2022年高考沖刺理數(shù)模擬沖刺沖刺（全國Ⅱ卷）

2018年高考理數(shù)真題試卷（全國Ⅱ卷）一、選擇題1.（2018?卷Ⅱ）QUOTE(

)A.QUOTE

B.QUOTE

C.QUOTE

D.QUOTE2.（2018?卷Ⅱ）已知集合QUOTE.則A中元素的個數(shù)為（

）

3.（2018?卷Ⅱ）函數(shù)QUOTE的圖像大致為(

)A.

B.

C.

D.4.（2018?卷Ⅱ）已知向量a,b滿足|a|=1,QUOTE，則a·(2a-b)=（

）

5.（2018?卷Ⅱ）雙曲線QUOTEx2a2-y2b2=1x2a2A.

QUOTE

B.

QUOTE

C.

QUOTE

D.

QUOTE6.（2018?卷Ⅱ）在QUOTE中，QUOTEcosC2=55,BC=1,AC=5cosC2=55,BC=1,AC=5則QUOTEAB=AB=A.

QUOTE4242

B.

QUOTE3030

C.

QUOTE2929

D.

QUOTE25257.（2018?卷Ⅱ）為計算QUOTE,設計了右側的程序框圖，則在空白框中應填入（

）

=i+1

=i+2

=i+3

=i+48.（2018?卷Ⅱ）我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果，哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”,如30=7+23.在不超過30的素數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于30的概率是(

)A.QUOTE112112

B.QUOTE114114

C.QUOTE115115

D.QUOTE1181189.（2018?卷Ⅱ）在長方形ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=QUOTE33,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為(

)A.QUOTE1515

B.QUOTE5656

C.QUOTE5555

D.QUOTE222210.（2018?卷Ⅱ）若QUOTE在QUOTE是減函數(shù)，則a的最大值是(

)A.

QUOTEπ4π4

B.

QUOTEπ2π2

C.

QUOTE

D.

QUOTEππ11.（2018?卷Ⅱ）已知QUOTEf(x)f(x)是定義為QUOTE的奇函數(shù)，滿足QUOTE。若QUOTEf(1)=2f(1)=2，則QUOTE（

）

12.（2018?卷Ⅱ）已知QUOTEF1F1、QUOTEF2F2是橢圓C:QUOTEx2a2+y2b2=1(a>b>0)x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為QUOTE3636的直線上，QUOTEΔPF1A.

QUOTE2323

B.

QUOTE1212

C.

QUOTE1313

D.

QUOTE1414二、填空題。13.（2018?卷Ⅱ）曲線QUOTEy=2ln(x+1)y=2ln(x+1)在點QUOTE(0,0)(0,0)處的切線方程為________.14.（2018?卷Ⅱ）若x,y滿足約束條件QUOTE，則QUOTEz=x+yz=x+y的最大值為________.15.（2018?卷Ⅱ）已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0則sin（α+β）=________。答案：-QUOTE121216.（2018?卷Ⅱ）已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB所成角的余弦值為QUOTE7878，SA與圓錐底面所成角為45°。若△SAB的面積為QUOTE515515，則圓錐的側面積為________。三、解答題17.（2018?卷Ⅱ）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a1=-7，S1=-15.（1）求{an}的通項公式；（2）求Sn并求Sn的最小值。18.（2018?卷Ⅱ）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額QUOTEyy(單位：億元)的折線圖。

為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了QUOTEyy與時間變量t的兩個線性回歸模型，根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量QUOTEtt的值依次為1,2，…….,17）建立模型①：QUOTE.根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1,2，…，7）建立模型②：QUOTE（1）

分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資的預測值；（2）

你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由。19.（2018?卷Ⅱ）設拋物線QUOTEC:y2=4xC:y2=4x的焦點為F，過F點且斜率QUOTEk(k>0)k(k>0)的直線QUOTEll與QUOTECC交于QUOTEA,BA,B兩點，QUOTE|AB|=8|AB|=8.（1）求QUOTEll的方程。（2）求過點QUOTEA,BA,B且與QUOTECC的準線相切的圓的方程.20.（2018?卷Ⅱ）如圖，在三角錐QUOTE中，QUOTEAB=BC=22AB=BC=22,QUOTEPA=PB=PC=AC=4PA=PB=PC=AC=4,QUOTEOO為QUOTEACAC的中點.

