講提高教師第十乘法原理與加法

乘法乘法原nm1m2nmnN=m1×m2×…×mn第十 【例15②5個(gè)人排成兩排照相，前排2人，后排3人，共有多少種排法③5個(gè)人排成一排照相，如果必須站在中間，有多少種排法④5個(gè)人排成一排照相，必須站在兩頭，共有多少種排分析：①5個(gè)人排成一排照相，從左到右共5個(gè)位置。第一個(gè)位置可從5個(gè)人中任選一人，有5種選法第二個(gè)位置只能從剩下的4個(gè)人中任選一人，有4種選法，同理，第三、第四、第五個(gè)位置分別有3種2種、1種選法。每個(gè)位置上站了一人就是一種排法。根據(jù)乘法原理，共有5×4×3×2×1=120種排法5個(gè)人排成兩排照相，可先排前排、再排后排，依次也有5個(gè)位置，類似①的方法可得共有5×4×3×2×1=120③這里，限定必須站在中間，他的位置固定了，而其余4人可以任意站位，類似①的分析可知共有4×3×2×1=24④這里限定必須站在兩頭這件事分兩步第一步安排限定的人有2種方法第二步排其它的44×3×2×1=241種排法.【例2】（1）有三本不同的書放到5同樣的書桌上，一共有多少種放法一個(gè)三位數(shù)，如果它的每一位數(shù)字都不小于另一個(gè)三位數(shù)對(duì)應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字，就稱它“”另一個(gè)三位數(shù)。例如，532311，123123。但726與267相互都不被。問：能678的三位（1）（2）共有4×3×2=24（種（）要組成四位數(shù)，需一位一位地確定各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，即分四步完成，由于要求組成的數(shù)是奇數(shù)，故個(gè)位上只有能取736種取法；百位上有5種取法；千位上有4、、、、、、83×6×5×4=360【例3】（小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽）某沿海城市管轄7個(gè)縣7個(gè)縣的位置如右圖．現(xiàn)用5×4×3×3×3×3×3=4860（1（（2（（110×9=90的任意位置，所以乙方有：9×8=72種不同的放置方法．因此，總共有：72×90=6480種不同的放置方法（2）第一列有2種放法．第一列放定后，第二列又有2種放法．…如此下去，共有2×2×2×2=16種不【例510分析：將10塊糖排成一排，糖與糖之間共有9個(gè)空。從頭開始，如果相鄰兩塊糖是分在兩天吃的，那就在其間畫一條線。下圖表示10塊糖分在五天吃：第一天吃2塊，第二天吃3塊，第三天吃1塊，第29＝512（種）5127a＝1＋e＝9（e≠0c＋f＝9＋g＝9為了計(jì)算這樣的四位數(shù)最多有多少個(gè)，由題設(shè)條件a，b，c，d，e，f，g互不相同，可知，數(shù)字b有7種（b≠c（c，，ed原理，這樣的四位數(shù)最多能有（7×6×4=）168個(gè)。加法原kmkN=m1+m2+…+mk種不同的方法。【例7】要登上10級(jí)臺(tái)階，他每一步只能登1級(jí)或2級(jí)臺(tái)階，他登上10級(jí)臺(tái)階共有多少種不同的登分析：登上第1級(jí)臺(tái)階只有1種登法。登上第2階可由第1級(jí)臺(tái)階上去，或者從平地跨2級(jí)上去2種登法。登上第3級(jí)臺(tái)階可1級(jí)臺(tái)階跨2上去，或者從第2級(jí)臺(tái)階上去，所以登上第3級(jí)臺(tái)的方法數(shù)是登上第121+2＝（種n（n—1（n—2原理，如果登上第（n—1）級(jí)和第（n—2）級(jí)分別有a種和b種方法，n（a＋b）121122101089。也可以在圖上直接寫出計(jì)算得出的登上各級(jí)臺(tái)階的方法（1（（1）（2（路如右圖（2）所示。從家到學(xué)校的最短路線有）分析（1）最短路線只能向上或向右走，利用加法原理如下圖（3，共有90種最短路線如下圖（4，依照上題思路，共有10（1（33（2）（迎春杯賽）用1、2、3組成三位數(shù)(其中數(shù)字允許重復(fù))，那么所有這樣的三位數(shù)總和是多少用0、1、2、3可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的4位數(shù)？其中偶數(shù)和奇數(shù)分別有多少利用數(shù)字1，2，3，4，5共可組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的偶數(shù)分析（1共有3×2×1=6個(gè)3位數(shù)這些3位數(shù)的[(1+2+3)×100+(1+2+3)×10+(1+2+3)]×2]=13329個(gè)三位數(shù)，當(dāng)123是個(gè)位數(shù)字時(shí)各有9個(gè)三位數(shù)，因此所有這樣三位數(shù)總和是：02033×2×1=6232×2×1=4種，因此其中偶數(shù)有10個(gè)，那么奇數(shù)就有18-10=8524；二位偶數(shù)共有：2×4=8（個(gè)(2)中242×(4×3×2)=4822(24)；五位偶數(shù)共有2×(4×3×2×1)=48個(gè)；由加法原理，偶數(shù)的個(gè)數(shù)共有【例10 在1到3000中含數(shù)字7的數(shù)有多少個(gè)分析：正面想很，不妨從另外一個(gè)角度考慮，知道這其中不含7的數(shù)字有多少個(gè)，就知道含7的數(shù)有多少個(gè)。