導(dǎo)數(shù)常用的一些技巧和結(jié)論

導(dǎo)數(shù)常用的一些技巧和結(jié)論（2017年全國(guó)新課標(biāo) 1·理·21）已知 f x ae2x a 2ex x.1）討論fx的單調(diào)性；2）若fx有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.解析：（1）f'x 2ae2x a 2ex 1 2ex 1 aex 1若a 0，則f'x 0恒成立，所以 f x在R上遞減；若a0，令f'x0，得ex1,xln1.aa當(dāng)xln1時(shí)，f'x0，所以fxa當(dāng)xln1時(shí)，f'x0，所以fxa

在,ln1上遞減；a在 ln1, 上遞增.a綜上，當(dāng)a0時(shí)，fx在R上遞減；當(dāng)a0時(shí)，fx在,ln1上遞減，在aln1,上遞增.a（2）fx有兩個(gè)零點(diǎn)，必須滿足fxmin0，即a0，且fxminfln111ln10.aaa構(gòu)造函數(shù)gx1xlnx，x0.易得g'x110，所以gx1xlnx單x調(diào)遞減.又因?yàn)間10，所以11ln10g1g1110a1.aaaa下面只要證明當(dāng) 0 a 1時(shí)， f x有兩個(gè)零點(diǎn)即可，為此我們先證明當(dāng) x 0時(shí)，xlnx.事實(shí)上，構(gòu)造函數(shù)hxxlnx，易得h'x11，∴hxminh11，所以xhx0，即xlnx.當(dāng)0a1時(shí)，f1aa2aeae221e20，e2efln3aa31231ln331ln3a2110，aaaaaa其中1ln1，ln3aln1，所以fx在1,ln1和ln1,ln3a上各有一個(gè)零aaaaaa點(diǎn).故a的取值范圍是 0,1.注意：取點(diǎn)過(guò)程用到了常用放縮技巧。一方面：ae2xa2exx0ae2xa2exex0aexa30ex3axln31aa；另一方面：x0時(shí)，ae2xa2exx0a2exx0x1（目測(cè)的）常用的放縮公式（考試時(shí)需給出證明過(guò)程）第一組：對(duì)數(shù)放縮（放縮成一次函數(shù)） lnx x 1，lnx x，ln1 x x（放縮成雙撇函數(shù)）lnx1x1x1，lnx1x10x1，2x2x1x1，lnxx1，lnxx0x1xx（放縮成二次函數(shù)）lnxx2x，ln1xx1x21x0，1x22ln1xxx02（放縮成類反比例函數(shù)）lnx11，lnx2x1，xx1x1lnx2x10x1，x1ln1xx，ln1x2xx0，ln1x2xx011x1xx第二組：指數(shù)放縮（放縮成一次函數(shù)）exx1，exx，exex，（放縮成類反比例函數(shù)）ex1x0，ex1x0，1xx（放縮成二次函數(shù)）ex1x1x2x0，ex1x1x21x3，226第三組：指對(duì)放縮exlnxx1x12第四組：三角函數(shù)放縮sinxxtanxx0，sinxx1x2，11x2cosx11sin2