（1）證明：QUOTE平面QUOTEABCABC;（2）若點QUOTEMM在棱QUOTEBCBC上，且二面角QUOTE為QUOTE，求QUOTEPCPC與平面QUOTEPAMPAM所成角的正弦值.21.（2018?卷Ⅱ）已知函數(shù)QUOTEf(x)=ex-ax2（1）若a=1,證明：當QUOTE時，QUOTE（2）若QUOTEf(x)f(x)在QUOTE只有一個零點，求QUOTEaa.四、選考題[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22.（2018?卷Ⅱ）在直角坐標系QUOTExOyxOy中，曲線QUOTECC的參數(shù)方程為QUOTE(QUOTEθθ為參數(shù))，直線QUOTEll的參數(shù)方程為QUOTE(QUOTEtt為參數(shù))（1）求QUOTECC和QUOTEll的直角坐標方程（2）若曲線QUOTECC截直線QUOTEll所得線段的中點坐標為QUOTE(1,2)(1,2)，求QUOTEll的斜率五、選考題[選修4-5：不等式選講]23.（2018?卷Ⅱ）設函數(shù)QUOTE（1）

當QUOTEa=1a=1時，求不等式QUOTE的解集；（2）若QUOTE，求QUOTEaa的取值范圍答案與解析一、選擇題1.（2018?卷Ⅱ）QUOTE(

)A.QUOTE

B.QUOTE

C.QUOTE

D.QUOTE答案：D知識點：數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入難度：較易解析：QUOTE故答案為：D

2.（2018?卷Ⅱ）已知集合QUOTE.則A中元素的個數(shù)為（

）

答案：A知識點：集合的概念及其基本運算難度：較易解析：集合A及點集元素是（0,0）（0,1）（-1,0）（1,0）（0，-1）（1,1）（1，-1）（-1,1）（-1，-1）共9個元素故答案為：A

3.（2018?卷Ⅱ）函數(shù)QUOTE的圖像大致為(

)A.

B.

C.

D.答案：B知識點：函數(shù)的圖象及其變換難度：中等解析：(x)=QUOTE

因為f(x)=QUOTE=-f(x)

所以f(x)為奇函數(shù)，排除A，又xQUOTE,QUOTE,QUOTE,但指數(shù)增長快些，故答案為：B

4.（2018?卷Ⅱ）已知向量a,b滿足|a|=1,QUOTE，則a·(2a-b)=（

）

答案：B知識點：平面向量的概念及其線性運算難度：中等解析：QUOTE.故答案為：B

5.（2018?卷Ⅱ）雙曲線QUOTE（a>0,b>0）的離心率為QUOTE33，則其漸近線方程為（

）A.

QUOTE

B.

QUOTE

C.

QUOTE

D.

QUOTE答案：A知識點：雙曲線難度：中等解析：∵e=QUOTE33=QUOTEcaca，∴3=QUOTEc2a2=a2+b2a2c2a2=a2+b2a2QUOTEQUOTEb2a2b2a2=2

∴QUOTE6.（2018?卷Ⅱ）在QUOTEΔABCΔABC中，QUOTEcosC2=55,BC=1,AC=5cosC2=55,BC=1,AC=5則QUOTEAB=A.

QUOTE4242

B.

QUOTE3030

C.

QUOTE2929

D.

