材料力學多媒體教學課件

第四章彎曲內力§4-7平面曲桿的彎曲內力§4-5載荷集度、剪力和彎矩的關系§4-6用疊加法作彎矩圖§4-1平面彎曲的概念和應力§4-2梁的支座及載荷的簡化§4-3平面彎曲時梁橫截面上的內力§4-4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖§4-1平面彎曲的概念和實例一、什么叫平面彎曲？F返回FFF返回彎曲變形:桿的軸線的曲率發(fā)生變化,

相鄰兩橫截面之間產生垂直軸線的相對轉動.返回平面彎曲:變形前后桿的軸線位于同一平面內梁:以彎曲變形為主的桿件返回

載荷均作用在縱向對稱面內（包括約束及支反力）則：變形前后梁的軸線必位于同一平面（對稱平面）內，也稱為對稱彎曲二.產生平面彎曲的充分條件若：截面有縱向對稱軸,梁有縱向對稱面返回

當梁的截面，載荷不滿足以上充分條件，又要其產生平面彎曲，則必須附加必要的條件才能產生平面彎曲，這將在后面討論

本章僅討論彎曲內力問題。

說明返回§4-2梁的支座及載荷的簡化3`固定端支座1`固定鉸支座2`可動鉸支座一`支座的基本形式返回二`

載荷形式

1`集中力(1)均勻分布(2)線性分布(3)非線性分布

返回F(N)Me(N·m)2`集中力偶3`分布力三靜定梁的基本形式

彎曲變形的主要研究對象為直梁，此外工程中還有折梁（剛架），曲梁和組合梁。（1）簡支梁（2）外伸梁（3）懸臂梁

返回§4、

3平面彎曲時梁橫截面上的內力

一`

求內力的方法——截面法

靜定梁在外力作用下，求任意橫截面上的內力。首先求支反力（必須校核），保證其大小、方向都是正確的。然后按截面法（切、取、代、平）求內力返回FAyFAy-F-FQn-n=0Mn-n+F(x-a)-FAyx=0

求n-n截面內力設支反力已求出FQn-n=FAy-FMn-n=FAyx-F(x-a)YFMeqOXnnaxAB依截面法返回FQ

剪力M彎矩XFaFAyYxFQn-nMn-nc二.內力符號規(guī)定根據符號規(guī)定,可以得到下述兩個規(guī)律:1.橫截面上的剪力,在數值上等于作用在此截面任一側梁上所有外力在y軸上投影的代數和;2.橫截面上的彎矩,在數值上等于作用在此橫截面任一側所有外力對該截面形心力矩的代數和.返回+FQ-FQ+MM-已知:Me、F、q、L解:求支反力在D截面切開，取右段梁求內力qL/2qL返回求:D截面內力例4.1Me=qL2F=qLqL/4L/4L/4L/4EABCDFQDMD結果為正說明方向設對；若為負說明方向設錯。為了不發(fā)生符號的混亂，仍采取正向假定內力的方法。Me=qL2F=qLqL/4L/4L/4L/4EABCDBDq返回1.求支反力FyOxABabFAy`FBy求內力§4-4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖M1FQ1M2FQ2FAyx1-M1=0M1=FAyx1FQ1=FAyFAy-FQ1=0FBy+FQ2=0FQ2=-FByFByx2-M2=0M2=FByx2FAyFByFyOxx1ABabx2返回2.截面法求內力FAyC1FByC2列寫FQ`M方程的簡便方法:一`在正確的支反力前提下二`依符號規(guī)定采取正向假定內力的方法三`根據外力對內力的效應直接列寫FQ`M方程1`FQ(x)=?左起列方程:向上的力產生正的FQ

