材料力學(xué)多媒體教學(xué)課件

第四章彎曲內(nèi)力§4-7平面曲桿的彎曲內(nèi)力§4-5載荷集度、剪力和彎矩的關(guān)系§4-6用疊加法作彎矩圖§4-1平面彎曲的概念和應(yīng)力§4-2梁的支座及載荷的簡(jiǎn)化§4-3平面彎曲時(shí)梁橫截面上的內(nèi)力§4-4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖§4-1平面彎曲的概念和實(shí)例一、什么叫平面彎曲？F返回FFF返回彎曲變形:桿的軸線的曲率發(fā)生變化,

相鄰兩橫截面之間產(chǎn)生垂直軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng).返回平面彎曲:變形前后桿的軸線位于同一平面內(nèi)梁:以彎曲變形為主的桿件返回

載荷均作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)（包括約束及支反力）則：變形前后梁的軸線必位于同一平面（對(duì)稱平面）內(nèi)，也稱為對(duì)稱彎曲二.產(chǎn)生平面彎曲的充分條件若：截面有縱向?qū)ΨQ軸,梁有縱向?qū)ΨQ面返回

當(dāng)梁的截面，載荷不滿足以上充分條件，又要其產(chǎn)生平面彎曲，則必須附加必要的條件才能產(chǎn)生平面彎曲，這將在后面討論

本章僅討論彎曲內(nèi)力問題。

說明返回§4-2梁的支座及載荷的簡(jiǎn)化3`固定端支座1`固定鉸支座2`可動(dòng)鉸支座一`支座的基本形式返回二`

載荷形式

1`集中力(1)均勻分布(2)線性分布(3)非線性分布

返回F(N)Me(N·m)2`集中力偶3`分布力三靜定梁的基本形式

彎曲變形的主要研究對(duì)象為直梁，此外工程中還有折梁（剛架），曲梁和組合梁。（1）簡(jiǎn)支梁（2）外伸梁（3）懸臂梁

返回§4、

3平面彎曲時(shí)梁橫截面上的內(nèi)力

一`

求內(nèi)力的方法——截面法

靜定梁在外力作用下，求任意橫截面上的內(nèi)力。首先求支反力（必須校核），保證其大小、方向都是正確的。然后按截面法（切、取、代、平）求內(nèi)力返回FAyFAy-F-FQn-n=0Mn-n+F(x-a)-FAyx=0

求n-n截面內(nèi)力設(shè)支反力已求出FQn-n=FAy-FMn-n=FAyx-F(x-a)YFMeqOXnnaxAB依截面法返回FQ

剪力M彎矩XFaFAyYxFQn-nMn-nc二.內(nèi)力符號(hào)規(guī)定根據(jù)符號(hào)規(guī)定,可以得到下述兩個(gè)規(guī)律:1.橫截面上的剪力,在數(shù)值上等于作用在此截面任一側(cè)梁上所有外力在y軸上投影的代數(shù)和;2.橫截面上的彎矩,在數(shù)值上等于作用在此橫截面任一側(cè)所有外力對(duì)該截面形心力矩的代數(shù)和.返回+FQ-FQ+MM-已知:Me、F、q、L解:求支反力在D截面切開，取右段梁求內(nèi)力qL/2qL返回求:D截面內(nèi)力例4.1Me=qL2F=qLqL/4L/4L/4L/4EABCDFQDMD結(jié)果為正說明方向設(shè)對(duì)；若為負(fù)說明方向設(shè)錯(cuò)。為了不發(fā)生符號(hào)的混亂，仍采取正向假定內(nèi)力的方法。Me=qL2F=qLqL/4L/4L/4L/4EABCDBDq返回1.求支反力FyOxABabFAy`FBy求內(nèi)力§4-4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖M1FQ1M2FQ2FAyx1-M1=0M1=FAyx1FQ1=FAyFAy-FQ1=0FBy+FQ2=0FQ2=-FByFByx2-M2=0M2=FByx2FAyFByFyOxx1ABabx2返回2.截面法求內(nèi)力FAyC1FByC2列寫FQ`M方程的簡(jiǎn)便方法:一`在正確的支反力前提下二`依符號(hào)規(guī)定采取正向假定內(nèi)力的方法三`根據(jù)外力對(duì)內(nèi)力的效應(yīng)直接列寫FQ`M方程1`FQ(x)=?左起列方程:向上的力產(chǎn)生正的FQ