QUOTE2525答案：A知識點：解三角形的應用難度：中等解析：∵QUOTE∴AB2=1+52-2×5×（QUOTE）=26+6=32

∴AB=QUOTE4242

故答案為：A

7.（2018?卷Ⅱ）為計算QUOTE,設計了右側的程序框圖，則在空白框中應填入（

）

=i+1

=i+2

=i+3

=i+4答案：B知識點：算法與程序框圖、基本算法語句難度：中等解析：依題意：i=1時，N=0+QUOTE1111，T=0+QUOTE1212i=2時，N=0+QUOTE1111+QUOTE1313，T=QUOTE12+1412+14，依次下去…

∴i=i+28.（2018?卷Ⅱ）我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果，哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”,如30=7+23.在不超過30的素數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于30的概率是(

)A.QUOTE112112

B.QUOTE114114

C.QUOTE115115

D.QUOTE118118答案：C知識點：隨機事件的概率難度：中等解析：不超過30的素數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共10個記任取兩數(shù)和為30為事件A

P（A）=QUOTE3C102=1159.（2018?卷Ⅱ）在長方形ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=QUOTE33,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為(

)A.QUOTE1515

B.QUOTE5656

C.QUOTE5555

D.QUOTE2222答案：C知識點：空間點、直線、平面之間的位置關系難度：中等解析：以點D為坐標原點，以DA，DC，QUOTEDD1DD1分別為QUOTExx軸，QUOTEyy軸，QUOTEzz軸建系，

QUOTE=（1,1，QUOTE33）A（1,0,0）D1（0,0QUOTE33）

∴QUOTE

10.（2018?卷Ⅱ）若QUOTE在QUOTE是減函數(shù)，則a的最大值是(

)A.

QUOTE

B.

QUOTE

C.

QUOTE

D.

QUOTE答案：A知識點：函數(shù)的單調性及其最值難度：中等解析：∵QUOTE由0+2kπ≤x+QUOTE≤π+2kπ，（k∈Z）得：-QUOTE+2kπ≤x≤QUOTE+2kπ（k∈Z）

因此[?a,a]QUOTE[-QUOTE，QUOTE]

∴[?a,a]QUOTE[-QUOTE，QUOTE]

∴?a﹤a

?a≥-QUOTE，a≤QUOTE

∴0﹤a≤QUOTE

從而a的最大值為QUOTE.

11.（2018?卷Ⅱ）已知QUOTEf(x)f(x)是定義為QUOTE的奇函數(shù)，滿足QUOTE。若QUOTEf(1)=2f(1)=2，則QUOTE（

）

答案：C知識點：函數(shù)的奇偶性與周期性難度：中等解析：∵f（1-x）=f（1+x）∴y=f（x）圖象關于x=1對稱，又是奇函數(shù)

∴f（x）是一個周期函數(shù)，且T=4

又f（1）=2

f（x）=f（2-x）

∴f（2）=f（0）=0

f（3）=f（-1）=-f（1）=-2

f（4）=f（0）=0

∴f（1）=2，f（2）=0，f（3）=-2，f（4）=0

∴原式f（1）+f（2）+…+f（50）=f（1）+f（2）=2

12.（2018?卷Ⅱ）已知QUOTEF1F1、QUOTEF2F2是橢圓C:QUOTEx2a2+y2b2=1(a>b>0)x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為QUOTE3636的直線上，QUOTE為等腰三角形，QUOTEA.

QUOTE2323

B.

QUOTE1212

C.

QUOTE1313

D.

QUOTE1414答案：D知識點：直線與圓錐曲線的位置關系難度：較難解析：∵過A直線斜率為QUOTE3636∴tanα=QUOTE3636

即QUOTE

∴QUOTE

∴QUOTE

∴e=QUOTE1414

二、填空題。13.（2018?卷Ⅱ）曲線QUOTEy=2ln(x+1)y=2ln(x+1)在點QUOTE(0,0)(0,0)處的切線方程為________.答案：y=2x知識點：變化率、導數(shù)與導數(shù)的運算難度：中等解析：y=2ln（x+1）QUOTE