不含7位數(shù)8兩位數(shù)有8×9=72三位數(shù)有8×9×9=648四位9×9=1458個(gè)，所以含有7的數(shù)字有3000-8-72-648-1458=814【例11】532畫中選1，第二步再在3油畫中選1.由乘法原理有5×3＝15種選法.第二類為國(guó)畫、水彩畫各一幅，由乘法原理有5×2＝10種選法.第三類油畫、水彩各一幅，由乘法原理有3×2＝6種選法.這三類是＋＝31【例12ABCD有3種走法，從C到D有4種走法，從D到B有6種走法。因?yàn)閺腁到B是分幾步走的，所以應(yīng)該用乘法 分析：本題與例3表面上十分相似，但解法上卻不相同當(dāng)區(qū)域A與區(qū)域E顏色相同時(shí)，A5種顏色可選；B4種顏色可選；C3種顏色可選；D也有種顏色可選。根據(jù)乘法原理，此時(shí)不同的染色方法有：5×4×3×3＝180（種顏色可選；D25×4×3×2×2＝240（種。再根據(jù)加法原理，不同的染色方法共有：180＋240=420（種附附加題（1（12345678分析（1）8個(gè)站．每個(gè)站到其它7個(gè)站各需1種車票，共有7×8=56種車票．因?yàn)锳站到B站與站到A站的票價(jià)相同，所以最多有56÷2=28種票（3）828×7÷2=28（種）分析：按題意可知，1、4對(duì)稱，2、31、2、A、B、C、D、E均有兩種選擇，2×2×2×2×2×2×2=128種?！靖?（華杯賽口試）這是一個(gè)棋盤，將一個(gè)和一個(gè)放在棋盤線交叉點(diǎn)上，但不分析：有12個(gè)不同位置，對(duì)于每一種確定的位置，個(gè)不同的放法，所以共有12×6=723這三個(gè)位置之一，有3—二三四乙甲丁丙乙丁甲丙乙丙丁甲對(duì)第一位置放丙或丁，也各有3種情況，因此不同的排法共有：3×3=9(【附5（杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽）某種獎(jiǎng)券的號(hào)碼有9位，如果獎(jiǎng)券至少有兩個(gè)非零數(shù)字并且從左邊第一個(gè)非零數(shù)字起，每個(gè)數(shù)字小于它右邊的數(shù)字，就稱這樣的號(hào)碼為“號(hào)碼，如．“號(hào)碼”有多少個(gè)分析：號(hào)碼1～9各出現(xiàn)1或0次，按遞增順序排列(前面補(bǔ)0)，共產(chǎn)生2×2×2×2×2×2×2×2×2=2個(gè)號(hào)碼，其中無非零數(shù)字或僅有1個(gè)非零數(shù)字的應(yīng)予排除．所以，號(hào)碼有512—10=502個(gè)【附6】在所有的四位數(shù)中，前兩位的數(shù)字之和與后兩位的數(shù)字之和都等于6的共有多少個(gè)分析：前兩位有：15，24，33，42，51，60六種，后兩位增加“06”這種情況，所以共6×7=42（種【附7（小學(xué)數(shù)學(xué)決賽）由1、2、3、4四個(gè)數(shù)字組成的四位數(shù)共有24個(gè)，將它們從小到大排列18分析：千位是1、2、3、4的各有24÷4=6(個(gè))，6×3=18，所以第18個(gè)數(shù)是千位是3的最大的數(shù)【附8（小學(xué)數(shù)學(xué)決賽）由1、2、3、4、5五個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)共有120個(gè)，將它們從大到小9521354.分析：法1：每個(gè)選項(xiàng)或者選或者不選，有2種可能，根據(jù)乘法原理，有2×2×2×2=16種可能，但其不允許都不選，所以有152：選一個(gè)選項(xiàng)有4種選法，選2個(gè)選項(xiàng)有6選3個(gè)選項(xiàng)有44個(gè)選項(xiàng)有1種，加起來也是15【附10】沿左下圖中箭頭所指的方向從A到B共有多少種不同的走法CDEFB8分析：同樣用上題的方法，標(biāo)上數(shù)字，有55條2、3、5、6、8、965位數(shù)，可以組成多少個(gè)奇數(shù)？分析：3×5×4×3×2=360.1023107種不同的登法.3（迎春杯初賽）如右圖，圖中有25個(gè)小方格，要把5枚不同的硬幣放在方格里，4分析：共有不同的染色方法：5×4×3×3×2＝360（種分析：從甲到乙最近的道路有11條2222154（1）（2）（3）25種1300的自然數(shù)中，完全不含有數(shù)字3多少個(gè)分析：法1：將符合要求的自然數(shù)分為以下三類：(1)一位數(shù)有8個(gè)，(2)二位數(shù)有8×9=72個(gè)，(3)三數(shù)有：2×9×9=162個(gè)．因此，從1到300的自然數(shù)中完全不含數(shù)字3的共有：8+72+162=242個(gè)2029930，12況．十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字均有九種，因此除去0共有：3×9×9-1=242(和共有小人書不超過50本，他們各自有小人書的數(shù)目有多少種可能的情況分析：有0本書