k yNxNWkxN1WkN 因為xN0,所N NyNWkN1xlWklxl l

lN1WNklxlXNkNl(b)P9.2-2H

1Wkz 212

kz1zN1Wkz k1 k11WN 1WN9.2H

1Wkz 212

kz1zN1Wkz k1 k11WN 1WNP9.2-29.2具有相同的極點,9.2NN共軛.即WkWkNNP9.3N8FFTx[7X[2P9.3x[7X[2的路徑有多少條？在一般情況下這一結(jié)論是否DFTX[2]P9.3DFTN

X[2] （a）j jW2W2 8e x[7X[21條。在一般情況下，每個輸入樣1條。分別是：W0，W2，W2N X[2]x[0]W0x[7]W2N N

N

j22nx[nA[rnrnBN1BN2B1B0nB0B1BN2BN1Bi（i=0、1、…、N-1）為二進制碼元（0x[kD[k

nN＝8x[nNx[n]2N同時考慮到W2jP9.4b-1B[和C[值?？傻米罱K簡化后的計算流圖，如9.4b-2所示。NC[1]=2A[0]-C[1]=2A[0]---C[3]=2---C[5]=2A[1]-----

-

-

44

-NN

1212

kE[r2]-

9.4c

原流 逆流 E[r1]D[r1]D[r2]/E[rE[r E[rD[rD[r]2 且標出任何傳輸比等于－1DFT序列的適當值分別標出輸入和解：執(zhí)行流圖運算所需要的實乘法次數(shù)為484128實加法次數(shù)為2164284192次WWW WWWW WWWWW

WWW WWWW WWWW W

WWWWW WW WW

WWWWWWWW W

X3XXX7XX X XXW WWW

WWW W

WWW WW W

W WWW W W

XX X9.4.2節(jié)中曾斷言,FFTFFT算法的流圖.本習題的目2FFT算法推導出這儀結(jié)論.2FFTP9.6-1中.這個流圖表示如下方程NXmpXm1pXm1NXmq

p

從這些方程入手,證明利用圖P9.6-2所示的蝶形圖可由Xmp和Xmq計算Xm1p和Xm19.20的按頻率抽取算法中Xvrr0,1,N1DFTXk,而第零X0rxrr0,1,,N1為正常位序排列的輸入序列.如果圖9.20P9.6-2形式的適當?shù)蝸硖娲?DFTXk(倒位序)來計算序列xn(正常位序)的流圖.畫出當N=8時所得結(jié)果的流圖.(c)在(b)IDFT算法,即,計算下式的算法:xn

n0,1,,N1NNkNXkXk N

k0,1,,N1

可以看出,(c)9.20按頻率抽取算法的轉(zhuǎn)置,9.10所示的按時間抽取算法.是否可得出結(jié)論,對于每一種按時間抽取算法(9.14~9.16),必有一解(a)P9.6-2可寫出XX

p121

p1 1

NmNmXm1q

Xmp

Xm將上式帶入題給方程組可得XmpXm1pXm11

p1XqWr1

p1XqWr

N

NXmXmq

p

N1N

p1XqWr1

p1XqWr Xm

N

因此可用圖P9.6-2所示的蝶形圖可由Xmp和Xmq計算出Xm1p和Xm1q.1 2

。

。 1WX4 2

2

1W

1

。

2

X

1W

1W

2

1W

1 1X

。2 。2

1W

1

1W

2

X

1W

1 1W

。

。

。2 1W 1

1W

1 1WX7

1

N 1

1(c)X(c)XkN

n 1

NNN

n Nxn的IDFT可將(b)中圖的輸Xk相應變?yōu)閤nkn再對整個圖作共軛,最后再乘

。

。 X

。

W0

XNN

。W0 N。N。

X

W2WN0N 。WN0W。1。。W。1。。N1WN2N 。W0WN2N。3。3WNN。W2WNN

W0NN。N。。W0N。。1NW0N

XXXXX將(c)9.10相同的圖在許多的應用中（如計算頻率響應或者內(nèi)插,1971M2DFTN2v(2按頻率抽取算法進行修剪。N162FFT算法的完整流圖，合理地標出全部分M2，即，僅當n0和n1x[n0N16DFT的，也就是在（b）P9.7所示的半蝶形來代替，而在最M2DFTN2v(FFTMNDFT和v來9.26Xm1[WNXm[WNXm（a）N=16M2DFTN2v(的一般情況，可以使用修剪的碟形的級數(shù)比總的級數(shù)少一級，就是(v1級。M點序列的NDFT所需要復數(shù)乘22i22v

