專題訓練(七) 構造平行四邊形解題

專題訓練（七）構造平行四邊形解題平行四邊形具有對邊相等、對角相等、對角線互相平分等性質，解決某些幾何題時，若能根據(jù)平行四邊形的判定，巧妙地構造出平行四邊形，則會化難為易、化繁為簡，使證明過程簡捷．?類型一證兩線段相等1.如圖7—ZT—1,在四邊形ABCD中，AB=CD,AD=BC，點E在BC上，點F在AD上,AF=CE,EF與對角線BD相交于點O.求證：O是BD的中點.圖7—ZT—12.如圖7—ZT—2,平面上三個等邊三角形ACE,ABD,BCF兩兩共有一個頂點.求證：CD與EF互相平分.圖7—ZT—2?類型二證兩線段平行3.如圖7—ZT—3,口ABCD的對角線AC,BD相交于點O,E,F分別為OB,OD的中點，過點O任作一條直線分別交AB,CD于點G,H連接GF,EH.求證：GFHEH.HC圖7—ZT—3?類型三證線段的和差關系4.如圖7—ZT—4,在四邊形ABCD中，AB〃CD,且ZADC=2ZABC.求證：AB=AD＋CD.

圖7－ZT－4?類型四證線段的倍分關系5.如圖7-ZT-5,已知AB=AC,B是AD的中點，E是AB的中點.求證：CD=2CE.?類型五解決面積問題6?如圖7-ZT-6,E是梯形ABCD的腰CD的中點?求證：S^abe=2s梯形ABCD.圖7-ZT-6詳解詳析1.［解析］連接BF,DE,觀察圖形，EF與BD為四邊形FBED的對角線，若能說明四邊形FBED是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分這一性質即可得到O是BD的中點．證明：連接BF,DE「：AB=CD,AD=BC,???四邊形ABCD是平行四邊形，:、DFHBE.VAD=BC,AF=CE,：DF=BE,：?四邊形FBED是平行四邊形，：?OB=OD,即卩O是BD的中點.［點評］平行四邊形的判定方法共有五種,應用時要認真領會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別,同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇判定方法,“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”是判定平行四邊形最常用的方法之一,一定要反復訓練,熟練掌握.2?懈析］首先連接DE,DF,由ABCF和AABD都是等邊三角形，易證得△CBA^^FBD(SAS),繼而證得AC=DF,則可得DF=CE,同理可得DE=CF,則可判定四邊形DECF是平行四邊形，證得CD與EF互相平分.D證明：如圖，連接DE,DF.?.?△BCF和AABD都是等邊三角形，：.BC=BF,BA=BD,ZABD=ZCBF=60°.VZCBA=60°-ZABF,ZFBD=60°-ZABF,:.ZCBA=ZFBD.在ACBA和AFBD中，VBC=BF,ZCBA=ZFBD,BA=BD,???△CBA9AFBD(SAS),：?AC=DF.又?:CE=AC,?：DF=CE.同理可證得ABCA^△DEA,：?BC=DE.又：BC=CF,：DE=CF,?：四邊形DECF是平行四邊形，：CD與EF互相平分.懈析］連接GE,FH.觀察圖形，可知GF與EH為四邊形EHFG的對邊，若能說明四邊形EHFG是平行四邊形，則由平行四邊形對邊平行的性質可得GFHEH證明：連接GE,FH.?:四邊形ABCD是平行四邊形，：.OA=OC,OB=OD,AB#CD,?：ZBAO=ZDCO.又?:ZAOG=ZCOH,.?.△AOG9ACOH,?：OG=OH.?:E,F分別為OB,OD的中點，?：OE=OF,?：四邊形EHFG是平行四邊形，：GF#EH.懈析］延長DC到點E,使DE=AB，連接BE,則四邊形ABED為平行四邊形，得BE=AD,下面只需說明CE=BE即可.證明：延長DC到點E,使DE=AB，連接BE.?.?AB〃CD,???四邊形ABED是平行四邊形，:?BE=AD,/ADC=/ABE.VZADC=2ZABC,\ZABE=2ZABC,.\ZABC=ZEBC.VAB#CD,AZBCE=ZABC,AZEBC=ZBCE,ABE=CE.VDE=CE+CD=BE+CD,AAB=AD+CD.［解析］延長CE至點F,使EF=CE,連接AF,BF,得四邊形AFBC是平行四邊形，利用平行四邊形的性質證明ABCD^ABCF即可.證明：延長CE至點F,使EF=CE,連接AF,BF.?:E是AB的中點，:.AE=BE,???四邊形AFBC是平行四邊形，:、AC〃BF,AC=BF,AZACB+ZCBF=180°.VAB=AC=BD,:.BD=BF,ZACB=ZABC.VZCBD+ZABC=180。，:.ZCBD=ZCBF.又VBC=BC,.??△BCD9ASCF,：?CD=CF=2CE.［解析］過點E作MN#AB,交BC于點N,交AD的延長線于點M,則四邊形ABNM是平行四邊形，MBE與口43妣同底等高，所以［abe=2Sabnm，接下來說明S梯形abcd=Sabnm即可.證明：過點E作MN〃AB,交BC于點N,交AD的延長線于點胚VAD〃BN,：?四邊形ABNM是平行四邊形，?S^丄S△AB