∴在點（0,0）處的切線方程為：y=2x

14.（2018?卷Ⅱ）若x,y滿足約束條件QUOTE，則QUOTEz=x+yz=x+y的最大值為________.答案：9知識點：二元一次不等式（組）與簡單線性規(guī)劃難度：中等解析：依題意：畫出可行域

當z=x+y，過點A（5,4）時，z有最大值zmax=9

15.（2018?卷Ⅱ）已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0則sin（α+β）=________。答案：-QUOTE1212知識點：兩角和、差及二倍角公式難度：中等解析：∵QUOTE①QUOTE②

①2+②2得：

1+1+2sin（α+β）=1

∴sin（α+β）=-QUOTE1212

故答案為：-QUOTE1212

16.（2018?卷Ⅱ）已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB所成角的余弦值為QUOTE7878，SA與圓錐底面所成角為45°。若△SAB的面積為QUOTE515515，則圓錐的側面積為________。答案：QUOTE402?402?知識點：空間幾何體的表面積和體積難度：中等解析：如圖：設母線長為l

∵QUOTE

∴QUOTEl2=(45)2l2=(45)2

∴QUOTEl=45l=45

2r=QUOTEl=410l=410

r=QUOTE210210

∴QUOTE

三、解答題17.（2018?卷Ⅱ）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a1=-7，S1=-15.（1）求{an}的通項公式；（2）求Sn并求Sn的最小值。答案：（1）設數(shù)列的公差為d，由題意有：a1=-7，S3=3a2=-15

a2=-5，d=2

∴an=a1+（n-1）d=-7+2（n-1）=2n-9

所以{an}的通項公式為：an=2n-9

（2）由（1）知數(shù)列{an}的前n項和QUOTESn=n（n-8）=n2-8n=（n-4）2-16≥-16

當n=4時取等，所以Sn的最小值為-16知識點：數(shù)列的綜合應用難度：中等解析：（1）根據(jù)等差數(shù)列為a，S3可求得數(shù)列的公差，進而可求{an}的通項公式；（2）由前n項和公式易得Sn，再根據(jù)二次函數(shù)求最值.18.（2018?卷Ⅱ）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額QUOTEyy(單位：億元)的折線圖。

為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了QUOTEyy與時間變量t的兩個線性回歸模型，根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量QUOTEtt的值依次為1,2，…….,17）建立模型①：QUOTE.根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1,2，…，7）建立模型②：QUOTE（1）

分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資的預測值；（2）

你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由。答案：（1）由題意可知模型①中，2018年對應的t=19，預測值QUOTEyy=+×19=億元

此時基礎設施的投資預測值為億元；

模型②中，2018年對應的t=9，

預測值QUOTEyy=99+×9=億元

此時基礎設施的投資預測值為：億元；

（2）用模型②預測得到的2018年的基礎設施的投資更可靠。因為從折線圖上看，基礎設施的投資在2009年到2010年發(fā)生了很大程度上的突變，所以用模型①預測2018年的會有一定程度的失真。知識點：變量間的相關關系、回歸分析及獨立性檢驗難度：中等解析：（1）根據(jù)函數(shù)表達式可求預估值；（2）看圖易知可靠性.19.（2018?卷Ⅱ）設拋物線QUOTEC:y2=4xC:y2=4x的焦點為F，過F點且斜率QUOTEk(k>0)k(k>0)的直線QUOTEll與QUOTECC交于QUOTEA,BA,B兩點，QUOTE|AB|=8|AB|=8.（1）求QUOTEll的方程。（2）求過點QUOTEA,BA,B且與QUOTECC的準線相切的圓的方程.答案：（1）設直線l的方程：y=k(x-1)將其代入拋物線C：y2=4x得到：K2x2-（2k2+4）x+k2=0