9.26的程序使之包括修剪算法（暫略n

n

Nnx[rx[rNN/F[0] x[2n1]n

N/x[2n1]n

N/x[2n1H[0]nF[k]

N/xx[2n1]x[2n1]。N/nx[rN]

F[k] nk

QWN/n

F[k]H[k]H[k]W H[kH[k]W2kH[k]WkWkWkN/ NH[k]WkN

。WkW I[k]

I[k]X[k]G[k]WkW

G[k]

G[k]

N kN

kN Nk=0sin2k0N N （c（d）杜哈梅爾和霍爾曼（DuhamelandHollman，1984）以及杜哈梅爾（Duhamel,1986）曾提NxnDFTXkSRFFT算法的原理。證明Xk的偶序號項可表示成對于k

21

2X2k

N xnxn

N證明DFTXk的奇序號項可表示成對于kN

41

4X4k1

N xnxn

2jxn

4xn

N

162N較。在這兩種情況下均假設與W0N（a） N NN

NN

xnxn n

x N2WNN

4k1n

4 4xnN

xnn N xnNN xnN

2WN WWWWWW WSRFFT12482算法需要41641282 FFT算法時,利用規(guī)范形式或耦合形式的振蕩器遞推的產(chǎn)生WN的冪往往時很有用的.N2v2按時間抽取算法.9.10N=8時的這種算法,9.25NFORTRAN程序為了有效的產(chǎn)生這些系數(shù),應當逐級的改變振蕩器的頻率.0vlog2N,因此有初始輸入序列的數(shù)列是第零列,DFTv列.時我們假定數(shù)列中的數(shù)據(jù)在編號從0到N-1依次排列的復數(shù)寄存器中.下面的所有問題都是關于從第(m-1)m號數(shù)列,其中1mv.m表示.m級中應當計算多少個蝶形?m級中需要多少個不同的系數(shù)產(chǎn)生系數(shù)所用的振蕩器的頻率是什么?即在重復計算之前可以迭代多少次假設使用耦合形式振蕩器來產(chǎn)生WN的各次冪,在振蕩器的差分方程中的系數(shù)是什m級中一個蝶形的兩個復輸入點的數(shù)列位置間相隔多少使用相同系數(shù)的各蝶形之第一個數(shù)列位置的地址之間相隔多少解:

sin2

2m 2m N

9.25FORTRAN9.10FFTv（a）K19~3007~18實現(xiàn)倒位序DFTXjYAjBCjDAC

XABDCYABDC351

XjYABDCDAjABDC ACBDjBCAjBCXABDCYABDC351在計算DFT中,有必要使一個復數(shù)與另一個復值為1的復數(shù)相乘,即XjYej.顯然,ej的乘法稱為旋轉(zhuǎn).DFTFFT算法中可能需要許多不同的幅角值.但是我們可能并不希望將sin和cos所需要的值都作一個數(shù)表,而用冪級數(shù)計算這些函數(shù)都進制移位和由一個小表來查表相結(jié)合的方法來高效的計算乘積XjYej.定義

arctan2i.證明任何幅角02M ii?其中i1,且誤差的界限arctan2M可以事先將幅角算出并在一個長度為M的小數(shù)表中.找出一種算法用以得到序列ii0,1,M1,使得i1.M=11時,用你的算法計算表示幅角100的序列 X0Y0

2i1

i1,2,,

X

2i1

i1,2,,

XM

XjY

eM其中? ii,GM是實正數(shù)且與無關.這就是說,原始的復數(shù)以幅角?在復面中旋轉(zhuǎn),且幅值由常數(shù)GM確定FFTP9.15-1NWrrNN因為復數(shù)乘法器的系數(shù)Wr＝ej9.14CORDICNCORDIC旋轉(zhuǎn)子算法可以獲得要求的幅角變換，但是引入了一個依賴于幅角CORDICNWrP9.15-1P9.15-2GNP9.15-2FFT算法，當N8P9.15-3FFT算法的輸出卻不是所要求的FFT算法地輸出是Y[k]W[k]X[kX[k是輸入序列的DFT,而W[k]是GN和k的函數(shù)。希望序列W[k]服從一種特別簡單的規(guī)則。請找出該規(guī)則并它 x[nx[nx[nFFT算法的輸入，輸x[nDFTX[k]。Xm1[ Xm[X