向下的力產(chǎn)生負(fù)的FQ

右起反之!2`M(x)=?不論從哪邊起,向上的力產(chǎn)生正的M

向下的力產(chǎn)生負(fù)的M剪力圖彎矩圖方程用圖形表示FQ=FQ(x)M=M(x)返回結(jié)構(gòu)圖FQxMx例4`2列出圖示梁的FQ,M方程,并作FQ,M圖。解：(1)求支反力（2）列FQ,M方程（3）作FQ，M圖；內(nèi)力方程描點(diǎn)。FQM返回baABx1x2FL例4`3列內(nèi)力方程,作FQ`M圖Me/(a+b)Meb/(a+b)Mea/(a+b)FQM解:求支反力,大小`方向如圖列FQ`M方程FQ1=-Me/(a+b)FQ2=-Me/(a+b)M1=-Mex1/(a+b)M2=Mex2/(a+b)作FQ`M圖Me/(a+b)Me/(a+b)

校核支反力！返回abMex1x2例4`4列圖示內(nèi)力方程,作FQ`M圖解:求支反力,大小`方向如圖列FQ`M方程FQ(x)=qL/2-qxM(x)=qLx/2-qx2/2作FQ`M圖FQ返回M8qL)2L(M2=qx2qL)x('M-=LqBAx2Lx,0'M==令L/2qL/2qL/2qL/2qL/2§4-5載荷集度`剪力和彎矩的關(guān)系q(x)向上為正dxFQ(x)+dFQ(x)M(x)+dM(x)M(x)FQ(x)q(x)取圖示坐標(biāo)系，由微段的平衡，略去高階微量,有dFQ(x)/dx=q(x)dM(x)/dx=FQ(x)d2M(x)/dx2=q(x)經(jīng)積分得利用q(x)`FQ(x)`M(x)之間的微`積分關(guān)系可以幫助繪制`校核FQ`M圖。利用歸納的q`F`Me作用下FQ`M圖的特征找出繪制FQ`M圖的簡(jiǎn)便方法。

梁微段的平衡方程式注意：導(dǎo)數(shù)關(guān)系與坐標(biāo)選取有關(guān)，若FQ以向上為正

dFQ/dx=-qdM/dx=-FQd2M/dx2=qq`FQ`M式的力學(xué)意義YxoFQ`M曲線的斜率，M曲線的凹凸性幾何意義一`在正確的支反力前提下。二`依FQ`M符號(hào)規(guī)定，采取正向假定內(nèi)力的方法。三`有集中力F作用處，F(xiàn)Q圖有突變，突變值=集中力數(shù)值；有集中力偶Me作用處，M圖有突變，突變值=集中力偶數(shù)值四`根據(jù)q`FQ`M間的微分關(guān)系定圖形。繪制FQ`M圖的簡(jiǎn)便方法

FQ=a1+b1xM為x的二次函數(shù)FQ<0FQ>0FQ>0FQ<01`q=0段FQ=C1為水平線M=a+bx為斜直線2`q=C段FQ>0FQ<0q>0q<0載荷圖FQxMx五`FQ=0處，M取得極值。六`根據(jù)q`FQ`M之間的積分關(guān)系定FQ`M圖數(shù)值MFQFQ>0FQ<0七`內(nèi)力圖封閉面積增量法兩截面間內(nèi)力的變化量=上圖對(duì)應(yīng)的面積內(nèi)力圖規(guī)律外力情況荷載圖剪力圖彎矩圖無(wú)外荷載

均布荷載

內(nèi)力圖規(guī)律外力情況荷載圖剪力圖彎矩圖集中力集中力偶qL/2qL/2qLFQxMx3qL2/8qL2/8qL/2qLqLqL2/8qL/4L/4L/2qL2/4FQ2qa3qaqaM2qa22qa2qa5qa2qa22qaqa2aa例4.5作FQ`M圖用簡(jiǎn)便方法繪制FQM圖解:求支反力(大小`方向如圖)2qa2qa25qa/2qa/2FQXqa/29qa/2XM