向下的力產生負的FQ

右起反之!2`M(x)=?不論從哪邊起,向上的力產生正的M

向下的力產生負的M剪力圖彎矩圖方程用圖形表示FQ=FQ(x)M=M(x)返回結構圖FQxMx例4`2列出圖示梁的FQ,M方程,并作FQ,M圖。解：(1)求支反力（2）列FQ,M方程（3）作FQ，M圖；內力方程描點。FQM返回baABx1x2FL例4`3列內力方程,作FQ`M圖Me/(a+b)Meb/(a+b)Mea/(a+b)FQM解:求支反力,大小`方向如圖列FQ`M方程FQ1=-Me/(a+b)FQ2=-Me/(a+b)M1=-Mex1/(a+b)M2=Mex2/(a+b)作FQ`M圖Me/(a+b)Me/(a+b)

校核支反力！返回abMex1x2例4`4列圖示內力方程,作FQ`M圖解:求支反力,大小`方向如圖列FQ`M方程FQ(x)=qL/2-qxM(x)=qLx/2-qx2/2作FQ`M圖FQ返回M8qL)2L(M2=qx2qL)x('M-=LqBAx2Lx,0'M==令L/2qL/2qL/2qL/2qL/2§4-5載荷集度`剪力和彎矩的關系q(x)向上為正dxFQ(x)+dFQ(x)M(x)+dM(x)M(x)FQ(x)q(x)取圖示坐標系，由微段的平衡，略去高階微量,有dFQ(x)/dx=q(x)dM(x)/dx=FQ(x)d2M(x)/dx2=q(x)經積分得利用q(x)`FQ(x)`M(x)之間的微`積分關系可以幫助繪制`校核FQ`M圖。利用歸納的q`F`Me作用下FQ`M圖的特征找出繪制FQ`M圖的簡便方法。

梁微段的平衡方程式注意：導數關系與坐標選取有關，若FQ以向上為正

dFQ/dx=-qdM/dx=-FQd2M/dx2=qq`FQ`M式的力學意義YxoFQ`M曲線的斜率，M曲線的凹凸性幾何意義一`在正確的支反力前提下。二`依FQ`M符號規(guī)定，采取正向假定內力的方法。三`有集中力F作用處，F(xiàn)Q圖有突變，突變值=集中力數值；有集中力偶Me作用處，M圖有突變，突變值=集中力偶數值四`根據q`FQ`M間的微分關系定圖形。繪制FQ`M圖的簡便方法

FQ=a1+b1xM為x的二次函數FQ<0FQ>0FQ>0FQ<01`q=0段FQ=C1為水平線M=a+bx為斜直線2`q=C段FQ>0FQ<0q>0q<0載荷圖FQxMx五`FQ=0處，M取得極值。六`根據q`FQ`M之間的積分關系定FQ`M圖數值MFQFQ>0FQ<0七`內力圖封閉面積增量法兩截面間內力的變化量=上圖對應的面積內力圖規(guī)律外力情況荷載圖剪力圖彎矩圖無外荷載

均布荷載

內力圖規(guī)律外力情況荷載圖剪力圖彎矩圖集中力集中力偶qL/2qL/2qLFQxMx3qL2/8qL2/8qL/2qLqLqL2/8qL/4L/4L/2qL2/4FQ2qa3qaqaM2qa22qa2qa5qa2qa22qaqa2aa例4.5作FQ`M圖用簡便方法繪制FQM圖解:求支反力(大小`方向如圖)2qa2qa25qa/2qa/2FQXqa/29qa/2XM