WXmWXm1[ Xm[X

GW

NXmN（a）證明：由圖P9.15-3可以看出，該圖與82按頻率抽取FFT算法的完整流圖相比，唯一的區(qū)別是在有旋轉(zhuǎn)因子的地方，圖P9.15-3多一個增益因子G，將G等效倒輸出端Y[0]x[0],Y[1]Y[2]Gx[2],Y[3]G2XY[4]Gx[4],Y[5]G2XY[6]G2x[6],Y[7]G3X Y[k]w[k]XGGw[k]

kk k

k“1”的個數(shù)，即i

f(k，fw[k]GiGfx[nDFTX[k]。x?[nx[n]h[n]H[kh[nNDFT 要使Y[kW[k]X[k]H[kX H[k]

W[k]

W[k]

（N點循環(huán)卷積（a）AN24，BN1 1CN((N 4，D 1

9其中0n1N110k1N110n2N210k2N21。X[((4k9k))]

3

x[((4n3n

]WknWkn

2

n20n1

2

31 422 0120 0120123 0120123 x[11]

X[11]9.32N2vFFTN3v3DFT3×39FFTN3v3NDFTWNN3v3按時間抽取算法能否使用同址運算？（a）9FFT算法的計算公式為：9 r

W3rk9r9 9 rxrW3rkWk r

r GkWk DFT3×39FFTN）N3v3NDFT需要與W的冪相乘的復數(shù)乘法的次數(shù)為43v123v1103v1NN3v3按時間抽取算法可W9W9W3W3W9W3G0W3W9W9W9W9W9W3W3W92W9W3G2W9W9WG29W3WW93WGW932

X

X

X

X X

X X

XWW43

XWW9本習題涉及有限長序列z變換樣本的有效計算問題.利用線性調(diào)頻變換算法,0.5,起始角為和終止角為225Xz值的步驟 100個樣本解:因為xn為已知時間序列,z變換的形式為Xzxnz由題意可知xn序列長度N=100,計算的樣本數(shù)M=25,相鄰樣本點的間

251

j 設A0.5e6WerzAWr

0.5ej6erNrX

xnznNxnAnWrnN

n

j j(當N為偶數(shù)時，N點序列

NDFTjj()kX[k]＝Ne4 j(求2N點序列 的2N點DFT（N為偶數(shù)j(解：因為已知當N為偶數(shù)時，N點序列 的N點DFTjj()k

j()n2

X[k]＝Ne4 ，0n2Nj()(nN

j()(n22NnN2 Nej(N)j()(nN

j( y[n]

0nN＝x[nN

Nn2N y[n2NDFTN 2NDFT{y[n]}x[n]Wnkx[nN]WN

N

2 2nx[n]Wnkx[n]W(nN

2 21Wnk1x[n]W2 21x[n]W

2 j22X(e2j2

2X(2

j22X(e2j2

)( jj(k)(Ne4 N

N

j

N

j

(n2k2)(nk)2（a）X[k] N x[n]eN h[nej(N)n2

jn2jk2j

nk2 j

k2N1

jn2jnk2X[k]n0

NeNe

e

n0

Ne

)2

jn2

即

h[k](1)N1x[n]h*[nh[kn](1)NX[k]（c）k=N，N+1，…，2N－1在式（9.20-1）h[r]滿足條件0r2N1h[kh[k]2N1

N

N j（d）?(z)ejk

zkejNkk0

zkejN(kN)z(kNkN

N

N jej

zkzNejN(k2kNN)zk1(1)NzNejN

zkk

k

kMN M

1

j(2rMN

2MMz

M j其中 e

zkejN(rlM)z(rlM) ejNr

zrk（e（f）

l0

1

j(2rMN

z1

算法中，將Xk當作ykN來計算，XkykN式中ykN是圖P9.21所示網(wǎng)絡的輸出，考慮用舍入的定點運算來實 B位再加上一個符號位，并且假設在加法之前將乘積舍入。還假定舍xn為實數(shù)，畫出有限精度計算Xk實部和虛部的線性噪聲模型的流圖，假設與1相乘不產(chǎn)生舍入噪聲。計算Xk實部和虛部二者舍入噪聲的方差2cos2k NzykWNzP9.21