校核支反力！qa2q2qaa2aa2qa

FQXqaqaqa2/2qa2/2qa2/2qa2/2例4.6作FQ`M圖qqa22qaaaa

XMX(m)FQ/kN8.53.564.8367M/kNmX(m)46.043.5kN14.5kNX(m)yqMe224已知q=3kN/m,Me=3kNm,作FQ,M圖例4.9例4.10作FQ,M圖FQ/kNX(m)X(m)M/kNm53137267kN5kN2kN10kNm1kN/m3m4m4m4m2kN解:求支反力(大小`方向如圖)2020.5166例題工程中某些結(jié)構(gòu)的軸線是由幾段直線組成的折線，這種結(jié)構(gòu)的每?jī)山M成部分用剛節(jié)點(diǎn)聯(lián)接。剛節(jié)點(diǎn)---剛性接頭處，相連桿件間的夾角在受力時(shí)不變化，剛節(jié)點(diǎn)不僅能傳力，而且還能傳遞力矩。剛架---桿系在聯(lián)接處用剛節(jié)點(diǎn)聯(lián)接起來的結(jié)構(gòu)。平面剛架---剛架的各桿系位于同一平面內(nèi)。平面剛架的內(nèi)力及內(nèi)力圖平面剛架的內(nèi)力的計(jì)算和內(nèi)力圖的作法與直梁是一樣的，不同點(diǎn)在于對(duì)剛架的各段桿要分別選取坐標(biāo)（可用旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)）。剛架的內(nèi)力不僅有FQ`M，可能還有FN。解:1`求支反力（大小`方向如圖)qa/2qa/2qaqx2x1例4.11列出平面剛架的內(nèi)力方程,并作內(nèi)力圖2`分段建立內(nèi)力方程（剛節(jié)點(diǎn)處`集中力`集中力偶作用處及分布載荷不連續(xù)處均需分段）FN1=0FQ1=-qa/2M1=qax1/2FN2=qa/2FQ2=qx2M2=qa2/2-qx22/23`作FQ`M`N圖（M圖畫在桿件受壓側(cè)即和直梁的規(guī)定一樣）qaqa/2-FQ圖

M圖FN圖qa/2x2x1qqa/2qaqa/2FN1=0FQ1=-qa/2M1=qax1/2FN2=qa/2FQ2=qx2M2=qa2/2-qx22/2注意對(duì)平面剛架剛節(jié)點(diǎn)處能夠傳遞力矩，當(dāng)該處無(wú)外力偶作用時(shí)，截面兩側(cè)的彎矩值應(yīng)相等，通常用圓弧虛線表示其值相等。疊加原理：由幾個(gè)載荷共同作用下所引起的某一物理量（內(nèi)力，應(yīng)力，應(yīng)變或形等），等于每一個(gè)載荷（主動(dòng)）單獨(dú)作用下所引起的該物理量的疊加（代數(shù)和）應(yīng)用條件：所求物理量（內(nèi)力，應(yīng)力，應(yīng)變或形等）必須是載荷的線性齊次式當(dāng)P（P)小變形，即線彈性結(jié)構(gòu)下，內(nèi)力，應(yīng)力，應(yīng)變，均與載荷為線性關(guān)系，即滿足疊原理應(yīng)用疊加法可簡(jiǎn)化計(jì)算要求對(duì)簡(jiǎn)單載荷作用下的物理量較熟

4-6用疊加法作彎矩圖先分別畫出每一載荷單獨(dú)作用時(shí)梁的彎矩圖，然后將同一截面相應(yīng)的各縱坐標(biāo)代數(shù)疊加，即得到梁在所有載荷共同作用時(shí)的彎矩圖方法：ACBL/2L/2F=qLqbbACBL/2L/2F=qLABLqq=+Fqa2qa2qa2/2qa2/2qaaaF=qaFaFaMMeMMqqa2/2MMeqa2Mqa2/2qa2Fa/2MF2aaMe=qa2qMe=FaaaaF平面曲桿—軸線是一平面曲線小曲率桿—為曲率很小時(shí)，對(duì)小曲率的平面曲桿，其內(nèi)力的計(jì)算仍采用直梁的方法截面法：任意截面切開，設(shè)內(nèi)力FN,FQ,M

根據(jù)平衡方程即可列出內(nèi)力方程內(nèi)力符號(hào)規(guī)定：FN,FQ

同前,M—使軸線曲率增加為正4-7平面曲桿的彎曲內(nèi)力M圖FRFN()=Fsin,FQ()=-Fcos,M()=-FRsinmmRFmmMFQFNF對(duì)于曲桿，因軸線本身就為曲線，內(nèi)力又在曲線上曲線分布，畫內(nèi)力圖的意義不大這里略

M曲線的凸凹性仍由q的正負(fù)定討論幾種特殊情況下梁的內(nèi)力：q是的一次函數(shù)—斜直線FQ是的二次函數(shù)二拋物線FQ曲線的凸凹性可由d2FQ/dx2=dq(x)/dx定q=0處FQ有極值ql/61當(dāng)分布載荷為線性函數(shù)M是的三次函數(shù)—三拋物線lq3FQl/MMFQql2、梁上受無(wú)沖擊的移動(dòng)載荷作用此時(shí)梁內(nèi)的內(nèi)力是載荷位置的函數(shù)因梁的支反力要隨載荷的位置而變FQMx討論：兩端支座的支反力即為段的剪力。討論支反力的極值即可確定最大剪