校核支反力！qa2q2qaa2aa2qa

FQXqaqaqa2/2qa2/2qa2/2qa2/2例4.6作FQ`M圖qqa22qaaaa

XMX(m)FQ/kN8.53.564.8367M/kNmX(m)46.043.5kN14.5kNX(m)yqMe224已知q=3kN/m,Me=3kNm,作FQ,M圖例4.9例4.10作FQ,M圖FQ/kNX(m)X(m)M/kNm53137267kN5kN2kN10kNm1kN/m3m4m4m4m2kN解:求支反力(大小`方向如圖)2020.5166例題工程中某些結構的軸線是由幾段直線組成的折線，這種結構的每兩組成部分用剛節(jié)點聯(lián)接。剛節(jié)點---剛性接頭處，相連桿件間的夾角在受力時不變化，剛節(jié)點不僅能傳力，而且還能傳遞力矩。剛架---桿系在聯(lián)接處用剛節(jié)點聯(lián)接起來的結構。平面剛架---剛架的各桿系位于同一平面內。平面剛架的內力及內力圖平面剛架的內力的計算和內力圖的作法與直梁是一樣的，不同點在于對剛架的各段桿要分別選取坐標（可用旋轉坐標）。剛架的內力不僅有FQ`M，可能還有FN。解:1`求支反力（大小`方向如圖)qa/2qa/2qaqx2x1例4.11列出平面剛架的內力方程,并作內力圖2`分段建立內力方程（剛節(jié)點處`集中力`集中力偶作用處及分布載荷不連續(xù)處均需分段）FN1=0FQ1=-qa/2M1=qax1/2FN2=qa/2FQ2=qx2M2=qa2/2-qx22/23`作FQ`M`N圖（M圖畫在桿件受壓側即和直梁的規(guī)定一樣）qaqa/2-FQ圖

M圖FN圖qa/2x2x1qqa/2qaqa/2FN1=0FQ1=-qa/2M1=qax1/2FN2=qa/2FQ2=qx2M2=qa2/2-qx22/2注意對平面剛架剛節(jié)點處能夠傳遞力矩，當該處無外力偶作用時，截面兩側的彎矩值應相等，通常用圓弧虛線表示其值相等。疊加原理：由幾個載荷共同作用下所引起的某一物理量（內力，應力，應變或形等），等于每一個載荷（主動）單獨作用下所引起的該物理量的疊加（代數和）應用條件：所求物理量（內力，應力，應變或形等）必須是載荷的線性齊次式當P（P)小變形，即線彈性結構下，內力，應力，應變，均與載荷為線性關系，即滿足疊原理應用疊加法可簡化計算要求對簡單載荷作用下的物理量較熟

4-6用疊加法作彎矩圖先分別畫出每一載荷單獨作用時梁的彎矩圖，然后將同一截面相應的各縱坐標代數疊加，即得到梁在所有載荷共同作用時的彎矩圖方法：ACBL/2L/2F=qLqbbACBL/2L/2F=qLABLqq=+Fqa2qa2qa2/2qa2/2qaaaF=qaFaFaMMeMMqqa2/2MMeqa2Mqa2/2qa2Fa/2MF2aaMe=qa2qMe=FaaaaF平面曲桿—軸線是一平面曲線小曲率桿—為曲率很小時，對小曲率的平面曲桿，其內力的計算仍采用直梁的方法截面法：任意截面切開，設內力FN,FQ,M

根據平衡方程即可列出內力方程內力符號規(guī)定：FN,FQ

同前,M—使軸線曲率增加為正4-7平面曲桿的彎曲內力M圖FRFN()=Fsin,FQ()=-Fcos,M()=-FRsinmmRFmmMFQFNF對于曲桿，因軸線本身就為曲線，內力又在曲線上曲線分布，畫內力圖的意義不大這里略

M曲線的凸凹性仍由q的正負定討論幾種特殊情況下梁的內力：q是的一次函數—斜直線FQ是的二次函數二拋物線FQ曲線的凸凹性可由d2FQ/dx2=dq(x)/dx定q=0處FQ有極值ql/61當分布載荷為線性函數M是的三次函數—三拋物線lq3FQl/MMFQql2、梁上受無沖擊的移動載荷作用此時梁內的內力是載荷位置的函數因梁的支反力要隨載荷的位置而變FQMx討論：兩端支座的支反力即為段的剪力。討論支反力的極值即可確定最大剪