1WkzHz 12cos2kz1zN N N hnWNN XkykNxrhNNrxn為實NeXkeykNxrehNNrN N NImXkImykNxrImhNNrN N 1cos2kzNH1zN

12

kz1zsin2kzNH2zN

12

kz1z畫出有限精度計算Xk實部和虛部的線性噪聲模型的流圖如下2cos2Nzey2kzNN zyk2zN（b）由上圖（a）可看出Xk實數(shù)部分舍入噪聲的方差e e

Ne式 e1

e1e

1N2NN2N

n0 1N1

j4

j4nk4n0 4n0

NNkkN 2

式中0kN1222b

NNNN

12

由上圖（b）可看出Xk虛數(shù)部分舍入噪聲的方差e e

Ne式 e1

e1e

1

4nk

N2 N2

n0

N NNNkkN 2

式中0kN1222b

NNNN

12

DFT直接計算法.B位再加上一個符號位(即總長位B+1位).并假設由任何實數(shù)乘法引入的舍入噪聲和由任何其他的實數(shù)乘法所引入的舍入噪聲不相關.xn為實數(shù),求每個DFT值Xk的實部和虛部二者中舍入噪聲的方差NN NN 量化后,QxnWknxncos2kn

n,kjxnsin2kn

n,kNN NN

在定點舍入中,誤差n,k和n,k是 量,它在12B和12B區(qū)間 2 2 是均勻分布的彼此獨立和輸入無關k0時不產(chǎn)生誤差k0時NnxnWkn中共有N項,但n0時,W 1,因此不會產(chǎn)生誤差,故只有N-N項誤差

N其實數(shù)部分的誤差1n,k的方差 122 其虛數(shù)部分的誤差2nk的方差2n=0或k=0時,

122因此1

2

1n,k2n,k0.Xk實數(shù)部分誤差的方差

k

1

kXk虛數(shù)部分誤差的方差

k

1

kFFTXm[p]

[p]Wr

NXm[q]N

[p]Wr

N1。NX

p]12

[q]2Re{Xm[p]}和Re{Xm[q]}

Im{Xm[q]}Re{和

[p]}12

[p]}2Re{

[q]}12

[q]}2NFFT算法中不出現(xiàn)溢出，這些條件充分嗎？清說明原因。（a）FFT算法中，有如下的方程組：NXm

[p]

NN

[p]Wr

Xm

[q]

[p]Wr

p]12

[q]12

[p]

[p]Wr

[q]

[p]W

NNNWr1NNNXm

[p]

[p]Wr

[q]

[p]W

NNXm1[p]Xm1[q]1NN同樣可得：Xm[q]1和

Re{Xm[p]}Re{Xm[q]}

Im{Xm[q]}Re{和

[p]}12

[p]}2Re{

[q]}1N2N

[q]}N2N

[p]}Re{Wr

[p]}Re{

m[p]}Re{

[p]}Re{Wr

[Re{

[p]}11

（Xm1p1/2Xm1p1/2）以上推出：Re{Xmp]}1。Re{Xm[q]}1ImXmp]}1ImXm[q]}1。0FFT9.20的按頻12的比例因子時，得出輸出噪聲方差和噪聲-N解：把因子Wr和輸出的衰減12結(jié)合在一起，它產(chǎn)生的誤差信號mNEm,q2122b23NN