設A（x1，y1），B（x2，y2），△=（2k2+4）-4k2=16k2+16＞0

X1+x2=2+QUOTE4k24k2

而QUOTE|AB|=|AF|+|FB|=x1+1+x2+1=4+4k2=8|AB|=|AF|+|FB|=x1+1+x2+1=4+4k2=8，且k＞0

解得：k=1

所以直線l的方程：y=x-1

（2）由（1）得A，B的中點坐標為：（3,2），所以AB的垂直平分線方程為y-2=-（x-3）,即y=-x+5

設所求圓的圓心坐標為（x0，y0），則

解得：QUOTE{x0=3y0=2知識點：圓錐曲線綜合問題難度：較難解析：（1）由弦長公式，直線與拋物線相交知識易得l的方程；（2）找圓心，求半徑。20.（2018?卷Ⅱ）如圖，在三角錐QUOTE中，QUOTEAB=BC=22AB=BC=22,QUOTEPA=PB=PC=AC=4PA=PB=PC=AC=4,QUOTEOO為QUOTEACAC的中點.

（1）證明：QUOTE平面QUOTEABCABC;（2）若點QUOTEMM在棱QUOTEBCBC上，且二面角QUOTE為QUOTE，求QUOTEPCPC與平面QUOTEPAMPAM所成角的正弦值.答案：（1）PA=PC=AC=4

且O是AC的中點

PO⊥AC

∵AB=BC=2QUOTE22，AC=4,

∴QUOTEAB2+BC2=AC2AB2+BC2=AC2

∴∠ABC=90°

連接BO

則OB=OC

∴PO2+BO2=PB2

PO⊥OB，PO⊥OC

OB∩OC=O

∴PO⊥平面ABC

（2）QPO⊥平面ABC，∴PO⊥OB

QAB=BC=2QUOTE22

O是AC的中點

∴OB⊥AC

OB⊥平面PAC

如圖所示以O為坐標原點，QUOTE為x軸正方向建立如圖所示的直角坐標系O-xyz

則P（0,0，QUOTE2323）A（,0，-2,0），C（0,2,0），B（2,0,0）

平面PAC法向量為QUOTE=（1,0,0）設M（x，2-x，0）

平面PAC法向量為QUOTE=（1，λ，μ），

QUOTE=（0，2，QUOTE2323）,QUOTE=（x，4-x，0）

則QUOTE即QUOTE

即QUOTE

得到QUOTE，∴x=-4（舍）

QUOTE，x=QUOTE4343

即MQUOTE(43,23,0)(43,23,0)

∴PAM的法向量QUOTE

記PC與平面PAM所成的角為θ

∴QUOTE

即PC與平面PAM所成的角為的正弦值為QUOTE3434.知識點：立體幾何綜合難度：中等解析：（1）由線面垂直的判定定理易得；（2）先由條件建系，找到點M的位置，再用公式求線面角.21.（2018?卷Ⅱ）已知函數(shù)QUOTE（1）若a=1,證明：當QUOTE時，QUOTE（2）若QUOTEf(x)f(x)在QUOTE只有一個零點，求QUOTEaa.答案：（1）a=1時,f（x）=ex-x2

欲證x≥0時，f（x）≥等價于證明：QUOTE

令QUOTEg(x)=x2+1exg(x)=x2+1ex則QUOTE

∴g（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)，

所以g（x）≤g（0）=1，即QUOTE

所以ex-x2≥1，即f（x）≥1

（2）當a﹥0時，QUOTE

令h’（x）=0

解得x=2，h（2）=QUOTE

當x∈（0,2），h’（x）﹤0，x∈（2，+∞），h’（x）﹥0；所以h（x）在（0,2）單調遞減，在（∴2，+∞）單調遞增.

（i）0﹤a﹤QUOTEe24e24時，h（2）=1-QUOTE4ae24ae2﹥0，此時h（x）在（0，+∞）上無零點，不合題意；

（ii）a=QUOTEe24e24時，h（2）=0，h（x）在（0，+∞）上只有一個零點，符合題意；

（iii）a﹥QUOTEe24e24時，h（0）=1﹥0，h（2）=1-QUOTE4ae24ae2﹤0；

由（1）知：x﹥0，ex﹥x2+1

∴ex=QUOTE﹥QUOTEx416x416

令QUOTEx416x41