EXk2EFk243kEFk2kEX

24NN 已經(jīng)量化,FFT算法中的乘法和加法不產(chǎn)生誤差.NNN

vWriWnk i1

iNNiNNN假定系數(shù)WrB位再加上一個符號位(B+1位),N虛部互不相關且均勻分布.證明量的方差是誤差Fk可以表示

226

Wkn

k0,1,,NN證明因子 Wkn可以表示N Wkn

Wri

NjN

若忽略高階項并假設量i間互不相關,證明Fk的方差22v22BN16 6

利用帕斯瓦爾定理,DFT 2v6 611Xk2

22 N Nv解(a)2

個蝶形,9.9示.如從某個xn計算Xk,要經(jīng)過v個蝶形.一般說來,每經(jīng)過一個蝶形要乘一vWri這里r是n,I=1,……,v.總乘積WriWnk,v xnWnk是Xk中的一項,現(xiàn)在經(jīng)過量化每支路的乘子由Wri變?yōu)閃ri, 下圖所示.這里的i相當于書中mq再除以Xmk.因此經(jīng)過v個蝶形到輸v riv

?端Xk時,X

i是X

的一部分,NNv riv Xm

NiWri Ni

XmNWri在一般情況下是復數(shù),量化時實數(shù)部分和虛數(shù)部分都要量化,Ni1in,kj2in,kN由于Wri的實數(shù)部分和虛數(shù)部分的絕對值都小于1,因此N 12B之間變化, 2

E1in,kEn,k

122故2E2E2n,k2n,k1

利用上邊的結(jié)果,vv

nk

vvvvvv

j

i N因為是2B1數(shù)量級,所以的高階項可以不計. N

WnkFk21

Wnk1x

Wnk

Nxn2N

Wnk

n0

WnkEWrjWrj

Nj j

j因為xn已知,利用上式證明EFk0F2EFk2F

Wnk2

N2xn2EN

Wnk2

vxnnk4次實乘法,而在計算nk的誤差時只有實數(shù)項和虛數(shù)項兩個誤差,2.為了書寫簡便,我們令vWrjai j則

E

Wnk2Eai

ajN N

nki jjj

E

2ankiaEai

22ai

1,

i E Wnk2vE2v F2N1x2n2v22B FN(e)由xn2N

1N1Xk2可得Nk 1N1Xk2Nk

2v6

2N2vDFTFFTk

＋

，k0,..255（假設有限長序列xnNDFTXk,并且還假設該序列滿足對稱條NxnxnN式中N為偶數(shù)xn為復數(shù)

2

0nN

0,2,N2Xk0

2DFTDFTXk1,3,N1（a）

2NN

NXkXkX2r N

NNnN NNxnW2rn

NxnNxn

2W2rnNNNNN

NNNxnW2rnNNN

xn

NxnxnN

2

0nNNN

0n

2NNN

N xnxn

NxnxnWN（b）k

N

2r

N21 2r

N

2rXk

2r1

xn

xnWN

xnWNnN2N21 2r1nN21

2r1nNxn

x

N2N21 2r1nN21

2r1n

Nr Nxn

x

N2

WNN21 2r1nN21

2rxnN

x

N2NxnxnNN21 2r

xnWN2用時間混疊構(gòu)成序列yn,xnxnN

0nNyn

2 2 XkXkYkk0,2,N2證明上述算法可以得出所要求的結(jié)果假設我們用下式由序列xn構(gòu)造一個有限長序列 r

xnrM0

0nM1確定MDFTYk與xn的傅立葉變換Xej之間的關系.證明(a)的結(jié)果推導一種累死于(a)的算法,N/2DFT(N為偶數(shù))解(a)證明DFT的定義可得XkXkNN2

N

n2nN2N

N

nWn

xNmWk2m22

2N2

N2xnWn2

N mW

W

N N

k j2k當k為偶數(shù)時WN2 2N N22

nWn

xN N

N

2xnxN n02N2

k

N2NYk命題得證(b)X(b)XkNNr

2Nr

N=xnWnkxnWnk

nN

rnr=N

N

N

r rrxnWnkrr

xN

m

xr1N

mrN mW mW NN n0 N j2N j2

n0 WN N WNk

NN則WN

N

r

此時Xkxnn0rNr

n0rrNr

rMk

rn0r rkr YkXrkXej

2所以(a)得結(jié)果只是(b)r=2得一種特殊情況.2N

N

Xk

nWn

xNmWk2mN

N

N22xnWn22

xNmWk

WNk

當k為奇數(shù)時WNN

e

Xk2xnxN n0N

2xnxN

n0 xnxN

0nN1yn ynN點DFT即為奇序號DFT值Xk 假設有個DFT程序可以用來計算復序列的DFT如果我們想要計算一個實序列的DFTDFT的對稱性來減x[n是長度為N的實序列，而x[nNDFTX[k]表示，它的實部和XR[k]XI[k]證明若x[n是實數(shù)，則當k0,1,2...，N1時，XR[k]＝XR[NkXI[k]＝XI[Nk]考慮兩個實序列x1[nx2[n]，它的DFTX1[kX2[k]。令g[n]是g[n]＝x1[n]＋jx2[nDFT為G[kGR[kjGI[k]。如象式（8.96）定義的那樣，令GOR[k、GER[k]、GOI[k]和GEI[k分別表示G[k]的實部的奇部和偶部和G[k1kN

[k]＝1

[k]

[N

[k]＝1

[NG[k]＝1{G[k]G[Nk G[k]＝1{G[k]G[Nk GER[k]、GOI[k]和GEI[kX1[kX2[k]N2v2FFTDFT。在以下幾種情況下求出X1[kX2[k]所需要的實數(shù)乘法和實數(shù)加法的次數(shù)（使用該程序兩次（同時將輸入序列的虛部設為零）分別計算兩個復N點序列的DFTX1[k2[k]（ii）Nx[n]N2x1[nx2[nn=0,1,2,(N/2)－1N/2DFTX1[kX2[k]X[k（bx[nDFT的方法。求用這個方法所需要的實數(shù)乘法和實數(shù)加法的次數(shù)。NFFTX[k證明：

x[n是長度為N的實序列，而x[n的N點DFTX[k]表示，且DFTDFT{xep[n]}Re{X[k]}XRDFT{xop[n]}jXI

[n]1{x[n]x[((n)) [n]1{x[n]x[((n)) DFT

[n]}1{X[k]X[Nk]}2

R[k]

[n]}1{X[k]X[Nk]}

[k X

[Nk]1{X[Nk]X[k]}2

R[k]jXI

[Nk]1{X[Nk]X[k]}

[kXI[k]＝XI[Nk]（b）G[kX1[k{X1R[k]X2I[k]}j{X1I[k]X2R{GER[k]GOR[k]}j{GEI[k]GOI[kN又DFT{g[nG*[((k))]NGR[Nk]jGI[Nk]{GER[k]GOR{X1R[k]X2I[k]}

j{GEI[k]GOI[k]}j{X1I[k]X2R[kX1R[k]X2I[k]GER[k]XX

[k]X2I[k]

[k]GORXX

[k]X2R[k]

[k]GEIX1I[k]X2R[k]GOI[k]GEI X1[k]X1R[k]jX1IGER[k]jGOIX2[k]X2R[k]jX2IGEI[k]N2v時，F(xiàn)FTNv/2Nv4次實數(shù)乘法和3[4N(v1)4v]

次實數(shù)乘法；需2Nv3N(v12N(5NvN)當輸入是N(2Nv8N（d）x[n]x

其中 是由乘法因子 引入的；需(5NvN6N)5N(v1) X(ej)X(ej2)ej2X(ej2 X[k]Wk

0kN NX[k]NX[k

2]Wk

[kN

22NkN2

（X1[k]22 22X2[k]N/2（e）x[nN/2x1[n]x[nN/2x2[n]g[nx1[njx2[n；那么由（b）X1[k]GER[k]jGOI[k]X2[k]GEI[k]jGOR[k]考慮各個步驟需要的乘法和加法，那么此算法一共需要：2Nv8N4N2N(v6次實數(shù)乘法；需要5N(v1)4NN(5v9)次實數(shù)加法。NFFTX[k所需要的次數(shù)，由（c）中的結(jié)果：4Nv次實數(shù)乘法。N(5v1X[kX(ej

2k

(ej)

2

(ej)

j2

，jB(（A(B(為實函數(shù)，3j2N

j2N

k

Y1[k]

N2A1N

k)

N2jB3N

k)

k)jB3(

X1[kX3[k]X[k1kA2k)ReY[k]X[kj1kB2k)jImY[k] 1 3

Y[k]

[k]

[K X1[kX2[kX3[kX4[kx3[nx3[Nnx[((nNx[((NnNx[((nNx3[((n1))Nx3[((n1))Nu3[n]n0時，上式化為u3[Nu3[0]，注意到u3[Nu3[0]，故只有u3[00由u3[nx3[((n1))Nx3[((n1))NU[kWkX[kWkX[kWkWkX[k] y1[nx1[nu3[nx1[nx1[Nn]u3[nu3[Nn，

U3[k

1。1

WkW

WkW（b

[k]

2。2

WkW

WkW

當n在區(qū)間0nL1之外時；當n在區(qū)間0nP1之外時序列yn的長度是多少當直接計算卷積和時，計算yn

kNN1Nk NDFTynLPDFTLP

2FFTDFT。利用這個公NFFT方法比直接計算卷積和需要較少的實數(shù)乘（a）當直接計算卷積和時ynxnhnxmhn則計算一個yn非零樣本需要的實數(shù)乘法次數(shù)為mynLmFFT計算yn的步驟如下（3）計算YkXkHk（4）ynIDFTYk，NDFT和 （1（2（4）

N次相乘，還有步驟N 3NlogNNN13v2 2 NmdLPFFT 8.9.3節(jié)中我們曾表明,線性實不變?yōu)V波可以用以下步驟來實現(xiàn):先把輸入信號分成有限長的信號段,然后用DFT來實現(xiàn)這些信號段的循環(huán)卷積.曾討論過的兩種方法稱為重疊相加法和保留法.如果用一個FFT算法來計算DFT,則這些分段的方法計算每個假設復輸入序列xn是有限長的且復沖激響應hn有7個樣本因此只有0nP1時hn0.還假設 保留法利用由基2FFT算法實現(xiàn)的長L2vDFT來計算輸出.式,且該式為vP的函數(shù)假設沖激響應的長度為P=500.利用(a)得出的公式并使用保留法,繪出每個輸出樣本的乘法次數(shù)作為v之函數(shù)的曲線v20.v為何值時乘法次數(shù)最少?比較用FFT的保留法計算每個輸出樣本所需的復數(shù)乘法次數(shù)與直接計算卷積何所需要的每個輸出樣本的復數(shù)乘法次數(shù).證明,當FFT很長時,計算每個輸出樣本的復數(shù)乘法次數(shù)大約為v.因此,FFT長度,保留法就沒有直接法來得效率高.若P=500,則v為何值時直接法將更FFT的長度是沖激響應長度的兩倍(L=2P),Lzv.利用(a)的公式,P的最小值,使得用FFT的保留法所需用的復乘法次數(shù)比直接卷積法來得少. y[n]aky[nk]＋bkx[nkk kFFTN2vDFTFFTj(2HHz

512 y[n]aky[nk]＋bkx[nkk kx[n][nh[n]LTIh[n0,(n0)h[n512h[n512j2 DFT{h?[n]}H(e5129.37一個長度為N的序列xn的離散哈特利（Hartley）變換（DHT）定NXHkxnHNnkNHNaCNaSN

k0,1,,N1，(P9.37- CNa

N

SNasin

N1942年提出該方法是針對連續(xù)時間的情況，但是哈特利變換也具有對離散時間情況十分有用和引人注目的特性（Bracewell,1983,1984。具體講，由式（P9.37-1）DHT也是一個實序列。DHT也具有卷積性質(zhì)，DFT完全相似，DHT也具有在使用中必須考慮的隱含周期性。這就是說，如果認為xn式一個有限長序列，使得當n0和nN1時xn0，則可以構(gòu)成一個

xn

r

示，DHSDHT。(a)DHS的分析方程式定義為XN~k1xXN

nk

DHSN~~N

對所有XH XHHNnk也是正交的，NH

mkN

mN

利用這一性質(zhì)和式（P9.37-2）DHSDHSxn

XN

kHN

3xn

N1HNH

n0,1,,N

用式（P9.37-1）和式（P9.37-4）DHT分析關系式和綜合關系式的定義，我們(c)HNaHNaNHNaHNabHNaCNbHNaSN。HNbCNaHNbSN考慮一個循環(huán)移位序列x1n，它定義

n0,1,,N1 0x1n 0

換句話說，x1n是從移位周期序列~xnn0中抽取一個周期而得到的序列（c）DHS系數(shù)是

~